2.4 圆的方程（知识清单，知识点+六大易错点+十二大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 内容概览 2 🔷知识点一　圆的标准方程 2 🔷知识点二　圆的一般方程 3 🔷知识点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 3 🔷知识点四　点和圆的位置关系 4 🔷知识点五　圆的轨迹方程 5 🔷知识点六　圆的对称性 5 🔷知识点七　定点到圆上点的最值 6 🔷扩展知识点八　圆的参数方程 6 6 易错点1：圆的标准方程，忽略半径为正 6 易错点2：圆的一般方程，忽略表示圆的前提条件 7 易错点3：点和圆的位置关系，忽略圆自身条件 8 易错点4：求圆的轨迹方程，忽略检验范围限制 9 易错点5：圆的对称性，忽略圆心变化 9 易错点6：定点到圆上点的最值，忽略最值点的位置 10 11 题型1：由标准方程确定圆心和半径 11 题型2：求圆的标准方程 12 题型3：求圆的一般方程 14 题型4：由圆的一般方程确定圆心和半径 16 题型5：圆的一般方程与标准方程之间的互化 17 题型6：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 19 题型7：圆过定点问题 21 题型8：判断点与圆的位置关系 24 题型9：点与圆的位置关系求参数 26 题型10：圆的轨迹问题 27 题型11：圆的对称性的应用 30 题型12：定点到圆上点的最值(范围) 32 🔷知识点一　圆的标准方程 1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2. 确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示.    3. 圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是.当时，方程为，表示以原点O为圆心，半径为的圆. 4. 单位圆：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆. ⚠️特别提醒 · 确定圆的几何要素： 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. · 几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 与轴轴都相切 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 🔷知识点二　圆的一般方程 1. 圆的一般方程是（），圆心为，半径为． 对于方程， ①当时，方程表示圆； ②当时，方程表示一个点； ③当时，方程不表示任何图形． 2. 圆的标准方程和一般方程的对比： 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准方程 一般方程 圆心坐标 半径 充要条件 ⚠ 特别提醒 · 圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，是判断该二元方程是否表示圆的判定式． 🔷知识点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 比较二元二次方程和圆的一般方程，可以得出如下结论.当二元二次方程具有条件： （1）和的系数相同，且不等于0，即； （2）没有项，即； （3），即时，它才表示圆． 🔷知识点四　点和圆的位置关系 圆，其圆心为，半径为，圆C的一般方程为：．点，设． 位置关系 图形表示 几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程） 点在圆外    点在圆上 点在圆内 ⚠ 特别提醒 · 在实际比较中，一般先计算,然后比较的大小． · 根据点与圆的位置关系求参数，如果是一般式方程要注意符合。 🔷知识点五　圆的轨迹方程 1. 轨迹的定义 平面内，动点按某种规律运动所经过的全部点组成的集合（图形），叫做这个动点的轨迹。 简单说：轨迹是点运动留下的“路线”，是几何图形． 2. 轨迹方程的定义 在给定的坐标系中，轨迹上任意一点坐标都满足方程，且坐标满足方程的点都在轨迹上，则该方程叫做这条轨迹的方程 F(x,y)=0。 简单说：轨迹方程是用代数式子表示这条路线． 3. 轨迹和轨迹方程的关系： (1) 轨迹是图形（如圆、椭圆、直线、抛物线）； (2) 轨迹方程是方程（如）； (3) 求轨迹方程，就是求动点坐标 (x,y)满足的等式． 4. 与圆有关的轨迹问题的求解方法 (1) 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2) 定义法：定义法：判断轨迹是否符合已知曲线（如直线、圆）的定义. (3) 相关点法：若动点 P 随已知曲线上的点Q 运动，用P的坐标表示Q，代入已知曲线方程. 5. 求动点M轨迹方程的一般步骤为： (1) 设动点M坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立); (2) 写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来; (3) 化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. ⚠特别提醒 · 注意检验轨迹的纯粹性和完备性（排除不符合条件的点）． 🔷知识点六　圆的对称性 1. 圆关于圆心对称，关于直径所在的直线对称. 2. 圆的对称圆的方程 圆的对称圆问题，由对称前后两圆全等知两圆半径相等，因此要求对称后圆的方程，只需确定圆心位置即可. (1) 两圆关于点对称，则此点为两圆的圆心连线的中点. (2) 两圆关于直线对称，则此直线为两圆的圆心连线的垂直平分线. 🔷知识点七　定点到圆上点的最值 1. 圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值，最大值，其中为半径，． 2. 圆内一点P到圆O上任意一点距离的最小值，最大值，其中为半径，． 3. 点P在圆O上时，P到圆O上任意一点距离的最小值=0，最大值=2r，其中为半径． 🔷扩展知识点八　圆的参数方程 1. 圆的参数方程为 2. 圆的参数方程为. 易错点1：圆的标准方程，忽略半径为正 【易错点】 由标准方程写圆心和半径时，容易忽略半径 r必须为正数. 【易错消除】 圆的标准方程为，圆心为 (a,b)，半径. 已知方程中右边为常数时，开方取正值. 形如的方程： (1) 当k>0时，代表圆，半径取（开方取正值）； (2) 当k=0时，称为点圆，仅表示点(a,b)，不是圆； (3) 当k<0时，称为虚圆，没有实数解，没有实数图像，也不是圆. 【易错例题】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 【答案】 （1）①标准方程为， 故圆的圆心为，半径为3； ②圆即为，其标准方程为， 故圆的圆心为，半径为； （2）圆的方程为 【分析】（1）化①②的圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得． （2）设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径． 【详解】（1）略 （2）设所求圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 所以，所求圆的方程为， 该圆的标准方程为，圆心为，半径为1． 易错点2：圆的一般方程，忽略表示圆的前提条件 【易错点】 使用圆的一般方程时，容易忽略  这一前提条件. 【易错消除】 圆的一般方程为 ，其表示圆的前提是 。求出参数后需验证该条件. 方程： (1) ：表示圆； (2) ：点圆（仅一个点）； (3) ：虚圆，无实数图像. 【易错例题】（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 易错点3：点和圆的位置关系，忽略圆自身条件 【易错点】 判断点与圆的位置关系时，容易忽略圆本身是否成立，即方程是否满足表示圆的前提. 【易错消除】 先确认圆的方程满足（一般方程）或半径（标准方程），再比较点与圆心距离的平方与 的大小：距离平方等于，点在圆上；小于，点在圆内；大于，点在圆外. 【易错例题】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 易错点4：求圆的轨迹方程，忽略检验范围限制 【易错点】 求动点的轨迹方程时，容易忽略对变量范围的检验，导致轨迹多解或漏解。 【易错消除】 求出轨迹方程后，根据动点的实际运动条件，检验方程是否表示圆，并注明变量的取值范围。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 易错点5：圆的对称性，忽略圆心变化 【易错点】 处理圆关于点或直线对称的问题时，容易只关注方程形式，忽略圆心的变化规律。 【易错消除】 圆关于点对称，半径不变，圆心关于该点对称；圆关于直线对称，半径不变，圆心关于该直线对称。求出新圆心后直接写标准方程。 【易错例题1】（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 【易错例题2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________． 【答案】 【分析】先根据圆的方程得出圆心及半径，再得出对称点，进而得出圆的标准方程. 【详解】圆圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. 故答案为：. 易错点6：定点到圆上点的最值，忽略最值点的位置 【易错点】 求定点到圆上点的距离最值时，容易忽略最值点位于圆心与定点连线的延长线上。 【易错消除】 1. 若P在圆外，定点P到圆上点的最大距离为 ，最小距离为，其中 C为圆心，r为半径，P 为定点。 2. 若P在圆内，定点P到圆上点的最大距离为 ，最小距离为，其中 C为圆心，r为半径，P 为定点。 【易错例题】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 题型1：由标准方程确定圆心和半径 方法技巧 圆的标准方程为，其圆心为 (a,b)，半径为 r，. 注意标准方程中是“”和“y−b”，也就是减去圆心坐标；遇到加号时，要看成减去负数. 【例题1.1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 【例题1.2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 【变式1.1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 【变式1.2】（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是一个圆的标准方程， 其中圆心坐标为，半径， 圆的周长为． 题型2：求圆的标准方程 方法技巧 确定圆心坐标 (a,b) 和半径 r，代入标准方程 : 1. 待定系数法：设标准方程，代入已知点坐标或利用圆心到点的距离等于半径列方程组. 2. 若已知圆过三点，可设一般方程求解，再化为标准方程；或利用垂径定理求圆心：求弦的垂直平分线时，已知斜率可选用斜截式或点斜式. 【例题2.1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【例题2.2】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 【变式2.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. 【变式2.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. （2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. 【详解】（1）由条件可知，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 题型3：求圆的一般方程 方法技巧 解题方法：圆的一般方程为（要求 ）： 1. 通常采用待定系数法，将已知点的坐标代入方程，得到关于 D、E、F 的三元一次方程组，解出即可. 2. 若已知圆过原点，可直接得出 ，简化计算. 【例题3.1】（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 【例题3.2】（2026高三·全国·专题练习）过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 【变式3.1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 【变式3.2】（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 题型4：由圆的一般方程确定圆心和半径 方法技巧 将一般方程  配方，化为标准形式： 1. 圆心坐标为，半径. 2. 使用半径公式前，务必先验证，否则方程不表示圆. 【例题4.1】（25-26高二上·湖南郴州·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据圆的标准方程得到答案即可. 【详解】由题意得圆， 化简可得，则圆心坐标为, 故选：C 【例题4.2】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 【变式4.1】（25-26高二下·上海黄浦·期末）圆的半径为________． 【答案】 2 【分析】将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，即可求解半径. 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. 【变式4.2】（25-26高二上·陕西安康·期末）若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆化成标准方程，可以知道圆的半径，代入面积公式即可求出答案. 【详解】由题意知圆的方程是， 可以化成标准方程，而圆的面积为， 则由圆的面积公式可得，解之可得. 故选： 题型5：圆的一般方程与标准方程之间的互化 方法技巧 标准方程展开即得一般方程；一般方程配方即得标准方程： 1. 一般化标准：通过配方法，将 x 项和 y 项分别配成完全平方. 2. 标准化一般：直接展开平方项并合并同类项. 3. 互化时要注意保持等价性，特别是配方过程中常数项的处理. 【例题5.1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 【例题5.2】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而由半径的范围列不等式即可得的取值范围. 【详解】圆方程可化为， 由于圆的半径不超过2， 所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式5.1】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 【变式5.2】（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 题型6：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 方法技巧 判断方程是否表示圆： 1. 表示圆的条件：且. 2. 若，表示一个点；若小于0，不表示任何图形. 【例题6.1】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【详解】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【例题6.2】（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将圆化为标准形式，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 【变式6.1】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 题型7：圆过定点问题 方法技巧 证明圆恒过定点，通常将方程整理为关于参数的式子，令参数系数和常数项同时为0： 1. 分离参数法：将含参数的项和不含参数的项分开，得到方程组，解出定点坐标. 2. 若已知圆过某定点，可直接将该点坐标代入方程验证. 【例题7.1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【例题7.2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【变式7.1】（25-26高二上·全国·课后作业）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【变式7.2】（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 题型8：判断点与圆的位置关系 方法技巧 计算点到圆心的距离d 与半径 r 比较： 1. ：点在圆外；，点在圆上；：点在圆内. 2. 可将点坐标代入圆的标准方程，比较左边与 的大小. 3. 可将点坐标代入圆的一般方程，比较左边与0的大小. 【例题8.1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【例题8.2】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【变式8.1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 【变式8.2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【分析】求得圆心坐标与半径可判断I与II，把原点坐标代入方程左边计算大于0可判断III. 【详解】由，可得， 所以，所以圆心的坐标为，半径为，故I错误； 所以圆的面积为，故II正确； 因为，故原点位于圆外，故III错误． 故选：A. 题型9：点与圆的位置关系求参数 方法技巧 根据点与圆的位置关系，建立关于参数的不等式或方程： 1. ：点在圆外；，点在圆上；：点在圆内. 2. 解不等式时注意参数的取值范围，并验证是否满足圆的方程本身的条件（如）. 【例题9.1】（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 【例题9.2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 【变式9.1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 【变式9.2】（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 题型10：圆的轨迹问题 方法技巧 根据动点满足的几何条件，建立方程并化简： 1. 直接法：直接根据条件列等式. 2. 定义法：判断轨迹是否符合圆的定义（到定点距离等于定长）. 3. 相关点法：若动点 P 随已知圆上的点 Q 运动，用 P 表示Q，代入已知圆方程. 4. 注意检验轨迹的纯粹性，排除不符合条件的点. 【例题10.1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 【例题10.2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 【变式10.1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用中点坐标公式写出点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹. 【详解】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为. 故选：A 【变式10.2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 题型11：圆的对称性的应用 方法技巧 利用圆的对称性质： 1. 圆关于圆心对称，关于直径所在的直线对称． 2. 若两圆关于某点对称，则两圆圆心关于该点对称，半径相等． 3. 若两圆关于某直线对称，则两圆圆心关于该直线对称，半径相等． 【例题11.1】（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 【例题11.2】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 【变式11.1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 【变式11.2】（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 题型12：定点到圆上点的最值(范围) 方法技巧 利用圆心到定点的距离 d 与半径 r 的关系： 1. 定点到圆上点的最大距离为 ，最小距离为. 2. 若定点在圆内，最小距离为，最大距离为. 3. 对于含参数的定点问题，可结合圆心和半径的范围综合求解. 【例题12.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 【例题12.2】（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 【变式12.1】（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 【变式12.2】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 内容概览 2 🔷知识点一　圆的标准方程 2 🔷知识点二　圆的一般方程 3 🔷知识点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 3 🔷知识点四　点和圆的位置关系 4 🔷知识点五　圆的轨迹方程 5 🔷知识点六　圆的对称性 5 🔷知识点七　定点到圆上点的最值 6 🔷扩展知识点八　圆的参数方程 6 6 易错点1：圆的标准方程，忽略半径为正 6 易错点2：圆的一般方程，忽略表示圆的前提条件 6 易错点3：点和圆的位置关系，忽略圆自身条件 7 易错点4：求圆的轨迹方程，忽略检验范围限制 7 易错点5：圆的对称性，忽略圆心变化 8 易错点6：定点到圆上点的最值，忽略最值点的位置 8 8 题型1：由标准方程确定圆心和半径 8 题型2：求圆的标准方程 9 题型3：求圆的一般方程 10 题型4：由圆的一般方程确定圆心和半径 10 题型5：圆的一般方程与标准方程之间的互化 11 题型6：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 12 题型7：圆过定点问题 12 题型8：判断点与圆的位置关系 13 题型9：点与圆的位置关系求参数 14 题型10：圆的轨迹问题 14 题型11：圆的对称性的应用 15 题型12：定点到圆上点的最值(范围) 16 🔷知识点一　圆的标准方程 1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2. 确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示.    3. 圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是.当时，方程为，表示以原点O为圆心，半径为的圆. 4. 单位圆：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆. ⚠️特别提醒 · 确定圆的几何要素： 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. · 几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 与轴轴都相切 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 🔷知识点二　圆的一般方程 1. 圆的一般方程是（），圆心为，半径为． 对于方程， ①当时，方程表示圆； ②当时，方程表示一个点； ③当时，方程不表示任何图形． 2. 圆的标准方程和一般方程的对比： 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准方程 一般方程 圆心坐标 半径 充要条件 ⚠ 特别提醒 · 圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，是判断该二元方程是否表示圆的判定式． 🔷知识点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 比较二元二次方程和圆的一般方程，可以得出如下结论.当二元二次方程具有条件： （1）和的系数相同，且不等于0，即； （2）没有项，即； （3），即时，它才表示圆． 🔷知识点四　点和圆的位置关系 圆，其圆心为，半径为，圆C的一般方程为：．点，设． 位置关系 图形表示 几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程） 点在圆外    点在圆上 点在圆内 ⚠ 特别提醒 · 在实际比较中，一般先计算,然后比较的大小． · 根据点与圆的位置关系求参数，如果是一般式方程要注意符合。 🔷知识点五　圆的轨迹方程 1. 轨迹的定义 平面内，动点按某种规律运动所经过的全部点组成的集合（图形），叫做这个动点的轨迹。 简单说：轨迹是点运动留下的“路线”，是几何图形． 2. 轨迹方程的定义 在给定的坐标系中，轨迹上任意一点坐标都满足方程，且坐标满足方程的点都在轨迹上，则该方程叫做这条轨迹的方程 F(x,y)=0。 简单说：轨迹方程是用代数式子表示这条路线． 3. 轨迹和轨迹方程的关系： (1) 轨迹是图形（如圆、椭圆、直线、抛物线）； (2) 轨迹方程是方程（如）； (3) 求轨迹方程，就是求动点坐标 (x,y)满足的等式． 4. 与圆有关的轨迹问题的求解方法 (1) 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2) 定义法：定义法：判断轨迹是否符合已知曲线（如直线、圆）的定义. (3) 相关点法：若动点 P 随已知曲线上的点Q 运动，用P的坐标表示Q，代入已知曲线方程. 5. 求动点M轨迹方程的一般步骤为： (1) 设动点M坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立); (2) 写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来; (3) 化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. ⚠特别提醒 · 注意检验轨迹的纯粹性和完备性（排除不符合条件的点）． 🔷知识点六　圆的对称性 1. 圆关于圆心对称，关于直径所在的直线对称. 2. 圆的对称圆的方程 圆的对称圆问题，由对称前后两圆全等知两圆半径相等，因此要求对称后圆的方程，只需确定圆心位置即可. (1) 两圆关于点对称，则此点为两圆的圆心连线的中点. (2) 两圆关于直线对称，则此直线为两圆的圆心连线的垂直平分线. 🔷知识点七　定点到圆上点的最值 1. 圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值，最大值，其中为半径，． 2. 圆内一点P到圆O上任意一点距离的最小值，最大值，其中为半径，． 3. 点P在圆O上时，P到圆O上任意一点距离的最小值=0，最大值=2r，其中为半径． 🔷扩展知识点八　圆的参数方程 1. 圆的参数方程为 2. 圆的参数方程为. 易错点1：圆的标准方程，忽略半径为正 【易错点】 由标准方程写圆心和半径时，容易忽略半径 r必须为正数. 【易错消除】 圆的标准方程为，圆心为 (a,b)，半径. 已知方程中右边为常数时，开方取正值. 形如的方程： (1) 当k>0时，代表圆，半径取（开方取正值）； (2) 当k=0时，称为点圆，仅表示点(a,b)，不是圆； (3) 当k<0时，称为虚圆，没有实数解，没有实数图像，也不是圆. 【易错例题】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 易错点2：圆的一般方程，忽略表示圆的前提条件 【易错点】 使用圆的一般方程时，容易忽略  这一前提条件. 【易错消除】 圆的一般方程为 ，其表示圆的前提是 。求出参数后需验证该条件. 方程： (1) ：表示圆； (2) ：点圆（仅一个点）； (3) ：虚圆，无实数图像. 【易错例题】（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 易错点3：点和圆的位置关系，忽略圆自身条件 【易错点】 判断点与圆的位置关系时，容易忽略圆本身是否成立，即方程是否满足表示圆的前提. 【易错消除】 先确认圆的方程满足（一般方程）或半径（标准方程），再比较点与圆心距离的平方与 的大小：距离平方等于，点在圆上；小于，点在圆内；大于，点在圆外. 【易错例题】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 易错点4：求圆的轨迹方程，忽略检验范围限制 【易错点】 求动点的轨迹方程时，容易忽略对变量范围的检验，导致轨迹多解或漏解。 【易错消除】 求出轨迹方程后，根据动点的实际运动条件，检验方程是否表示圆，并注明变量的取值范围。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 易错点5：圆的对称性，忽略圆心变化 【易错点】 处理圆关于点或直线对称的问题时，容易只关注方程形式，忽略圆心的变化规律。 【易错消除】 圆关于点对称，半径不变，圆心关于该点对称；圆关于直线对称，半径不变，圆心关于该直线对称。求出新圆心后直接写标准方程。 【易错例题1】（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 【易错例题2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________． 易错点6：定点到圆上点的最值，忽略最值点的位置 【易错点】 求定点到圆上点的距离最值时，容易忽略最值点位于圆心与定点连线的延长线上。 【易错消除】 1. 若P在圆外，定点P到圆上点的最大距离为 ，最小距离为，其中 C为圆心，r为半径，P 为定点。 2. 若P在圆内，定点P到圆上点的最大距离为 ，最小距离为，其中 C为圆心，r为半径，P 为定点。 【易错例题】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型1：由标准方程确定圆心和半径 方法技巧 圆的标准方程为，其圆心为 (a,b)，半径为 r，. 注意标准方程中是“”和“y−b”，也就是减去圆心坐标；遇到加号时，要看成减去负数. 【例题1.1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【例题1.2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 题型2：求圆的标准方程 方法技巧 确定圆心坐标 (a,b) 和半径 r，代入标准方程 : 1. 待定系数法：设标准方程，代入已知点坐标或利用圆心到点的距离等于半径列方程组. 2. 若已知圆过三点，可设一般方程求解，再化为标准方程；或利用垂径定理求圆心：求弦的垂直平分线时，已知斜率可选用斜截式或点斜式. 【例题2.1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2.2】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【变式2.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 题型3：求圆的一般方程 方法技巧 解题方法：圆的一般方程为（要求 ）： 1. 通常采用待定系数法，将已知点的坐标代入方程，得到关于 D、E、F 的三元一次方程组，解出即可. 2. 若已知圆过原点，可直接得出 ，简化计算. 【例题3.1】（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【例题3.2】（2026高三·全国·专题练习）过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 题型4：由圆的一般方程确定圆心和半径 方法技巧 将一般方程  配方，化为标准形式： 1. 圆心坐标为，半径. 2. 使用半径公式前，务必先验证，否则方程不表示圆. 【例题4.1】（25-26高二上·湖南郴州·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【例题4.2】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 【变式4.1】（25-26高二下·上海黄浦·期末）圆的半径为________． 【变式4.2】（25-26高二上·陕西安康·期末）若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 题型5：圆的一般方程与标准方程之间的互化 方法技巧 标准方程展开即得一般方程；一般方程配方即得标准方程： 1. 一般化标准：通过配方法，将 x 项和 y 项分别配成完全平方. 2. 标准化一般：直接展开平方项并合并同类项. 3. 互化时要注意保持等价性，特别是配方过程中常数项的处理. 【例题5.1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【变式5.1】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5.2】（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 方法技巧 判断方程是否表示圆： 1. 表示圆的条件：且. 2. 若，表示一个点；若小于0，不表示任何图形. 【例题6.1】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【例题6.2】（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【变式6.1】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式6.2】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型7：圆过定点问题 方法技巧 证明圆恒过定点，通常将方程整理为关于参数的式子，令参数系数和常数项同时为0： 1. 分离参数法：将含参数的项和不含参数的项分开，得到方程组，解出定点坐标. 2. 若已知圆过某定点，可直接将该点坐标代入方程验证. 【例题7.1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【例题7.2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【变式7.1】（25-26高二上·全国·课后作业）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【变式7.2】（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 题型8：判断点与圆的位置关系 方法技巧 计算点到圆心的距离d 与半径 r 比较： 1. ：点在圆外；，点在圆上；：点在圆内. 2. 可将点坐标代入圆的标准方程，比较左边与 的大小. 3. 可将点坐标代入圆的一般方程，比较左边与0的大小. 【例题8.1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【例题8.2】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【变式8.1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式8.2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 题型9：点与圆的位置关系求参数 方法技巧 根据点与圆的位置关系，建立关于参数的不等式或方程： 1. ：点在圆外；，点在圆上；：点在圆内. 2. 解不等式时注意参数的取值范围，并验证是否满足圆的方程本身的条件（如）. 【例题9.1】（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【例题9.2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【变式9.2】（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型10：圆的轨迹问题 方法技巧 根据动点满足的几何条件，建立方程并化简： 1. 直接法：直接根据条件列等式. 2. 定义法：判断轨迹是否符合圆的定义（到定点距离等于定长）. 3. 相关点法：若动点 P 随已知圆上的点 Q 运动，用 P 表示Q，代入已知圆方程。 4. 注意检验轨迹的纯粹性，排除不符合条件的点. 【例题10.1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例题10.2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10.2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 题型11：圆的对称性的应用 方法技巧 利用圆的对称性质： 1. 圆关于圆心对称，关于直径所在的直线对称． 2. 若两圆关于某点对称，则两圆圆心关于该点对称，半径相等． 3. 若两圆关于某直线对称，则两圆圆心关于该直线对称，半径相等． 【例题11.1】（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【例题11.2】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【变式11.1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式11.2】（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 题型12：定点到圆上点的最值(范围) 方法技巧 利用圆心到定点的距离 d 与半径 r 的关系： 1. 定点到圆上点的最大距离为 ，最小距离为. 2. 若定点在圆内，最小距离为，最大距离为. 3. 对于含参数的定点问题，可结合圆心和半径的范围综合求解. 【例题12.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题12.2】（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【变式12.1】（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【变式12.2】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $