3.2.1 双曲线及其标准方程（知识清单，知识点+六大易错点+十一大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 内容概览 2 🔷知识点一　双曲线的定义 2 🔷知识点二　双曲线的标准方程 2 🔷知识点三　核心参数的关系 2 🔷知识点四　双曲线的焦点三角形 3 🔷知识点五　双曲线标准方程的求解方法 3 4 易错点1：双曲线定义忽略"绝对值"和与的大小关系 4 易错点2：混淆椭圆与双曲线的平方关系 5 易错点3：判断焦点位置用错方法，与椭圆混淆 5 易错点4：误认为双曲线中一定小于 6 易错点5：焦点位置不确定时，漏解或设方程符号错误 7 易错点6：焦点三角形面积公式与椭圆混淆，忽略点所在支 7 8 题型1：双曲线定义的理解 8 题型2：根据方程表示双曲线求参数的范围 10 题型3：根据a、b、c和定义求双曲线标准方程 13 题型4：待定系数法求双曲线标准方程 15 题型5：根据双曲线方程求a、b、c 18 题型6：双曲线中焦点三角形的周长问题 20 题型7：双曲线中焦点三角形的面积问题 23 题型8：双曲线中焦点三角形的其他问题 26 题型9：双曲线上点到定点距离的最值 30 题型10：双曲线上点到定点距离的和、差最值 33 题型11：双曲线的轨迹问题 37 🔷知识点一　双曲线的定义 一般地，如果，是平面内的两个定点，是一个正常数，且．则平面上满足的动点的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的焦点，两个焦点的距离称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． (1) 若，点的轨迹为双曲线。 (2) 若，点的轨迹是以，为端点的两条射线。 (3) 若，点的轨迹不存在。 (4) 若2a=0，点的轨迹为线段的垂直平分线（不含线段上的点）。 ⚠️特别提醒 · 定义核心三要素：平面内、差的绝对值、常数小于且大于0，三者缺一不可。 · "绝对值"是定义的关键，缺少绝对值只能得到双曲线的一支，是高频漏解点。 · 与椭圆对比：椭圆是"距离和为定值且大于"，双曲线是"距离差的绝对值为定值且小于"。 🔷知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 a，b，c的关系 ⚠ 特别提醒 · 与椭圆区分：椭圆是两个正项相加，看分母大小定焦点；双曲线是一正一负，看正负定焦点。 · 标准方程右边必须为1，左边与项符号相反。 · 焦点位置不确定时，可设一般式，避免分类讨论。 🔷知识点三　核心参数的关系 1. 恒等式： 2. 参数意义： (1) ：实半轴长，对应实轴长； (2) ：虚半轴长，对应虚轴长； (3) ：半焦距，对应焦距。 3. 大小关系：，，是三个参数中的最大值；与大小关系不确定，可、、。 ⚠ 特别提醒 · 极易与椭圆混淆：椭圆中最大，；双曲线中最大，； · 双曲线中不代表短半轴，虚轴长度与实轴长度共同决定双曲线的开口宽窄。 🔷知识点四　双曲线的焦点三角形 双曲线上任意一点（非实轴顶点）与两个焦点构成的，称为双曲线的焦点三角形，是双曲线最核心的综合题型载体。 1. 边长关系 (1) 底边：（焦距，定值） (2) 两腰差：由双曲线定义得 (3) 分支对应：在右支；在左支 2. 面积公式 (1) 基础公式：（为顶角） (2) 二级结论：（为顶角） (3) 坐标公式：（为点纵坐标） 3. 解题核心思路：双曲线定义 + 余弦定理，通过定义式平方建立边长平方和与乘积的关系。 ⚠ 特别提醒 · 注意与椭圆焦点三角形面积公式区分：椭圆是，双曲线是，切勿记混。 · 二级结论选择填空题可直接使用，解答题需结合定义和余弦定理推导后再使用。 · 涉及边长问题先确定点所在的支，避免差的符号出错。 🔷知识点五　双曲线标准方程的求解方法 1. 定义法 适用场景：已知焦点坐标、动点到两焦点的距离差等条件。 解题步骤：由焦点得，由定义的距离差得，由求，根据焦点位置写出标准方程。 2. 待定系数法 适用场景：已知双曲线上两点坐标，或过定点的条件。 解题步骤： (1) 焦点确定：设对应标准方程，代入点坐标解方程组； (2) 焦点不确定：设一般式，代入点坐标求解，由正负判断焦点位置。 ⚠ 特别提醒 · 用定义法时，注意题目是否限定轨迹是一支还是两支，不要盲目加绝对值； · 设一般式时，必须满足，保证方程表示双曲线。 易错点1：双曲线定义忽略"绝对值"和与的大小关系 【易错点】 1. 已知动点到两焦点的距离差求轨迹时，漏掉"绝对值"，只求出双曲线的一支，遗漏另一支。 2. 忽略的约束条件，误将射线或无轨迹的情况判定为双曲线。 【易错消除】 1. 看到"距离之差"先看是否有"绝对值"： (1) 有"绝对值"：轨迹为完整的双曲线（两支）。 (2) 无"绝对值"：轨迹为双曲线的一支，根据差的正负判断是哪一支。 2. 牢记定义边界： ：双曲线。 ：以焦点为端点的两条射线。 ：无轨迹。 含参数的轨迹判断题，必须分情况讨论验证。 【易错例题】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 易错点2：混淆椭圆与双曲线的平方关系 【易错点】 套用椭圆的平方关系，或记错最大参数。 【易错消除】 对比记忆： (1) 椭圆：最大，。 (2) 双曲线：最大，。 计算参数前先确定曲线类型，再代入对应公式。 【易错例题】（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 易错点3：判断焦点位置用错方法，与椭圆混淆 【易错点】 沿用椭圆结论，导致判断错误。 【易错消除】 双曲线焦点判定口诀：焦点跟着正项走，正项的分母是，与分母大小无关。 【易错例题】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 易错点4：误认为双曲线中一定小于 【易错点】 受椭圆"短半轴小于长半轴"的思维定式影响，错误限制取值范围。 【易错消除】 双曲线中是实半轴，是虚半轴，二者无确定的大小关系，可以大于、等于、小于； 当时称为等轴双曲线，离心率。 【易错例题】（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 易错点5：焦点位置不确定时，漏解或设方程符号错误 【易错点】 题目未指明焦点位置时，漏掉焦点在轴的情况；或设一般式时忽略的条件。 【易错消除】 未指明焦点位置时，优先分焦点在轴、轴两类讨论； 也可设一般式，利用的条件求解，自动包含两种情况。 【易错例题】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 易错点6：焦点三角形面积公式与椭圆混淆，忽略点所在支 【易错点】 1. 记错焦点三角形面积公式，将双曲线的误写为椭圆的形式； 2. 不判断点所在的支，导致边长关系错误。 【易错消除】 1. 对比记忆：椭圆和为定值，面积用乘法；双曲线差为定值，面积用除法。 2. 解题先看点位置：明确在左/右支时，直接写对应边长差；未明确时，加绝对值分类讨论。 【易错例题】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 题型1：双曲线定义的理解 方法技巧 1. 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于0）的点的轨迹叫做双曲线。 2. 定义核心：差的绝对值、常数；去掉绝对值仅表示双曲线的一支。 3. 若，轨迹为两条射线；若，轨迹不存在。 4. 焦点三角形问题中，常利用定义进行边长转化。 【例题1.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 【例题1.2】（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 【变式1.1】（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 【变式1.2】（2026·广东江门·一模）已知双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则（    ） A．1 B．8 C．9 D．11 【答案】D 【详解】双曲线的焦距为， ，解得， ， ， ， 由双曲线的定义：， ， ，得或（舍去）， ． 题型2：根据方程表示双曲线求参数的范围 方法技巧 1. 双曲线标准形式特征：与项的分母异号。 2. 方程表示双曲线，则；焦点在轴，焦点在轴。 3. 方程表示双曲线，则且。 4. 求解后检验分母不为0的隐含条件。 【例题2.1】（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 【例题2.2】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式2.1】（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 【变式2.2】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 题型3：根据a、b、c和定义求双曲线标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点所在坐标轴，设对应标准方程：（焦点在轴）或（焦点在轴）。 2. 双曲线满足，注意与椭圆区分。 3. 由定义求出，结合的值计算。 4. 焦点位置不确定时，分两种情况讨论，或设一般式求解。 【例题3.1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 【例题3.2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【变式3.1】（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 【变式3.2】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型4：待定系数法求双曲线标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点所在坐标轴，设对应标准方程：（焦点在轴）或（焦点在轴）。 2. 焦点位置不确定时，分两种情况讨论，或设一般式求解。 3. 等轴双曲线设为。 【例题4.1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 【例题4.2】（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 【变式4.1】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，根据题意建立方程计算求解即可； （2）双曲线的方程为，根据题意建立方程计算求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 【变式4.2】（25-26高二下·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【分析】以最小半径所在圆的圆心为原点建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，将上口和下口边缘点的坐标代入方程，通过消去参数b求得高度之比. 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 题型5：根据双曲线方程求a、b、c 方法技巧 1. 先将方程化为标准形式，等号右边为1，正项对应分母为，负项对应分母为。 2. 项为正，焦点在轴；项为正，焦点在轴。 3. 由计算，焦点坐标为或。 4. 均为正数，注意不要混淆的位置。 【例题5.1】（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 【例题5.2】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________. 【答案】18 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解即可. 【详解】设双曲线的两个焦点分别为， 双曲线，即， 则，可得， 不妨设，则，即，解得， 且，符合题意， 所以点与另一个焦点的距离等于18. 故答案为：18. 【变式5.1】（第三章 圆锥曲线的方程 第2节 双曲线）双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则______． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义及已知可得，即可得. 【详解】由题设，双曲线参数，又， 则，所以. 故答案为：2 【变式5.2】（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别求出椭圆与双曲线的焦点坐标，可得圆的方程为，，联立圆的方程与双曲线方程得到交点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由椭圆，可得,所以椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为; 由双曲线，可得,所以双曲线的焦点在轴，且焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上， 所以该圆的圆心为原点，半径为，圆的方程为， 所以，解得; 双曲线方程为：， 联立，解得， 将代入椭圆方程可得：， 解得(负值舍去) 故选：B 题型6：双曲线中焦点三角形的周长问题 方法技巧 1. 焦点三角形：双曲线上一点与两焦点构成的。 2. 由双曲线定义，结合已知边长求出。 3. 周长。 4. 根据所在分支确定的正负，正确去掉绝对值。 【例题6.1】（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 【例题6.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 【变式6.1】．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式6.2】（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 题型7：双曲线中焦点三角形的面积问题 方法技巧 1. 焦点三角形面积公式：，其中。 2. 已知点纵坐标，。 3. 已知两边及夹角，用，结合定义和余弦定理求解。 4. 面积恒为正，点的纵坐标需加绝对值。 【例题7.1】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 【例题7.2】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【变式7.1】（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【详解】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 【变式7.2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线的定义将三角形的周长转化为，再进一步放缩得到最小值，进而可得双曲线的基本量及方程.再由此时三点共线可得直线的方程，与双曲线方程联立可得点的坐标，进而可计算三角形的面积. 【详解】设双曲线的左焦点为，,如图： 由双曲线， 所以周长为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图： 所以,得，即——①. 又因为离心率为，所以——②，将②代入①得，， 解得或（舍去）所以，所以双曲线方程为. 此时，直线的方程为，联立方程，消去y， 得，解得，再代入直线方程得，所以的坐标为. 所以. 故选：B. 题型8：双曲线中焦点三角形的其他问题 方法技巧 1. 角度问题：利用余弦定理，结合和列式求解。 2. 边长最值：双曲线上点到焦点的最短距离为，对应双曲线顶点处。 3. 内心位置： (1) 焦点在轴，双曲线焦点三角形的内心横坐标为，在对应顶点的竖直线上。 (2) 焦点在轴，双曲线焦点三角形的内心纵坐标为，在对应顶点的水平直线上。 4. 涉及中线、角平分线，结合对应定理与双曲线定义联立求解。 【例题8.1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过内切圆半径确定双曲线中需满足的等式关系，进而逐项判断即可. 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点， 根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，， 设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，， 代入得；结合， 可得：， 由勾股定理， 将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，， ，不满足条件， 选项B：双曲线，，， ，满足条件， 选项C：双曲线，，， ，满足条件， 选项D：双曲线，，， ，满足条件. 【例题8.2】（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 【答案】 【分析】由双曲线定义及勾股定理，可得，从而求得，求得直线的斜率. 【详解】由知，，则. 由双曲线的定义知，. 所以，所以. 所以. 因为直线的倾斜角与互补，所以其斜率为. 【变式8.1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和双曲线的定义得到点G与点重合，再结合列方程，解方程即可. 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令， ，， 则，得， ，，由双曲线定义得， 则点G与点重合， 又， 则，即. 又，， 直线GT的方程为， ， . 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，再结合双曲线的定义得到与重合，最后列方程求解即可. 【变式8.2】（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 题型9：双曲线上点到定点距离的最值 方法技巧 1. 设双曲线上点，利用双曲线方程消元，转化为单变量函数求最值。 2. 定点在坐标轴上时，结合几何图形分析，最短距离往往出现在顶点附近。 3. 注意双曲线焦点在轴：、焦点在轴：的定义域限制，求函数最值时不能超出范围。 【例题9.1】（26-27高二上·全国·课后作业）在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线第二定义，可得，，，再结合即可求解. 【详解】已知双曲线方程，则，，， 根据双曲线的第二定义得，即， 同理，，， 因为，所以，解得． 【例题9.2】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 【变式9.1】（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义与切线长定理确定出切点为定点，进而将问题转化为求已知圆上的动点到定焦点的最短距离. 【详解】由题意得，则，所以， 设的内切圆与分别相切于两点，则有， 由双曲线定义可得，即， 进而，即， 因为，所以， 联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且， 所以. 【变式9.2】（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 题型10：双曲线上点到定点距离的和、差最值 方法技巧 1. 距离差最值：利用双曲线定义，将距离转化到同侧，结合三角形三边关系。 2. 距离和最值：利用对称点，转化为两点之间线段最短，注意交点需在双曲线上。 3. 求的最值，优先用定义将转化为另一焦点的距离，再用三点共线求最值。 4. 验证最值点是否在双曲线上，确保几何上可实现。 【例题10.1】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 【例题10.2】（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 【变式10.1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式10.2】（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解； （2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 题型11：双曲线的轨迹问题 方法技巧 1. 定义法：分析动点满足的条件，符合双曲线定义，直接写出标准方程。 2. 直接法：设动点坐标，根据题意列出等式，化简整理。 3. 代入法：已知一动点在双曲线上，求另一动点轨迹，用坐标代换求解。 4. 求出方程后，检验轨迹的纯粹性，去掉不符合条件的点。 【例题11.1】（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【例题11.2】（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 【变式11.1】（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【答案】 【详解】方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，， 依题意得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 则，， 所以，， 故曲线的方程为． 方法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 设双曲线的方程为，则有解得， 故曲线的方程为． 【变式11.2】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用相关点法，设，，从而得到，代入方程整理即可； （2）设，由距离公式得到方程，整理即可. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 内容概览 2 🔷知识点一　双曲线的定义 2 🔷知识点二　双曲线的标准方程 2 🔷知识点三　核心参数的关系 2 🔷知识点四　双曲线的焦点三角形 3 🔷知识点五　双曲线标准方程的求解方法 3 4 易错点1：双曲线定义忽略"绝对值"和与的大小关系 4 易错点2：混淆椭圆与双曲线的平方关系 5 易错点3：判断焦点位置用错方法，与椭圆混淆 5 易错点4：误认为双曲线中一定小于 5 易错点5：焦点位置不确定时，漏解或设方程符号错误 6 易错点6：焦点三角形面积公式与椭圆混淆，忽略点所在支 6 6 题型1：双曲线定义的理解 7 题型2：根据方程表示双曲线求参数的范围 7 题型3：根据a、b、c和定义求双曲线标准方程 8 题型4：待定系数法求双曲线标准方程 9 题型5：根据双曲线方程求a、b、c 10 题型6：双曲线中焦点三角形的周长问题 11 题型7：双曲线中焦点三角形的面积问题 11 题型8：双曲线中焦点三角形的其他问题 12 题型9：双曲线上点到定点距离的最值 13 题型10：双曲线上点到定点距离的和、差最值 14 题型11：双曲线的轨迹问题 14 🔷知识点一　双曲线的定义 一般地，如果，是平面内的两个定点，是一个正常数，且．则平面上满足的动点的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的焦点，两个焦点的距离称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． (1) 若，点的轨迹为双曲线。 (2) 若，点的轨迹是以，为端点的两条射线。 (3) 若，点的轨迹不存在。 (4) 若2a=0，点的轨迹为线段的垂直平分线（不含线段上的点）。 ⚠️特别提醒 · 定义核心三要素：平面内、差的绝对值、常数小于且大于0，三者缺一不可。 · "绝对值"是定义的关键，缺少绝对值只能得到双曲线的一支，是高频漏解点。 · 与椭圆对比：椭圆是"距离和为定值且大于"，双曲线是"距离差的绝对值为定值且小于"。 🔷知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 a，b，c的关系 ⚠ 特别提醒 · 与椭圆区分：椭圆是两个正项相加，看分母大小定焦点；双曲线是一正一负，看正负定焦点。 · 标准方程右边必须为1，左边与项符号相反。 · 焦点位置不确定时，可设一般式，避免分类讨论。 🔷知识点三　核心参数的关系 1. 恒等式： 2. 参数意义： (1) ：实半轴长，对应实轴长； (2) ：虚半轴长，对应虚轴长； (3) ：半焦距，对应焦距。 3. 大小关系：，，是三个参数中的最大值；与大小关系不确定，可、、。 ⚠ 特别提醒 · 极易与椭圆混淆：椭圆中最大，；双曲线中最大，； · 双曲线中不代表短半轴，虚轴长度与实轴长度共同决定双曲线的开口宽窄。 🔷知识点四　双曲线的焦点三角形 双曲线上任意一点（非实轴顶点）与两个焦点构成的，称为双曲线的焦点三角形，是双曲线最核心的综合题型载体。 1. 边长关系 (1) 底边：（焦距，定值） (2) 两腰差：由双曲线定义得 (3) 分支对应：在右支；在左支 2. 面积公式 (1) 基础公式：（为顶角） (2) 二级结论：（为顶角） (3) 坐标公式：（为点纵坐标） 3. 解题核心思路：双曲线定义 + 余弦定理，通过定义式平方建立边长平方和与乘积的关系。 ⚠ 特别提醒 · 注意与椭圆焦点三角形面积公式区分：椭圆是，双曲线是，切勿记混。 · 二级结论选择填空题可直接使用，解答题需结合定义和余弦定理推导后再使用。 · 涉及边长问题先确定点所在的支，避免差的符号出错。 🔷知识点五　双曲线标准方程的求解方法 1. 定义法 适用场景：已知焦点坐标、动点到两焦点的距离差等条件。 解题步骤：由焦点得，由定义的距离差得，由求，根据焦点位置写出标准方程。 2. 待定系数法 适用场景：已知双曲线上两点坐标，或过定点的条件。 解题步骤： (1) 焦点确定：设对应标准方程，代入点坐标解方程组； (2) 焦点不确定：设一般式，代入点坐标求解，由正负判断焦点位置。 ⚠ 特别提醒 · 用定义法时，注意题目是否限定轨迹是一支还是两支，不要盲目加绝对值； · 设一般式时，必须满足，保证方程表示双曲线。 易错点1：双曲线定义忽略"绝对值"和与的大小关系 【易错点】 1. 已知动点到两焦点的距离差求轨迹时，漏掉"绝对值"，只求出双曲线的一支，遗漏另一支。 2. 忽略的约束条件，误将射线或无轨迹的情况判定为双曲线。 【易错消除】 1. 看到"距离之差"先看是否有"绝对值"： (1) 有"绝对值"：轨迹为完整的双曲线（两支）。 (2) 无"绝对值"：轨迹为双曲线的一支，根据差的正负判断是哪一支。 2. 牢记定义边界： ：双曲线。 ：以焦点为端点的两条射线。 ：无轨迹。 含参数的轨迹判断题，必须分情况讨论验证。 【易错例题】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 易错点2：混淆椭圆与双曲线的平方关系 【易错点】 套用椭圆的平方关系，或记错最大参数。 【易错消除】 对比记忆： (1) 椭圆：最大，。 (2) 双曲线：最大，。 计算参数前先确定曲线类型，再代入对应公式。 【易错例题】（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 易错点3：判断焦点位置用错方法，与椭圆混淆 【易错点】 沿用椭圆结论，导致判断错误。 【易错消除】 双曲线焦点判定口诀：焦点跟着正项走，正项的分母是，与分母大小无关。 【易错例题】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 易错点4：误认为双曲线中一定小于 【易错点】 受椭圆"短半轴小于长半轴"的思维定式影响，错误限制取值范围。 【易错消除】 双曲线中是实半轴，是虚半轴，二者无确定的大小关系，可以大于、等于、小于； 当时称为等轴双曲线，离心率。 【易错例题】（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 易错点5：焦点位置不确定时，漏解或设方程符号错误 【易错点】 题目未指明焦点位置时，漏掉焦点在轴的情况；或设一般式时忽略的条件。 【易错消除】 未指明焦点位置时，优先分焦点在轴、轴两类讨论； 也可设一般式，利用的条件求解，自动包含两种情况。 【易错例题】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 易错点6：焦点三角形面积公式与椭圆混淆，忽略点所在支 【易错点】 1. 记错焦点三角形面积公式，将双曲线的误写为椭圆的形式； 2. 不判断点所在的支，导致边长关系错误。 【易错消除】 1. 对比记忆：椭圆和为定值，面积用乘法；双曲线差为定值，面积用除法。 2. 解题先看点位置：明确在左/右支时，直接写对应边长差；未明确时，加绝对值分类讨论。 【易错例题】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型1：双曲线定义的理解 方法技巧 1. 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于0）的点的轨迹叫做双曲线。 2. 定义核心：差的绝对值、常数；去掉绝对值仅表示双曲线的一支。 3. 若，轨迹为两条射线；若，轨迹不存在。 4. 焦点三角形问题中，常利用定义进行边长转化。 【例题1.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【例题1.2】（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【变式1.1】（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【变式1.2】（2026·广东江门·一模）已知双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则（    ） A．1 B．8 C．9 D．11 题型2：根据方程表示双曲线求参数的范围 方法技巧 1. 双曲线标准形式特征：与项的分母异号。 2. 方程表示双曲线，则；焦点在轴，焦点在轴。 3. 方程表示双曲线，则且。 4. 求解后检验分母不为0的隐含条件。 【例题2.1】（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【例题2.2】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【变式2.2】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：根据a、b、c和定义求双曲线标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点所在坐标轴，设对应标准方程：（焦点在轴）或（焦点在轴）。 2. 双曲线满足，注意与椭圆区分。 3. 由定义求出，结合的值计算。 4. 焦点位置不确定时，分两种情况讨论，或设一般式求解。 【例题3.1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3.2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 题型4：待定系数法求双曲线标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点所在坐标轴，设对应标准方程：（焦点在轴）或（焦点在轴）。 2. 焦点位置不确定时，分两种情况讨论，或设一般式求解。 3. 等轴双曲线设为。 【例题4.1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例题4.2】（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【变式4.1】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【变式4.2】（25-26高二下·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    题型5：根据双曲线方程求a、b、c 方法技巧 1. 先将方程化为标准形式，等号右边为1，正项对应分母为，负项对应分母为。 2. 项为正，焦点在轴；项为正，焦点在轴。 3. 由计算，焦点坐标为或。 4. 均为正数，注意不要混淆的位置。 【例题5.1】（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【例题5.2】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________. 【变式5.1】（第三章 圆锥曲线的方程 第2节 双曲线）双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则______． 【变式5.2】（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 题型6：双曲线中焦点三角形的周长问题 方法技巧 1. 焦点三角形：双曲线上一点与两焦点构成的。 2. 由双曲线定义，结合已知边长求出。 3. 周长。 4. 根据所在分支确定的正负，正确去掉绝对值。 【例题6.1】（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【例题6.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【变式6.1】．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 题型7：双曲线中焦点三角形的面积问题 方法技巧 1. 焦点三角形面积公式：，其中。 2. 已知点纵坐标，。 3. 已知两边及夹角，用，结合定义和余弦定理求解。 4. 面积恒为正，点的纵坐标需加绝对值。 【例题7.1】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例题7.2】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【变式7.1】（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 题型8：双曲线中焦点三角形的其他问题 方法技巧 1. 角度问题：利用余弦定理，结合和列式求解。 2. 边长最值：双曲线上点到焦点的最短距离为，对应双曲线顶点处。 3. 内心位置： (1) 焦点在轴，双曲线焦点三角形的内心横坐标为，在对应顶点的竖直线上。 (2) 焦点在轴，双曲线焦点三角形的内心纵坐标为，在对应顶点的水平直线上。 4. 涉及中线、角平分线，结合对应定理与双曲线定义联立求解。 【例题8.1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【例题8.2】（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 【变式8.1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【变式8.2】（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 题型9：双曲线上点到定点距离的最值 方法技巧 1. 设双曲线上点，利用双曲线方程消元，转化为单变量函数求最值。 2. 定点在坐标轴上时，结合几何图形分析，最短距离往往出现在顶点附近。 3. 注意双曲线焦点在轴：、焦点在轴：的定义域限制，求函数最值时不能超出范围。 【例题9.1】（26-27高二上·全国·课后作业）在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 【例题9.2】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【变式9.1】（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【变式9.2】（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 题型10：双曲线上点到定点距离的和、差最值 方法技巧 1. 距离差最值：利用双曲线定义，将距离转化到同侧，结合三角形三边关系。 2. 距离和最值：利用对称点，转化为两点之间线段最短，注意交点需在双曲线上。 3. 求的最值，优先用定义将转化为另一焦点的距离，再用三点共线求最值。 4. 验证最值点是否在双曲线上，确保几何上可实现。 【例题10.1】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例题10.2】（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【变式10.1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式10.2】（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 题型11：双曲线的轨迹问题 方法技巧 1. 定义法：分析动点满足的条件，符合双曲线定义，直接写出标准方程。 2. 直接法：设动点坐标，根据题意列出等式，化简整理。 3. 代入法：已知一动点在双曲线上，求另一动点轨迹，用坐标代换求解。 4. 求出方程后，检验轨迹的纯粹性，去掉不符合条件的点。 【例题11.1】（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【例题11.2】（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【变式11.1】（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【变式11.2】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $