第四章 数列（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式. 【解答过程】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）设等比数列的前n项和为，若，，则（     ） A．117 B．81 C．45 D．27 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的性质，得到构成等比数列，结合题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为等比数列的前n项和为，且，， 由等比数列的性质，可得构成等比数列， 即，所以， 解得，所以. 故选：B. 3．（5分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知数列为等比数列，，为方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二次方程的韦达定理，可得出，进而判断，的正负，再结合等比数列的中项公式，即可计算. 【解答过程】因为，为方程的两根，根据韦达定理得：，所以，均为负数； 由等比中项公式得：，，等比数列中偶数项同号，所以，所以. 故选：. 4．（5分）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由数列单调性得恒成立，作差化简得到对任意恒成立，接着利用函数性质求出即可得解. 【解答过程】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【解答过程】由等差数列的前项和分别为且， 所以 故选：D. 6．（5分）（2026·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用，分的奇偶讨论，求出通项公式，再利用通项的函数单调性求出最值进行求解． 【解答过程】因为，得. 当时， ①. 当为偶数时，①式为，即， 所以（为正奇数）. 当为奇数时，①式为， 即， 所以（为正偶数）. 函数（为正奇数）为减函数，最大值为， 函数（为正偶数）为增函数，最小值为， 若实数满足恒成立，则，即. 故选：A. 8．（5分）（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解. 【解答过程】因为， 当时，则， 两式相减得， 整理可得， 且，则，可得，即， 可知等差数列的公差， 当时，则，解得； 所以，可知数列为正奇数列， 对于数列， 当时，可得为偶数； 当时，可得为奇数； 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【解题思路】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【解答过程】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 10．（6分）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 【答案】AC 【解题思路】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可. 【解答过程】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以， 因为， 所以，即或， 当时，由于，故，即； 当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾， 所以，，，故A选项正确； 对于B，由得，即得，故B选项错误； 对于C，由于，，， 所以，， 所以数列中的最大项为，故C选项正确； 对于D， ，故D选项错误. 故选：AC. 11．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（     ）    A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C．若，则数列的前100项和为 D． 【答案】BCD 【解题思路】由数列的性质可判断A；再由累加法分别求出数列，，分别令和，看有无正整数解即可判断B；设，结合等差数列的求和公式可得C；将放缩后用裂项相消求和即可判断D； 【解答过程】三角形数构成数列：1，3，6，10，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立； 正方形数构成数列：1，4，9，16，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立. 对于A，，故A错误； 对于B，令，解得； 令，解得；故B正确； 对于C，当n为偶数时：设， 则 ， 代入可得数列的前100项和为，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在数列中，已知，且，则__________． 【答案】 【解题思路】根据已知有且，应用累加法求数列通项，注意验证即可得. 【解答过程】由题设，当，， 所以，，，， 将上式累加可得 ， 所以，显然也满足， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（2026高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于__________. 【答案】 【解题思路】通过等比数列项的运算关系与等差中项的性质，建立首项与公比的方程，求解得首项和公比后，代入等比数列前项和公式计算. 【解答过程】设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得. 代入，得. 前5项和. 故答案为：31. 14．（5分）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】先应用得出等差数列，得出，再代入结合裂项相消法计算得出，最后把恒成立转化为最值关系求解. 【解答过程】数列前项和分别为，且，又， 当时，，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，令，所以，即， 所以， 则， 所以， 所以，又因为，所以，所以， 对任意的，恒成立，则， 则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【解答过程】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 16．（15分）（26-27高二上·甘肃·期中）已知数列的首项，且满足． (1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法进行求和． 【解答过程】（1）证明：由题可知， 因为，所以，即， . 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以； （2）因为，， 所以， ， 所以 ， 故． 17．（15分）（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）已知数列满足，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)14，254； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由题设得，进而代值依次求解即可； （2）由题设得，进而得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可； （3）由题设得，结合裂项相消法求得，进而结合指数函数的性质求证即可. 【解答过程】（1）由，得． 由得，，． （2）由得，， 两边取以2为底的对数，， 又，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以，故． （3）证明：由得，， 所以， 则， 故， 因此 ， 由于，则，即， 所以，则， 所以，故． 18．（17分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）把递推式变形，证明为常数； （2）先求，再对裂项，用裂项相消求和； （3）对进行裂项相消求和得到，代入不等式化简得到，通过分析函数的单调性，求出其最大值，从而确定的取值范围. 【解答过程】（1）证明：由，又， 两边同除以得，即， 又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 则， 前项和，. 当时,. （3）由（1）知， 因此， 数列的前项和为： 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得： 令，分析其单调性： 故在上单调递减，因此. 要使对一切恒成立，只需，即. 所以，实数的取值范围为. 19．（17分）（25-26高三上·河北张家口·阶段检测）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； （3）， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）设等比数列的前n项和为，若，，则（     ） A．117 B．81 C．45 D．27 3．（5分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知数列为等比数列，，为方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（5分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 10．（6分）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 11．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（     ）    A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C．若，则数列的前100项和为 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在数列中，已知，且，则__________． 13．（5分）（2026高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于__________. 14．（5分）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 16．（15分）（26-27高二上·甘肃·期中）已知数列的首项，且满足． (1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（15分）（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）已知数列满足，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记为数列的前n项和，证明：． 18．（17分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）（25-26高三上·河北张家口·阶段检测）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $