第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 求曲线的切线方程 1．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 5．（24-25高二下·吉林·阶段练习）（1）已知函数，求函数在点（0，1）处的切线方程； （2）已知函数满足．若直线是曲线的切线，且经过点，求的方程． 题型2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 4．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则的范围是 . 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知． (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 题型3 函数单调性的应用 1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北唐山·期末）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 5．（2025高二下·山东青岛·竞赛）已知函数满足. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 题型4 根据极值（点）求参数 1．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 3．（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 题型5 已知函数最值求参数 1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·吉林·阶段练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 1．（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）下列关于函数的判断正确的是（    ） ①的解集是；    ②是极小值，是极大值； ③没有最小值，也没有最大值；    ④有最大值，没有最小值. A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为 ． 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 题型7 利用导数研究函数零点（方程根） 1．（2025高二上·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·四川成都·一模）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数，若函数有4个不同的零点则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 5．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 题型8 利用导数证明不等式 1．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的单调区间和极值； (2)证明：． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 5．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当的最大值为0时，求； (3)当时，正实数满足，证明：. 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知函数，. (1)当时： （i）求曲线在处的切线的方程； （ii）证明：直线与曲线有且仅有一个公共点； (2)当时，若任意，，恒成立，求实数的取值范围. 题型10 利用导数研究双变量问题 1．（24-25高二下·湖北·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数，若，则的最小值为 . 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 题型11 导数中的新定义问题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（24-25高三上·上海·期中）若定义在上的函数和分别存在导函数和. 且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数. (1)求证: 函数是函数的“控制函数”; (2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； (3)若 函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 求证:“”的充要条件是“存在常数， 使得恒成立”. 5．（24-25高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 求曲线的切线方程 1．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【解答过程】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【解答过程】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 3．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【解答过程】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【解题思路】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【解答过程】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 5．（24-25高二下·吉林·阶段练习）（1）已知函数，求函数在点（0，1）处的切线方程； （2）已知函数满足．若直线是曲线的切线，且经过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解题思路】（1）求得，利用点斜式计算； （2）假设切点，利用导数的几何意义，求得，然后求得切线方程代入点计算即可. 【解答过程】（1），， 所以函数在点（0，1）处的切线方程为，即. （2），， 所以. 设切点坐标为，，则， 所以切线方程为，又切线经过点， 代入得到，求得或， 所以的方程为或. 题型2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【解答过程】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 3．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【答案】C 【解题思路】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【解答过程】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 4．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则的范围是 . 【答案】 【解题思路】根据一元函数导数求切线的方法，设出两条曲线的切线，根据两条切线的斜率和截距分别相当，列出方程组，即可求出的范围. 【解答过程】对求导，，设切点，则切线方程为：, 化简得. 对求导，，设切点， 则切线方程为：，化简得. 则根据公切线可列方程组，消去得到， 化简得. 令，求导， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 可知在上单调递增，在上单调递减，在出取得最大值， ，值域为， 所以的范围是, 故答案为：. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知． (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）求出导函数后建立的方程求解，即可求解函数解析式. （2）先根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，再利用导数的几何意义求出的切点坐标，代入的解析式求解即可. 【解答过程】（1）由，求导可得 由，解得，则. （2），求导可得， 由得，故在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为，化简可得， 令，解得，将其代入切线方程可得， 代入得，所以得，解得. 题型3 函数单调性的应用 1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【解答过程】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【解答过程】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故选：B. 3．（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 4．（24-25高二下·河北唐山·期末）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意可设，判断其单调性，将化为，结合函数单调性，即可求得答案. 【解答过程】设，则，， 可知在R上单调递减， 由，得，即， 故，则，即使得成立的的取值范围是， 故答案为：. 5．（2025高二下·山东青岛·竞赛）已知函数满足. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法求出，再构造并证明其为奇函数，最后求解目标式的值即可. （2）利用导数判断的单调性，再结合的奇偶性求解目标不等式的解集即可. 【解答过程】（1）令，则 ， 即，，令，， 而 ，为奇函数， 得到，则，解得 （2），为增函数， ， ， 即，即， 解得，故不等式的解集为. 题型4 根据极值（点）求参数 1．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【解答过程】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ①当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ②当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【解题思路】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解. 【解答过程】，由题意得， 即，解得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 所以时，取得极大值，不符合题意； 所以，. 故选：. 3．（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为有两个实数根，即和在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【解答过程】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和在上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点. 故选：A. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】求出导函数，由题意必有两个相异实根，利用判别式法列不等式求解即可. 【解答过程】由求导得 ． 因为函数在上既有极大值也有极小值， 所以必有两个相异实根，即， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 5．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，无单调递减区间 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，构研究导函数符号确定的单调区间； （2）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，， 则. 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 故的单调递增区间是，无单调递减区间. （2）因为（），定义域为， 所以. 若有两个极值点，，则方程有两个根，， 所以方程有两个根，， 即函数的图象与直线有两个交点. 故， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以. 又因为当时，，， 所以当时，，当时，. 要使函数的图象与直线有两个交点，则，解得， 即实数a的取值范围是. 题型5 已知函数最值求参数 1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【解答过程】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 3．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【解答过程】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 4．（24-25高二下·吉林·阶段练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【解答过程】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【解答过程】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 1．（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确； ②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确； ③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误. 【解答过程】，， 对于①，因为，所以， 当时，，则在区间上单调递减，所以①正确. 对于②，令，得，令，， 当，则，当，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，， 又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0， 所以可作出函数的大致图象如图所示， 由图可知，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个不等实根， 当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故有两个极值点，所以②正确. 对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增， 所以函数无最大值，所以③错误. 则说法正确的个数为， 故选：C. 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）下列关于函数的判断正确的是（    ） ①的解集是；    ②是极小值，是极大值； ③没有最小值，也没有最大值；    ④有最大值，没有最小值. A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【解题思路】令可解x的范围确定①正确；对函数进行求导，利用导数判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性结合最值的定义分析判断③、④的正误，从而得到答案． 【解答过程】对①： ∵，若，则，解得， ∴的解集是，①正确； 对②： 又∵， 令，则，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增， 则是极小值，是极大值，②正确； 对③④： ∵，则， ∴当时，在上单调递减，则， 故无最小值； 又∵， 当时，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，则； 综上所述：对，，即为的最大值； 故③错误，④正确； 故选：D. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案. 【解答过程】因为，所以， 由题意可得，解得， 则，， 令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表： x 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以函数的极大值为，极小值为， 又因为， 且，所以， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【解题思路】（1）求出函数的导函数，依题意，可求得，再结合，即可求解； （2）分、和三种情况结合单调性讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，                                因为时，有极大值，所以，即，即．              当时，， 令，即；令，即或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，符合题目条件；      又，所以，              所以． （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，                        又，                     所以；                         ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，       综上所述，当或时，； 当时，． 题型7 利用导数研究函数零点（方程根） 1．（2025高二上·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】对函数求导，求出函数的单调区间，再求出函数的最小值即可判断函数的零点个数. 【解答过程】 ． 令，，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的， 使得，即，即，所以， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 所以， 所以函数的零点个数为1． 故选：B. 2．（2025·四川成都·一模）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】时，，利用导数求函数单调区间，可证得此时有2个实数解，则时，，在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数的取值范围. 【解答过程】时，，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以方程在和上各有1个实数解， 时，，函数在上单调递减， 依题意，在上有1个实数解， 则，解得. 实数的取值范围为. 故选：B. 3．（24-25高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数，若函数有4个不同的零点则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题转化为与图象有个不同交点，利用导数可求得时的单调性和最值，由此可得的图象，采用数形结合方式可求得的取值范围. 【解答过程】若有个不同零点，则与有个不同交点； 当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 又当时，恒成立，， 由此可得与大致图象如下图所示， 由图象可知：当，即时，与有个不同交点； 实数的取值范围为. 故选：A. 4．（2025·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据对勾函数的性质以及导数求解函数的最值，即可作出函数的图象，根据只有一个交点，即可结合图象求解. 【解答过程】， 由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减， 故，作出的大致图象如下： 故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点， 故，即， 故答案为：. 5．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）求导，根据导数判断函数单调性进而确定极值； （2）（i）求导，根据导数判断函数单调性与极值情况，结合零点存在定理可得参数范围；（ii）设，根据，，可得，即可将不等式转化为，设，即，则需证，构造函数，，求导可得函数的单调性与最值，即可得证. 【解答过程】（1）由已知，则，， ，， 令，即， 令，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值为，无极小值； （2）（i）由，， 则，， 当时，恒成立，即函数在上单调递减，与有两个零点矛盾，不成立； 当时，令，则，令，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 若函数有两个不同的零点，， 则， 设，， 则， 即在上单调递减，且， 则当时，， 又，， 当时，， 由零点存在性定理可知，此时函数有两个不同的零点. 综上所述，若函数有两个不同的零点，，则； （ii）设，则， 又，， 两式做差可得， 即，则，所以若证， 即证，即证， 设，即，则只需证， 设，， 则， 所以在上单调递增， 则，即， 所以. 题型8 利用导数证明不等式 1．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）要证，只需证，即证，构造函数，即证，利用导数分析函数的单调性，结合单调性证明即可. 【解答过程】（1）由题意得，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得，即． （2）令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． （3）要证，只需证， 即证， 设函数，即证． 又， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以． 令，则， 所以在上单调递增，故， 而，所以， 故，即且． 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的单调区间和极值； (2)证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知求解解析式，再根据导数的正负求解单调性即可； （2），分类讨论，和，根据导数证明即可． 【解答过程】（1）由题意知，所以， 又函数在点处的切线与直线 垂直， 所以，解得， 所以，， 令，解得，令，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 又，所以的极小值为，无极大值． （2）证明：要证，即证，即证， 当时，，，不等式显然成立； 当时，令，所以，， 令，所以， 令，所以，所以在上单调递增， 又，，所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增，又，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以，所以原命题得证． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【解题思路】（1）当时，，求出函数定义域，利用导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）①由在区间上不单调，可得在上有正有负，即在内有解，即得参数的范围；②先求得，利用①的结论及可推得，计算证明，即得，再由即可证得. 【解答过程】（1）当时，，函数定义域为． 求导得．由，可得或；由，可得， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）①对求导得：，． 因为在区间上不单调，所以在上有正有负， 即在内有解．由于，所以，即a的取值范围是． ②由， 由①知，，， 则． 因为，故． 又，则，故得． 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值是，无最大值 (3)证明见解析 【解题思路】（1）求得导函数，对进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可； （2）求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出最值； （3）要证明，等价于．设，利用导数求的最大值，结合（2）知，证即可． 【解答过程】（1）时，，， 当时，，在上单调递减； 当时，由得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增． （2）因为，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值是，无最大值． （3）时，， 要证明，需要证明，等价于①， 设，可得， 由得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 则的最大值是，即， 由（2）知， 又因为，即， 所以①式成立，所以． 5．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当的最大值为0时，求； (3)当时，正实数满足，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【解题思路】（1）只需求得即可得解； （2）分析得知的最大值为，其中，说明即可求解； （3）利用导数说明，结合已知得，结合是正实数即可得证. 【解答过程】（1）当时，，求导得， 所以， 故所求为； （2），求导得， 若，则恒成立， 这意味着此时在上单调递增，但这与的最大值为0矛盾， 故， 当时，， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 记，则 所以的最大值为， 设， 因为都是增函数， 所以是增函数， 注意到， 所以，解得， 综上所述，当的最大值为0时， ； （3）当时，正实数满足， 即， 进一步变形得， 令，求导得， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 解得或， 但由于都是正实数， 所以. 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，分、、、四种情况说明函数的单调性，结合函数的单调性，求出在上的最小值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】由函数，其中， 可得， 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或，令，解得 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【解答过程】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据题意得，令，求导求最值即可. 【解答过程】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知函数，. (1)当时： （i）求曲线在处的切线的方程； （ii）证明：直线与曲线有且仅有一个公共点； (2)当时，若任意，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）（ii）证明见解析 (2) 【解题思路】（1）（ⅰ）根据题意，求得，得到和，结合导数的结合意义，即可求解； （ⅱ）由题意，可转化为有且仅有一解，令，求得，得到函数递增，结合，即可得证； （2）转化为，由，求得，分，，求得函数的单调性和最小值，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：（ⅰ）当时，，可得，所以， 又由，所以曲线在处的切线方程为， 所以切线的方程为； （ⅱ）要证直线与曲线有且仅有一个公共点，只需证得有且仅有一解， 即证方程有且仅有一解， 令，可得， 所以函数在上单调递增， 因为，所以有且仅有一解， 所以直线与曲线有且仅有一个公共点. （2）解：由任意，恒成立， 等价于， 由，可得，其中， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. ①当，即时，在上单调递减， 所以，， 此时，不合题意. ②当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故，且， 即，且， 即，且， 令，当时，， 所以在上单调递增，故， 令，当时，， 所以在上单调递减，故， 所以当时，满足题意. 综上可得，实数的取值范围为. 题型10 利用导数研究双变量问题 1．（24-25高二下·湖北·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程有两不同解，构造函数，判定其单调性求其最小值，化为解，构造函数，判定其单调性从而解得化简待求式得，即可得结果. 【解答过程】因为，设切点坐标为， 则曲线在该点处的切线方程为：， 又在切线上，即， 则方程有两不同解， 令， 易知时，单调递增不合理，故． 当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值； 要使有两解，则，即， 令在上单调递增， 又因为，所以 易知， 又因为为方程的解，故有， 代入可得，故所求取值范围为． 故选：A. 3．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【解答过程】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 4．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可. 【解答过程】设，即，解得， 所以，令，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）先研究两个函数的单调性，再根据条件求出m即可； （2）方程有两个不同的解．转化为有两个不同的解． 对于①，令，求导，得到单调性，进而得到． 令，根据导数知道，在内单调递增，故方程最多有一个解，根据条件得到，进而得到m范围. 对于②，设是方程两个不同的解．设，代入方程，解得，则，构造，求导研究单调性即可. 【解答过程】（1）解：， 令得，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 令得，当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 当，即时，满足题意； 若，则与在上同时单调递增，矛盾； 若，则与在上同时单调递减，矛盾． 综上所述，． （2），整理得， 即方程有两个不同的解， 即方程有两个不同的解． ①解：令，则，当时，；当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，故当时，方程有两个解． 则方程，令，则，即在内单调递增，故方程最多有一个解， 要使方程有两个不同的解，则方程有两个不同的解，即，且方程的解满足，故只需，即即可． 所以的取值范围是． ②证明：由题意，是方程两个不同的解． 设，则， 解得， 所以， 令，则，令， 则，故在区间上单调递增，，即， 所以在区间上单调递增，即，所以成立． 题型11 导数中的新定义问题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对各个选项的函数求导，根据“坚定点”的定义判断方程是否有解即可. 【解答过程】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚定点”； 对选项B：，在上单调递减， 时，，时，； 在上单调递增，时，，时，， 所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”； 对选项C：，令， 则，即，显然是“坚定点”； 对选项D：，令，则，因为且，所以不存在“坚定点”． 故选：D. 2．（2025·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【解题思路】首先根据题意求对称中心，再利用对称性求值. 【解答过程】，，得， 又，所以函数关于点对称， 即，则， 且， . 故选：B. 4．（24-25高三上·上海·期中）若定义在上的函数和分别存在导函数和. 且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数. (1)求证: 函数是函数的“控制函数”; (2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； (3)若 函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 求证:“”的充要条件是“存在常数， 使得恒成立”. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）结合定义，只需证明即可得； （2）结合定义，构造函数，结合导数求出最小值即可得； （3）先证明充分性：若存在常数使得恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要性：由题意可得，又，则可结合偶函数性质得到，即可得证. 【解答过程】（1），，则，故， 即恒成立，故函数是函数的“控制函数”； （2）有， ， 则，， 令， 则 ， 由， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，即有， 则当时，函数是函数的“控制函数”， 即； （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“控制函数”， 因此，又， 因此函数是函数的“控制函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 5．（24-25高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【解答过程】（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设 ， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即 ， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $