专题05 任意角、弧度制与三角函数的概念专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题05　任意角、弧度制与三角函数的概念 高中数学辅导资料 专题05 任意角、弧度制与三角函数的概念 考点预览 考点一 任意角与象限角 考点二 弧度制与弧长、扇形面积 考点三 三角函数的定义 考点四 三角函数值的符号、特殊值与定义域 考点五 同角三角函数的基本关系 一、知识填空 1．任意角与象限角 （1）按逆时针方向旋转形成的角叫作 ，按顺时针方向旋转形成的角叫作 ，不作任何旋转形成的角叫作 ． （2）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合 ． （3）使角的顶点与原点重合、始边与 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是 ；如果终边在坐标轴上，就说这个角 ． 2．弧度制与弧长、扇形面积公式 （1）长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作 弧度的角，记作 ． （2） ； ． （3）在半径为 的圆中，圆心角为 （弧度制）所对的弧长 ，扇形面积 ． 3．三角函数的定义 （1）设角 的终边与单位圆交于点 ，则 ， ， ． （2）设角 终边上任意一点 到原点的距离为 ，则 ， ， ， ． （3）终边相同的角的同名三角函数值 ；终边在 轴上的角的集合为 ． 4．三角函数值的符号、特殊值与定义域 （1）三角函数值在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ． （2） ， ， ， ． （3） 与 的定义域是 ，值域是 ； 的定义域是 ，值域是 ． 5．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： ． （2）商数关系： （，）． （3）若 ，则 ； ． 自检自纠： 1．（1）正角；负角；零角　（2）　（3）第几象限角；不属于任何象限 2．（1）半径长；　（2）；　（3）；； 3．（1）；；　（2）；；；　（3）相等； 4．（1）正弦为正；正切为正；余弦为正　（2）；；；　（3）；；； 5．（1）　（2）　（3）； 二、考点专练 考点一 任意角与象限角 【例题精讲】 1．给出下列四个命题：① 是第一象限角；② 是第三象限角；③ 是第二象限角；④ 是第一象限角．其中正确命题的个数为（　　） A． B． C． D． 2．与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则角 的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．终边落在 轴非负半轴上的角的集合为 ． 5．若角 的终边与 的终边相同，且 ，则 ． 6．（多选）下列结论正确的有（　　） A． 弧度的角是长度等于半径的圆弧所对的圆心角 B．若 是第一象限角，则 是第一象限角 C．若两个角的终边相同，则这两个角可能不相等 D．用角度制和弧度制度量角，所得结果都与圆的半径无关 【变式训练】 1．若角 的终边与 角的终边关于 轴对称，则 可以是（　　） A． B． C． D． 2．下列各角中，是第三象限角的是（　　） A． B． C． D． 3．与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 4．若角 的终边与角 的终边关于原点对称，则 可以是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）下列说法正确的有（　　） A． 是第二象限角 B． 与 的终边相同 C．若 是第二象限角，则 是第一象限角 D．终边在 轴上的角的集合是 6．（多选）下列结论正确的有（　　） A．终边在直线 上的角的集合为 B． 是第三象限角 C． 与 的终边相同 D．圆心角为 弧度、半径为 的扇形，其面积为 7．与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 8．已知 是第二象限角，则角 的终边落在第 象限． 【巩固练习】 1．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．若角 与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 3．集合 表示终边在（　　）的角 A． 轴上 B． 轴上 C．直线 上 D．直线 上 4．若 是第四象限角，则 是（　　） A．第二或第四象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一或第三象限角 5．已知 ，则角 是（　　） A．第三象限角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第四象限角 6．若角 的终边与 角的终边关于直线 对称，则 可以是（　　） A． B． C． D． 7．若角 与角 的终边相同，则 是（　　） A． 的整数倍 B． 的整数倍 C．任意角 D． 的整数倍 8．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 9．与 终边相同的最小正角为 ． 10．（多选）下列命题正确的有（　　） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定小于第二象限角 C．若 是钝角，则 是第二象限角 D．小于 的角不一定是锐角 考点二 弧度制与弧长、扇形面积 【例题精讲】 1．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 2．把 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 3．已知扇形的半径为 ，面积为 ，则该扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为 ． 5．若扇形的面积为 ，半径为 ，则扇形的圆心角为 ． 6．（多选）下列命题正确的有（　　） A．圆心角为 、半径为 的扇形，其弧长为 B．半径为 、圆心角为 弧度的扇形，其面积为 C．面积为 、半径为 的扇形，其圆心角为 D．弧长与半径相等的扇形，其圆心角为 弧度 【变式训练】 1．已知一扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为（　　） A． B． C． D． 2．把 化为角度是（　　） A． B． C． D． 3．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的圆心角为 弧度，半径为 ，则扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 5．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列关于弧度制的说法正确的有（　　） A． 弧度约等于 B．扇形的圆心角越大，其面积一定越大 C．弧度制下角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系 D．半径为 、圆心角为 弧度的扇形，其弧长为 7．（多选）已知扇形的周长为定值 ，则当其面积最大时，下列结论正确的有（　　） A．扇形的半径 B．扇形的最大面积为 C．扇形的弧长 D．扇形的圆心角 弧度 8．已知扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的弧长为 ． 【巩固练习】 1．已知扇形的周长为 ，则当扇形的面积最大时，其半径为（　　） A． B． C． D． 2．把 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 3．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的弧长为 ，半径为 ，则该扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 5．若扇形的圆心角扩大为原来的 倍，半径缩小为原来的 ，则扇形的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的 倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的 倍 6．已知扇形的周长为 ，半径为 ，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 7．在半径为 的圆中，圆心角为 弧度的扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．已知扇形的面积为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）下列角度与弧度的互化正确的有（　　） A． B． C． D． 10．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的面积为 ． 考点三 三角函数的定义 【例题精讲】 1．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知角 的终边经过点 ，则 ． 5．已知角 的终边经过点 ，则 ． 6．（多选）已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D．点 在第四象限，所以角 是第四象限角 【变式训练】 1．角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知角 的终边经过点 ，则 ． 7．（多选）已知角 的终边经过点 （），则下列结论正确的有（　　） A． B． C．当 时， D． 8．（多选）已知角 的终边经过点 （），则下列结论正确的有（　　） A． 恒成立 B．若 ，则 C． 的值不可能为 D．若 ，则 【巩固练习】 1．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知角 的终边经过点 （），且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知角 的终边与单位圆交于点 ，且 是第三象限角，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知角 的终边经过点 ，则 ． 6．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知角 的终边与单位圆交于点 ，且 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 9．已知 ，且 是第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 考点四 三角函数值的符号、特殊值与定义域 【例题精讲】 1．若 ，则角 的终边在（　　） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 2．已知点 在第三象限，则角 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点 在第四象限，则角 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（多选）已知角 的终边在直线 上，则下列结论可能成立的有（　　） A． B． C． D． 5．已知 是第四象限角，则点 在第 象限． 6．函数 的定义域为 ，值域为 ． 【变式训练】 1．若 且 ，则角 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．下列各式中，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 3． 的符号为（　　） A．正 B．负 C．零 D．不能确定 4．已知 是三角形的一个内角，且 ，则 是（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 5．若 且 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 6．（多选）下列结论正确的有（　　） A． 的值域为 B．若 ，则 C．终边相同的角的同名三角函数值相等 D． 在其定义域内是增函数 7．（多选）已知 是第二象限角，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，且 是第三象限角，则 ． 【巩固练习】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．已知点 在第二象限，则角 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列三角函数值中，可能等于 的是（　　） A． B． C． D．以上都不可能 4．已知 是第二象限角，则点 在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5． 的值为（　　） A． B． C． D． 6． 的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 是第三象限角，则 的符号为（　　） A．正 B．负 C．非负 D．不能确定 8．已知 ，则角 的终边可能在（　　） A．第一、第二象限 B．第二、第三象限 C．第三、第四象限 D．第一、第四象限 9．（多选）下列三角函数值中，值为负的有（　　） A． B． C． D． 10．已知角 的终边经过点 ，则 ． 考点五 同角三角函数的基本关系 【例题精讲】 1．已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（多选）已知 ，则下列各式正确的有（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 ． 6．已知 ，则 ． 【变式训练】 1．已知 ，且 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 是第三象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．（多选）已知 ，且 ，则下列结论正确的有（　　） A． 可能是第一象限角 B． 可能是第二象限角 C． 可能是第四象限角 D． 恒成立 7．（多选）已知 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．当 是第二象限角时， D． 8．已知 ，则 ． 【巩固练习】 1．已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，且 是第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 是第四象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 9．（多选）已知 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 10．已知 ，则 ． 三、达标检测 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1． 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．与 的终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 3．把 化为角度是（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 5．已知扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 6．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 ，且 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 10．已知 ，则下列结论可能成立的有（　　） A． B． C． D． 11．已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为 ． 13．已知角 的终边经过点 ，则 ． 14．已知 ，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $专题05　任意角、弧度制与三角函数的概念 高中数学辅导资料 专题05 任意角、弧度制与三角函数的概念 考点预览 考点一 任意角与象限角 考点二 弧度制与弧长、扇形面积 考点三 三角函数的定义 考点四 三角函数值的符号、特殊值与定义域 考点五 同角三角函数的基本关系 一、知识填空 1．任意角与象限角 （1）按逆时针方向旋转形成的角叫作 ，按顺时针方向旋转形成的角叫作 ，不作任何旋转形成的角叫作 ． （2）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合 ． （3）使角的顶点与原点重合、始边与 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是 ；如果终边在坐标轴上，就说这个角 ． 2．弧度制与弧长、扇形面积公式 （1）长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作 弧度的角，记作 ． （2） ； ． （3）在半径为 的圆中，圆心角为 （弧度制）所对的弧长 ，扇形面积 ． 3．三角函数的定义 （1）设角 的终边与单位圆交于点 ，则 ， ， ． （2）设角 终边上任意一点 到原点的距离为 ，则 ， ， ， ． （3）终边相同的角的同名三角函数值 ；终边在 轴上的角的集合为 ． 4．三角函数值的符号、特殊值与定义域 （1）三角函数值在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ． （2） ， ， ， ． （3） 与 的定义域是 ，值域是 ； 的定义域是 ，值域是 ． 5．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： ． （2）商数关系： （，）． （3）若 ，则 ； ． 自检自纠： 1．（1）正角；负角；零角　（2）　（3）第几象限角；不属于任何象限 2．（1）半径长；　（2）；　（3）；； 3．（1）；；　（2）；；；　（3）相等； 4．（1）正弦为正；正切为正；余弦为正　（2）；；；　（3）；；； 5．（1）　（2）　（3）； 二、考点专练 考点一 任意角与象限角 【例题精讲】 1．给出下列四个命题：① 是第一象限角；② 是第三象限角；③ 是第二象限角；④ 是第一象限角．其中正确命题的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】① ，终边在第四象限，①错误； ② ，终边在第三象限，②正确； ③ ，终边在第二象限，③正确； ④ ，终边在第一象限，④正确． 故正确的命题是②③④，共 个．故选 A． 2．与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与 角终边相同的角可表示为 （）． 取 ，得 ．故选 D． 3．已知 ，则角 的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】． 因为 是第一象限角，所以 的终边落在第一象限．故选 A． 4．终边落在 轴非负半轴上的角的集合为 ． 【答案】 【详解】终边落在 轴非负半轴上的角，与 角的终边相同， 故所求集合为 ． 故答案为：． 5．若角 的终边与 的终边相同，且 ，则 ． 【答案】 【详解】与 终边相同的角可表示为 （）． 由 知取 ，得 ． 故答案为：． 6．（多选）下列结论正确的有（　　） A． 弧度的角是长度等于半径的圆弧所对的圆心角 B．若 是第一象限角，则 是第一象限角 C．若两个角的终边相同，则这两个角可能不相等 D．用角度制和弧度制度量角，所得结果都与圆的半径无关 【答案】ACD 【详解】A：由弧度制的定义，长度等于半径的圆弧所对的圆心角为 弧度，正确； B：取 ，它是第一象限角，但 是第三象限角，故 不一定是第一象限角，错误； C：终边相同的角相差 的整数倍，可以相等也可以不相等，如 与 终边相同但不相等，正确； D：角度制与弧度制都是度量角大小的方式，与圆的半径无关，正确．故选 ACD． 【变式训练】 1．若角 的终边与 角的终边关于 轴对称，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】终边关于 轴对称的两个角满足 （）． 取 ，得 ，即 角的终边与 角的终边关于 轴对称．故选 A． 2．下列各角中，是第三象限角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，是第二象限角；，是第三象限角； ，是第一象限角；，是第二象限角．故选 A． 3．与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与 角终边相同的角为 （）． 取 ，得 ．故选 A． 4．若角 的终边与角 的终边关于原点对称，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】终边关于原点对称的两个角相差 的奇数倍，即 （）． 取 ，得 ．故选 A． 5．（多选）下列说法正确的有（　　） A． 是第二象限角 B． 与 的终边相同 C．若 是第二象限角，则 是第一象限角 D．终边在 轴上的角的集合是 【答案】ABD 【详解】A：，终边在第二象限，正确； B：，与 的终边相同，正确； C：取 ，它是第二象限角，而 是第三象限角，故 不一定是第一象限角，错误； D：终边在 轴上的角为 的整数倍，即 （），正确．故选 ABD． 6．（多选）下列结论正确的有（　　） A．终边在直线 上的角的集合为 B． 是第三象限角 C． 与 的终边相同 D．圆心角为 弧度、半径为 的扇形，其面积为 【答案】BCD 【详解】B：，终边在第三象限，正确； C：，与 的终边相同，正确； D：，正确； A：终边在直线 上的角既可以是 ，也可以是 ，其集合应为 ，错误．故选 BCD． 7．与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以与 终边相同的角可以写成 （）的形式， 当 时得到 ，而 与 相差 ，它与 终边也相同，但 同样符合要求，需看选项中唯一满足 的角： 对 ，，成立；对 ，，也成立，但按“终边相同的最小正角”理解， 才是 对应的 内的角．故选 A． 8．已知 是第二象限角，则角 的终边落在第 象限． 【答案】三 【详解】设 （），则 ， 即 的终边与 内的角终边相同，落在第三象限，故答案为三． 【巩固练习】 1．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】由 是第二象限角可设 （）， 于是 ，即 的终边落在第一象限， 也可这样理解： 与 的终边关于 轴对称， 是第三象限角，而 与 的终边关于原点对称，故它是第一象限角．故选 A． 2．若角 与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若两个角的终边关于 轴对称，则这两个角的和是 的整数倍，即 （）， 由 得 ，取 得 ，取 得 ， 选项中 与 都满足条件，而 是最直接由对称性得到的表示．故选 A． 3．集合 表示终边在（　　）的角 A． 轴上 B． 轴上 C．直线 上 D．直线 上 【答案】A 【详解】 表示终边落在 轴非负半轴上的角， 表示终边落在 轴非正半轴上的角， 两个集合的并集即终边落在 轴上的所有角，它还可以写成 ．故选 A． 4．若 是第四象限角，则 是（　　） A．第二或第四象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【详解】由 是第四象限角可设 （）， 各边同除以 得 ， 当 为偶数时 ，是第二象限角；当 为奇数时 ，是第四象限角．故选 A． 5．已知 ，则角 是（　　） A．第三象限角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】这里 表示 弧度，因为 ，，而 ， 所以 的终边落在第三象限．故选 A． 6．若角 的终边与 角的终边关于直线 对称，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 对应的角是 ，若两个角的终边关于直线 对称，则这两个角的和等于 加上 的整数倍， 即 （），取 得 ．故选 A． 7．若角 与角 的终边相同，则 是（　　） A． 的整数倍 B． 的整数倍 C．任意角 D． 的整数倍 【答案】D 【详解】所有与角 终边相同的角连同 在内构成集合 ， 于是 （），即 一定是 的整数倍．故选 D． 8．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合 中的角是 的整数倍，即终边落在坐标轴上的角；集合 中的角是 的整数倍，即终边落在 轴上的角， 因为 ，所以 中的每一个角都属于 ，而 但 ，故 是 的真子集．故选 D． 9．与 终边相同的最小正角为 ． 【答案】 【详解】与 终边相同的角可写成 （）， 令 ，取 得 ，故答案为 ． 10．（多选）下列命题正确的有（　　） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定小于第二象限角 C．若 是钝角，则 是第二象限角 D．小于 的角不一定是锐角 【答案】CD 【详解】A 错误，终边相同的角相差 的整数倍，它们不一定相等，例如 与 ； B 错误， 是第一象限角， 是第二象限角，但 ； C 正确，钝角 满足 ，它的终边落在第二象限； D 正确，锐角必须满足 ，而小于 的角可以是零角或负角．故选 CD． 考点二 弧度制与弧长、扇形面积 【例题精讲】 1．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由弧长公式 ，得 ．故选 D． 2．把 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 ．故选 D． 3．已知扇形的半径为 ，面积为 ，则该扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心角为 ．由 ，得 ， 解得 ．故选 C． 4．已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ．由圆心角 得 ． 由周长为 ，解得 ，此时 ． 故扇形面积 ．故答案为：． 5．若扇形的面积为 ，半径为 ，则扇形的圆心角为 ． 【答案】 【详解】由 ，得 ， 解得 ．故答案为：． 6．（多选）下列命题正确的有（　　） A．圆心角为 、半径为 的扇形，其弧长为 B．半径为 、圆心角为 弧度的扇形，其面积为 C．面积为 、半径为 的扇形，其圆心角为 D．弧长与半径相等的扇形，其圆心角为 弧度 【答案】ACD 【详解】A：，正确； B：，错误； C：由 得 ，解得 ，正确； D：由 ，正确．故选 ACD． 【变式训练】 1．已知一扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ．故选 D． 2．把 化为角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，得 ．故选 C． 3．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由弧长公式 ，得 ．故选 C． 4．已知扇形的圆心角为 弧度，半径为 ，则扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，得 ．故选 C． 5．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】弧长 ， 所以周长 ．故选 C． 6．（多选）下列关于弧度制的说法正确的有（　　） A． 弧度约等于 B．扇形的圆心角越大，其面积一定越大 C．弧度制下角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系 D．半径为 、圆心角为 弧度的扇形，其弧长为 【答案】ACD 【详解】A正确，由 ； C正确，正角的弧度数、负角的弧度数、零角的弧度数分别对应正数、负数和 ； D正确，由 得 ； B错误，扇形面积 同时取决于圆心角与半径，圆心角大但半径很小时面积未必大．故选 ACD． 7．（多选）已知扇形的周长为定值 ，则当其面积最大时，下列结论正确的有（　　） A．扇形的半径 B．扇形的最大面积为 C．扇形的弧长 D．扇形的圆心角 弧度 【答案】ACD 【详解】由 得 ，面积 ， 这是关于 的二次函数，开口向下，当 时取最大值，此时 ，， 最大面积 ，故 B错误（它给出的 比实际最大值大一倍）．故选 ACD． 8．已知扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【详解】由弧长公式 得 ，故答案为 ． 【巩固练习】 1．已知扇形的周长为 ，则当扇形的面积最大时，其半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ．由 得 （）． 面积 ． 当 时 取最大值 ．故选 C． 2．把 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ．故选 A． 3．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】弧长公式 中的 必须用弧度制，先把 化为 ， 于是 ．故选 A． 4．已知扇形的弧长为 ，半径为 ，则该扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ，该结果即为圆心角的弧度数．故选 D． 5．若扇形的圆心角扩大为原来的 倍，半径缩小为原来的 ，则扇形的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的 倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的 倍 【答案】C 【详解】设原扇形的圆心角为 、半径为 ，则原面积 ， 变化后的圆心角为 、半径为 ，面积 ， 于是 ，即面积缩小为原来的 ．故选 C． 6．已知扇形的周长为 ，半径为 ，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】扇形的周长等于两条半径与弧长之和，即 ，由 得 ， 于是面积 ．故选 D． 7．在半径为 的圆中，圆心角为 弧度的扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由扇形面积公式 ，代入 ， 得 ．故选 D． 8．已知扇形的面积为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ， 解得 ，又 ，故 ．故选 B． 9．（多选）下列角度与弧度的互化正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A 正确，；B 正确，； C 错误，，而不是 ； D 正确，．故选 ABD． 10．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】先把圆心角化为弧度：， 再由 得 ，故答案为 ． 考点三 三角函数的定义 【例题精讲】 1．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，，得 ． 所以 ．故选 C． 2．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正切的定义 ．故选 B． 3．已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点 在单位圆上，其横坐标 ， 由定义 ．故选 C． 4．已知角 的终边经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】由 ，，得 ． 所以 ．故答案为：． 5．已知角 的终边经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】由定义 ．故答案为：． 6．（多选）已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D．点 在第四象限，所以角 是第四象限角 【答案】ACD 【详解】由 ，，得 ． A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，，点 在第四象限，故角 的终边在第四象限，正确．故选 ACD． 【变式训练】 1．角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，，得 ． ，， 所以 ．故选 C． 2．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，，得 ． 所以 ．故选 B． 3．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，得 ， 所以 ，两边平方得 ，即 ，解得 ．故选 C． 4．角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，，得 ． 所以 ．故选 B． 5．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，，得 ． 所以 ．故选 D． 6．已知角 的终边经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】由 ，，得 ． 所以 ．故答案为：． 7．（多选）已知角 的终边经过点 （），则下列结论正确的有（　　） A． B． C．当 时， D． 【答案】ACD 【详解】由 ，，得 ． A：，与 的符号无关，正确； B：，当 时为 ，当 时为 ，不恒为 ，错误； C：当 时 ，，正确； D：，正确．故选 ACD． 8．（多选）已知角 的终边经过点 （），则下列结论正确的有（　　） A． 恒成立 B．若 ，则 C． 的值不可能为 D．若 ，则 【答案】ABD 【详解】由 ，，得 ． A： 恒成立，正确； B：当 时 ，，正确； C：，当 时其值为 ，故可能为 ，错误； D：当 时 ，正确．故选 ABD． 【巩固练习】 1．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，，得 ． ，， 所以 ．故选 D． 2．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，，得 ，，． 所以 ．故选 D． 3．已知角 的终边经过点 （），且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ， 故 且 ，即 ，， 结合 得 ．故选 B． 4．已知角 的终边与单位圆交于点 ，且 是第三象限角，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点 在单位圆上，故 ，得 ，． 又 是第三象限角，，故 ，所以 ．故选 B． 5．已知角 的终边经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】由 ，，得 ． ，， 所以 ．故答案为：． 6．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点 到原点的距离 ，由三角函数的定义得 ．故选 B． 7．已知角 的终边与单位圆交于点 ，且 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】单位圆上点的坐标满足 ，解得 ， 又 是第四象限角，其终边上点的纵坐标为负，故 ．故选 B． 8．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 到原点的距离 ，由定义得 ．故选 A． 9．已知 ，且 是第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，故 ， 又 是第三象限角，其正弦值为负，故 ．故选 B． 10．（多选）已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】点 到原点的距离 ，由定义得 ，，，故 A、B、C 都正确； 而 ，故 D 错误．故选 ABC． 考点四 三角函数值的符号、特殊值与定义域 【例题精讲】 1．若 ，则角 的终边在（　　） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【详解】由 知 与 异号． 当 且 时， 是第二象限角；当 且 时， 是第四象限角． 所以角 的终边在第二或第四象限．故选 C． 2．已知点 在第三象限，则角 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】点 在第三象限，故 且 ． 由 知 的终边在第二或第三象限，由 知 的终边在第二或第四象限， 两者同时成立时， 的终边在第二象限．故选 B． 3．若点 在第四象限，则角 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】点 在第四象限，故 且 ， 所以角 的终边在第二象限．故选 B． 4．（多选）已知角 的终边在直线 上，则下列结论可能成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】角 的终边在直线 上，可在终边上取点 或 ，此时 ． A：两种情形下 都成立，正确； B：取点 时 ，可能成立，正确； C：取点 时 ，可能成立，正确； D：两种情形下 与 互为相反数，，不可能成立，错误．故选 ABC． 5．已知 是第四象限角，则点 在第 象限． 【答案】二 【详解】 是第四象限角，则 ，， 于是点 的横坐标为负、纵坐标为正，它在第二象限，故答案为二． 6．函数 的定义域为 ，值域为 ． 【答案】； 【详解】任意角 都有唯一的正弦值与之对应，故定义域为 ； 由单位圆上点的纵坐标 得值域为 ，故答案为 与 ． 【变式训练】 1．若 且 ，则角 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】由 知 的终边在第三或第四象限； 由 知 的终边在第一或第三象限； 两者同时成立时， 是第三象限角．故选 C． 2．下列各式中，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 与 终边相同，是第三象限角，所以 ，，， 而 是第三象限角，．故选 C． 3． 的符号为（　　） A．正 B．负 C．零 D．不能确定 【答案】A 【详解】这里 都是弧度数．因为 ，所以 弧度的角是第二象限角，； 因为 ，所以 弧度的角是第三象限角，；因为 ，所以 弧度的角是第四象限角，， 于是 的符号为 ，即为正．故选 A． 4．已知 是三角形的一个内角，且 ，则 是（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为 是三角形的内角，所以 ，此时 恒成立， 由 得 ，故 为钝角．故选 C． 5．若 且 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【详解】由 且 知 是第二象限角，可设 （）， 各边同除以 得 ， 当 为偶数时 是第一象限角，当 为奇数时 是第三象限角．故选 C． 6．（多选）下列结论正确的有（　　） A． 的值域为 B．若 ，则 C．终边相同的角的同名三角函数值相等 D． 在其定义域内是增函数 【答案】AC 【详解】A 正确，由单位圆上点的纵坐标的取值范围可得正弦函数的值域为 ； B 错误，例如 ，但 ； C 正确，终边相同的角其同名三角函数值相等，这是公式一的结论； D 错误，正切函数在其定义域上并不是增函数，例如 ，但 ．故选 AC． 7．（多选）已知 是第二象限角，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】 是第二象限角，其终边上点的横坐标 、纵坐标 ，且 ， 于是 ，，，故 A、B、C 都正确； 而 ，故 D 错误．故选 ABC． 8．已知 ，且 是第三象限角，则 ． 【答案】 【详解】由 得 ，故 ， 又 是第三象限角，其余弦值为负，故答案为 ． 【巩固练习】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 知，当 时正切值不存在，而 的解集为 ， 故所求定义域为 ．故选 B． 2．已知点 在第二象限，则角 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】点 在第二象限，则横坐标 、纵坐标 ， 由 知 的终边在第三、第四象限或 轴非正半轴上，由 知 的终边在第一或第三象限， 两者同时成立时 的终边在第三象限．故选 C． 3．下列三角函数值中，可能等于 的是（　　） A． B． C． D．以上都不可能 【答案】C 【详解】正弦函数与余弦函数的值域都是 ，它们的取值不可能等于 ， 而正切函数的值域是 ，可以取到 ．故选 C． 4．已知 是第二象限角，则点 在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】 是第二象限角，则 ，， 于是点 的横坐标为负、纵坐标为正，它在第二象限．故选 B． 5． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，即 与 终边相同， 由终边相同的角的同名三角函数值相等得 ．故选 A． 6． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，它与 终边相同， 故 ．故选 A． 7．已知 是第三象限角，则 的符号为（　　） A．正 B．负 C．非负 D．不能确定 【答案】B 【详解】 是第三象限角，则 ，， 于是 ，符号为负．故选 B． 8．已知 ，则角 的终边可能在（　　） A．第一、第二象限 B．第二、第三象限 C．第三、第四象限 D．第一、第四象限 【答案】C 【详解】由 知 的终边在第三、第四象限或 轴非正半轴上，又 ，终边不在 轴上， 故 的终边可能在第三或第四象限．故选 C． 9．（多选）下列三角函数值中，值为负的有（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A 中 是第四象限角，其正弦值为负，； B 中 是第四象限角，其余弦值为正，； C 中 是第三象限角，其正切值为正，； D 中 是第三象限角，其正弦值为负，．故选 AD． 10．已知角 的终边经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】点 到原点的距离 ，由定义得 ，， 于是 ，故答案为 ． 考点五 同角三角函数的基本关系 【例题精讲】 1．已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由平方关系 ，得 ． 因为 是第二象限角，，所以 ．故选 B． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，所以 ，分子分母同除以 ： 原式 ．故选 D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两边平方得 ，即 ， 所以 ，．故选 D． 4．（多选）已知 ，则下列各式正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由 知 ，且 ，． A：，正确； B：，正确； C：，故 ，不恒为 ，错误； D：，正确．故选 ABD． 5．已知 ，则 ． 【答案】 【详解】两边平方得 ，即 ， 所以 ，．故答案为：． 6．已知 ，则 ． 【答案】 【详解】， 代入 得 ．故答案为：． 【变式训练】 1．已知 ，且 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由平方关系 ，得 ． 因为 是第四象限角，，所以 ．故选 B． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 ， 代入 得原式 ．故选 D． 3．已知 是第三象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ． 因为 是第三象限角，，所以 ．故选 B． 4．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 ． 因为 ，所以 ，， 故 ．故选 D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两边平方得 ，即 ，所以 ． 又 ，故 ， 是方程 的两个根， 其判别式 ，故 ，．故选 D． 6．（多选）已知 ，且 ，则下列结论正确的有（　　） A． 可能是第一象限角 B． 可能是第二象限角 C． 可能是第四象限角 D． 恒成立 【答案】BC 【详解】由 知 与 异号， 的终边在第二或第四象限， 故 不可能是第一象限角，A 错误； 取 为第二象限角，如 ，，此时 ，B 正确； 取 为第四象限角，如 ，，此时 ，C 正确； 在第四象限情形下有 ，故 不恒成立，D 错误．故选 BC． 7．（多选）已知 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．当 是第二象限角时， D． 【答案】ABC 【详解】由 知 与 异号，且 ，． A：，正确； B：，正确； C：当 是第二象限角时 ，由 得 ，正确； D：当 是第二象限角时 ，当 是第四象限角时其值为 ，不恒成立，错误．故选 ABC． 8．已知 ，则 ． 【答案】 【详解】原式 ， 代入 得原式 ．故答案为：． 【巩固练习】 1．已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，结合 是第二象限角得 ． 所以 ．故选 B． 2．已知 ，且 是第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ． 因为 是第三象限角，，所以 ．故选 B． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，所以 ，分子分母同除以 ： 原式 ．故选 D． 4．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两边平方得 ，所以 ． 由 知 ，故 ，即 是第二象限角，． 又 ，所以 ．故选 D． 5．已知 是第四象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ． 因为 是第四象限角，，所以 ．故选 B． 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】．故选 D． 7．已知 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故 ． 因为 是第二象限角，，，所以 ， 原式 ．故选 D． 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 ， 代入 得原式 ．故选 D． 9．（多选）已知 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由 得 ，． A、B：由上直接得到，均正确； C：，正确； D：，故 ，不恒成立，错误．故选 ABC． 10．已知 ，则 ． 【答案】 【详解】， 代入 得 ．故答案为：． 三、达标检测 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1． 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】，而 的终边在第三象限， 故 是第三象限角．故选 C． 2．与 的终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与 终边相同的角可表示为 （）． 取 ，得 ．故选 C． 3．把 化为角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ．故选 A． 4．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由弧长公式 ．故选 B． 5．已知扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由扇形面积公式 得 ．故选 C． 6．已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，，得 ， 所以 ．故选 A． 7．已知 ，且 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，又 是第四象限角，，故 ， 于是 ．故选 B． 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ，分子分母同除以 ： 原式 ．故选 A． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由 ， 得 ，由三角函数的定义得 ，，， A 正确，； B 正确，； C 错误，，而不是 ； D 正确，．故选 ABD． 10．已知 ，则下列结论可能成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由 得 ，故 ． A、B： 对应 是第四象限角， 对应 是第三象限角，都可能成立，均正确； C： 时 ，不可能成立，错误； D：当 是第四象限角时 ，，可能成立，正确．故选 ABD． 11．已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】点 到原点的距离 ，由定义得 ，，，故 A、B、C 都正确； 而 ，故 D 错误．故选 ABC． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】设半径为 ，弧长为 ．由圆心角 得 ． 由周长 ，解得 ，此时 ． 所以扇形面积 ．故答案为：． 13．已知角 的终边经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】点 到原点的距离 ，由定义得 ，， 于是 ，故答案为 ． 14．已知 ，则 ． 【答案】 【详解】原式 ， 代入 得原式 ．故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $