第四章 数列（举一反三单元测试·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列（举一反三单元测试·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 2．（5分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 3．（5分）（25-26高二上·广西南宁·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．2 4．（5分）（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 6．（5分）（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 7．（5分）（24-25高三上·北京·开学考试）在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（   ） A． B． C．或 D．或 8．（5分）（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 11．（6分）（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．使成立的最小自然数等于 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则 ． 13．（5分）（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）在等差数列中，，，则 ． 14．（5分）（25-26高二上·全国·期中）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”.则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 17．（15分）（24-25高二下·江苏盐城·期末）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（17分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足：，，． (1)求证：成等比数列； (2)求数列的前项和． 19．（17分）（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（举一反三单元测试·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】可根据已知的递推公式，结合数列的前几项，依次计算出数列的后续项，直到找到数值为21的项，从而确定其项数. 【解答过程】; ; ; ; ; ; 故可知21为数列的第8项， 故选：. 3．（5分）（25-26高二上·广西南宁·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【解答过程】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以． 故选：B． 4．（5分）（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 5．（5分）（25-26高二上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【解题思路】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C. 7．（5分）（24-25高三上·北京·开学考试）在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式可得，由，，成等比数列，结合等比数列定义列方程可求，由此可得结论. 【解答过程】设等差数列的公差为，又， 所以， 因为，，成等比数列， 所以， 所以， 所以或， 当时，，，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以或， 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解题思路】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【解答过程】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC. 10．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 11．（6分）（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．使成立的最小自然数等于 【答案】AD 【解题思路】利用等比数列的通项及其性质逐一求解即可. 【解答过程】对于A选项，因为 为等比数列，且，， 若，则，不合乎题意， 若，则，这与矛盾， 若，则，这与矛盾， 若，由，所以，，故A正确； 对于B选项，由等比中项知，所以，故B错误； 对于C选项，因为 ，故C错误； 对于D选项，由等比中项知： ， ，故D正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解题思路】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【解答过程】，， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， 所以． 故答案为：． 13．（5分）（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）在等差数列中，，，则 ． 【答案】 【解题思路】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·全国·期中）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”.则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 . 【答案】96 【解题思路】根据题意可知从塔顶到塔底每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，根据求出可得答案. 【解答过程】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列， 设塔顶灯盏数为， 则有，解得， 从塔底数第二层灯的盏数为. 故答案为：96. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【解题思路】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【解答过程】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立. 【解答过程】①当时，能被整除，所以当时结论成立. ②假设当时，能被整除， 那么当时， ， 由假设可知能被整除，即能被整除， 所以当时结论也成立. 综上，能被整除. 17．（15分）（24-25高二下·江苏盐城·期末）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由，即，① 由，②，联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）设， 则 . 18．（17分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足：，，． (1)求证：成等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）令，根据已知条件证明为常数即可； （2）由（1）可求得，然后根据分组求和求数列的前项和即可. 【解答过程】（1）由题意，， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即可证明数列为等比数列. （2）由（1）可知， 所以， 则 . 19．（17分）（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【解答过程】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $