第四章 数列（单元分层自测·基础通关卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 2．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 3．已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．若数列为正项等比数列，则下列一定为等差数列的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 7．设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 8．正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和，则__________． 13．若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16.（本小题满分15分）已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 17．（本小题满分15分）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 19．（本小题满分17分）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·基础通关卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C D A A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． / 13． 36 14． 169 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，.............1分 则得，.............3分 解得，.............5分 ；.............6分 （2） ，............7分 的前n项和 .............10分 ．.............13分 16．（本小题满分15分） 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意可知，.............1分 若等比数列的公比，则，，不符合题意， ............2分               所以等比数列的公比，                则，   .............4分             即，               .............5分 解得或（舍），         .............6分       所以．               .............7分 故数列的通项公式为， （2）由（1）知，          .............8分      所以，          ............10分      ， .............13分               即．               .............14分 所以数列的前n项和，．.............15分 17．（本小题满分15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以，.............2分 代入，，即，.............3分 所以．.............4分 又，所以，.............5分 所以．.............6分 故．.............7分 （2）由（1）知，，则，且，.............8分 当为偶数时， ..............12分 当为奇数时， ．.............14分 综上，. .............15分 18．（本小题满分17分） 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有，.............2分 解得：或（舍）..............4分 所以..............5分 （2）（i）由题意，，即，.............6分 当时，，.............8分 当时，；.............10分 （ii）当时，，共有个，.............13分 则 .............17分 19．（本小题满分17分） 【答案】(1)略：(2)(3) 【详解】（1）因为，.............1分 所以，.............2分 所以，.............3分 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列．.............5分 （2）由(1)得，， 所以，.............7分 则，.............8分 所以当时，，当时，，.............9分 当时，． 所以， 所以数列的最大值为；.............11分 （3）因为，.............12分 所以 ， 所以 ．.............17分 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【详解】当时，； 当时，由， 得， 两式相减得，所以， 又不适合上式，所以的通项公式为. 所以. 8．正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【详解】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为d，依题意得，解得， 所以，． 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】AD 【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 11．已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 【答案】ABD 【分析】利用，判断正负，比较大小，判断选项A；推导恒等式，倒序相加求​，判断选项B；代入相邻两项对比，判断数列单调性，判断选项C；解不等式，区分正负项，前项和在最后一个负项处取最小值，判断选项D． 【详解】因为，， 所以，即，故A正确； 由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确； ，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误； 令，解得，即当时，为负数，， 当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和，则__________． 【答案】/ 【分析】利用数列前n项和与数列通项之间的关系求解即可. 【详解】 13．若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 【答案】36 【分析】设等差数列公差为，由题可得等差数列前项和公式，据此结合二次函数单调性可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则， 则. 注意到在上单调递增，在上单调递减， ，从而. 14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 【答案】169 【分析】由能被4除余3且被6除余3的数就是能被12整除余3的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即可得到所求的项数. 【详解】题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被4整除，也能被6整除. 即为4和6的最小公倍数12的倍数， 因此所有符合要求的数都可以表示为， 显然数列为等差数列，且首项为3，公差为12. 由，则，解得 . 由于是正整数，的取值为，总共有169项. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则得，解得， ； （2） ， 的前n项和 ． 16.（本小题满分15分）已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据等比数列前n项和公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意可知， 若等比数列的公比，则，，不符合题意，                所以等比数列的公比，                则，                即，                解得或（舍），                所以．                故数列的通项公式为， （2）由（1）知，                所以，                ，                即．                所以数列的前n项和，． 17．（本小题满分15分）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项的性质，结合的值，求出和，最后写出数列的通项公式. （2）先求数列的首项，再根据项数的奇偶分类讨论求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以， 代入，，即， 所以． 又，所以， 所以． 故． （2）由（1）知，，则，且， 当为偶数时， . 当为奇数时， ． 综上，. 18．（本小题满分17分）已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式； （2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则 【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. （2）（i）由题意，，即， 当时，， 当时，； （ii）当时，，共有个， 则 . 19．（本小题满分17分）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）由题可得，进而化为即可证明； （2）由（1）可得， ，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可． （3）由题可得，再裂项相消求和即可． 【详解】（1）略 （2）由(1)得，， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； （3）因为， 所以 ， 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 2．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 3．已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．若数列为正项等比数列，则下列一定为等差数列的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 7．设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 8．正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和，则__________． 13．若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16.（本小题满分15分）已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 17．（本小题满分15分）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 19．（本小题满分17分）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $