专题03 三角函数的概念（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 三角函数的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 利用单位圆求三角函数值 1 题型02 利用终边上的点的坐标求三角函数值 2 题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 4 题型04 判断三角函数值在各个象限内的符号 5 题型05 由三角函数值的符号判断角所在象限 6 题型06 诱导公式一的应用 7 ▌题型01 利用单位圆求三角函数值 1．利用单位圆定义三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)， 那么： , ， . 2.利用单位圆求三角函数的策略 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 【典例1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（    ） A． B． C． D． ▌题型02 利用终边上的点的坐标求三角函数值 1．利用角的终边上一点的坐标定义三角函数 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则 ，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即 ； （3）叫做的正切，记做，即 2．利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【典例2-1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 【典例2-2】（26-27高一上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，角的终边在直线上，求的值． 【答案】或． 【分析】根据三角函数的定义和同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以. 所以，即. 因为，所以，解得. 当时，，此时. 当时，,此时 所以或. 【变式2-1】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知角的终边落在直线上，求； 【变式2-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知角的终边过点，且，求的值. ▌题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 由三角函数值求终边上的点或参数的策略： 1.直接法：若点的坐标直接用三角函数表示，代入定义式即可求解. 2.参数法：设点为参数形式，结合三角恒等式消去参数，再求参数值. 3.方程法：根据三角函数值建立方程，解方程得参数. 4.逆用法：由已知三角函数值反推角，再利用角求坐标. 核心：明确三角函数定义，灵活选择方法，注意值域与范围限制. 【典例3】（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 【变式3-1】（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【变式3-3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则 ▌题型04 判断三角函数值在各个象限内的符号 各象限内三角函数值的符号 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 【典例4】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则A错误． 【变式4-1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（        ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）下列式子中：①；②；③；④，值为正的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ ▌题型05 由三角函数值的符号判断角所在象限 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限． 【典例5】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 【变式5-1】（25-26高一下·北京·期中）在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【变式5-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式5-3】（25-26高一下·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 ▌题型06 诱导公式一的应用 1.诱导公式一 由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，由此可得到诱导公式一. 其中 其中 2.诱导公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值. 3.利用诱导公式一化简或求值的步骤 （1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式． （2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值． （3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 【典例6】（2026高一·全国·专题练习）的值为________． 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 【变式6-1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式6-2】（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）_________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的概念 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用单位圆求三角函数值 【典例1】 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 【变式1-1】 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可得. 【变式1-2】 【答案】C 【详解】点的横坐标为，点的纵坐标为，由三角函数的定义可知． 【变式1-3】 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可. 【详解】因为角终边交单位圆于点， 所以解得，所以， 所以，，，故选项C正确，选项B、D错误; 因为，所以，故选项A错误. 故选：C. ▌题型02 利用终边上的点的坐标求三角函数值 【典例2-1】 【答案】A 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 【典例2-2】 【答案】或． 【分析】根据三角函数的定义和同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以. 所以，即. 因为，所以，解得. 当时，，此时. 当时，,此时 所以或. 【变式2-1】 【答案】A 【分析】根据正弦函数的终边定义求解即可. 【详解】在角的终边上取点，可得. 【变式2-2】 【答案】 【详解】因为已知角的终边落在直线上，所以设点在直线上， 则，则，同理，则 【变式2-3】 【答案】 【分析】首先根据正切的定义求出，进而可求得，从而求解. 【详解】根据三角函数的定义可得，解得，所以，， 所以，，从而. ▌题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 【典例3】 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 【变式3-1】 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 【变式3-2】 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 【变式3-3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则 【答案】1 【详解】根据题意可得，解得m=1 ▌题型04 判断三角函数值在各个象限内的符号 【典例4】 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则A错误． 【变式4-1】 【答案】D 【分析】由题设可判断终边位置，然后判断三角函数值的符号. 【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误； 对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误； 对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误； 对于D，由B分析，一定为正值，故D正确. 故选：D 【变式4-2】 【答案】C 【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上， 当为第一象限角时，函数； 当为第二象限角时，函数； 当为第三象限角时，函数； 当为第四象限角时，函数． 所以函数的值域为． 【变式4-3】 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式和象限角的符号判定即可求解. 【详解】判断①，，是第三象限角，第三象限角的正弦值为负，因此①为负； 判断②，余弦函数是偶函数，，，终边与相同， 是第四象限角，第四象限角的余弦值为正，因此②为正； 判断③， ，是第三象限角，第三象限角的余弦值为负，因此③为负； 判断④，因为是弧度，，弧度是第二象限角，第二象限角的正弦值为正，因此④为正. ▌题型05 由三角函数值的符号判断角所在象限 【典例5】 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 【变式5-1】 【答案】B 【详解】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. 【变式5-2】 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 【变式5-3】 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. ▌题型06 诱导公式一的应用 【典例6】 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 【变式6-1】 【答案】B 【详解】． 【变式6-2】 【答案】C 【详解】． 【变式6-3】 【答案】 【详解】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 利用单位圆求三角函数值 1 题型02 利用终边上的点的坐标求三角函数值 3 题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 5 题型04 判断三角函数值在各个象限内的符号 6 题型05 由三角函数值的符号判断角所在象限 8 题型06 诱导公式一的应用 10 ▌题型01 利用单位圆求三角函数值 1．利用单位圆定义三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)， 那么：y ,x ， . 2.利用单位圆求三角函数的策略 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 【典例1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可得. 【变式1-2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点的横坐标为，点的纵坐标为，由三角函数的定义可知． 【变式1-3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可. 【详解】因为角终边交单位圆于点， 所以解得，所以， 所以，，，故选项C正确，选项B、D错误; 因为，所以，故选项A错误. 故选：C. ▌题型02 利用终边上的点的坐标求三角函数值 1．利用角的终边上一点的坐标定义三角函数 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则 ，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即 ； （3）叫做的正切，记做，即 2．利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【典例2-1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 【典例2-2】（26-27高一上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，角的终边在直线上，求的值． 【答案】或． 【分析】根据三角函数的定义和同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以. 所以，即. 因为，所以，解得. 当时，，此时. 当时，,此时 所以或. 【变式2-1】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的终边定义求解即可. 【详解】在角的终边上取点，可得. 【变式2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知角的终边落在直线上，求； 【答案】 【详解】因为已知角的终边落在直线上，所以设点在直线上， 则，则，同理，则 【变式2-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知角的终边过点，且，求的值. 【答案】 【分析】首先根据正切的定义求出，进而可求得，从而求解. 【详解】根据三角函数的定义可得，解得，所以，， 所以，，从而. ▌题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 由三角函数值求终边上的点或参数的策略： 1.直接法：若点的坐标直接用三角函数表示，代入定义式即可求解. 2.参数法：设点为参数形式，结合三角恒等式消去参数，再求参数值. 3.方程法：根据三角函数值建立方程，解方程得参数. 4.逆用法：由已知三角函数值反推角，再利用角求坐标. 核心：明确三角函数定义，灵活选择方法，注意值域与范围限制. 【典例3】（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 【变式3-1】（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 【变式3-2】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 【变式3-3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则 【答案】1 【详解】根据题意可得，解得m=1 ▌题型04 判断三角函数值在各个象限内的符号 各象限内三角函数值的符号 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 【典例4】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则A错误． 【变式4-1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可判断终边位置，然后判断三角函数值的符号. 【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误； 对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误； 对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误； 对于D，由B分析，一定为正值，故D正确. 故选：D 【变式4-2】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上， 当为第一象限角时，函数； 当为第二象限角时，函数； 当为第三象限角时，函数； 当为第四象限角时，函数． 所以函数的值域为． 【变式4-3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）下列式子中：①；②；③；④，值为正的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式和象限角的符号判定即可求解. 【详解】判断①，，是第三象限角，第三象限角的正弦值为负，因此①为负； 判断②，余弦函数是偶函数，，，终边与相同， 是第四象限角，第四象限角的余弦值为正，因此②为正； 判断③， ，是第三象限角，第三象限角的余弦值为负，因此③为负； 判断④，因为是弧度，，弧度是第二象限角，第二象限角的正弦值为正，因此④为正. ▌题型05 由三角函数值的符号判断角所在象限 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限． 【典例5】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 【变式5-1】（25-26高一下·北京·期中）在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【详解】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. 【变式5-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 【变式5-3】（25-26高一下·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. ▌题型06 诱导公式一的应用 1.诱导公式一 由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，由此可得到诱导公式一. 其中 其中 2.诱导公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值. 3.利用诱导公式一化简或求值的步骤 （1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式． （2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值． （3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 【典例6】（2026高一·全国·专题练习）的值为________． 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 【变式6-1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式6-2】（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 【变式6-3】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）_________． 【答案】 【详解】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $