第五章 导数的概念、运算及几何意义 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义以“导数的概念-运算-几何意义及应用”为逻辑主线构建知识体系，通过层级列表梳理平均变化率、瞬时变化率、导函数等核心概念，用公式集呈现基本初等函数导数、四则运算法则及复合函数求导法则，形成清晰的知识脉络，突出导数几何意义及公切线问题等重难点。 讲义亮点在于练习设计的梯度与情境化，如通过汽车瞬时加速度、污水排放治理等实际问题培养数学眼光，以两曲线公切线问题（如曲线y=x²与y=lnx的公切线求解）提升数学思维，题型涵盖基础辨析（导数概念判断）、运算应用（切线方程求解），帮助不同层次学生掌握方法，为教师实施精准复习提供有力支持。

第五章 导数的概念、运算及几何意义 目录 题型1：导数的基本概念 3 题型2：导数的运算 4 题型3：导数的几何意义及应用 5 题型4：两曲线的公切线问题 6 1. 导数的概念 (1) 平均变化率的概念 对于函数，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率． (2) 在处的导数 函数在处的瞬时变化率叫做函数在处的导数，记作或，即. (3) 导函数 当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），的导函数也记作，即. 2. 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率，即. 3. 基本初等函数的导数公式 (1) 常数函数：； (2) 正弦函数； (3) 余弦函数； (4) 指数函数； ； (5) 对数函数； ； (6) 幂函数。 4. 导数的四则运算法则 (1) ； (2) ； (3) 。 5. 复合函数的求导法则 对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 题型1：导数的基本概念 【例1.1.】 定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【例1.2.】 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一段路内时的速度（单位：）为，则汽车在第2s时的瞬时加速度为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例1.5.】 已知函数的图像开口向下，，则（    ） A． B． C．2 D． 【例1.6.】 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（   ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同 题型2：导数的运算 【例2.1.】 （多选）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2.2.】 设函数，则______． 【例2.3.】 （多选）下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【例2.4.】 已知函数满足，则________. 【例2.5.】 已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________. 题型3：导数的几何意义及应用 【例3.1.】 函数在处的切线方程为______． 【例3.2.】 过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【例3.3.】 若直线是曲线的一条切线，则___________． 【例3.4.】 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【例3.6.】 设曲线在处的切线与直线垂直，则____________. 【例3.7.】 已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.8.】 已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【例3.9.】 已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4：两曲线的公切线问题 【例4.1.】 若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【例4.2.】 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 【例4.3.】 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________. 【例4.4.】 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 【例4.5.】 曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 是函数与的公切线，则______. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 导数的概念、运算及几何意义 目录 题型1：导数的基本概念 3 题型2：导数的运算 6 题型3：导数的几何意义及应用 9 题型4：两曲线的公切线问题 14 1. 导数的概念 (1) 平均变化率的概念 对于函数，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率． (2) 在处的导数 函数在处的瞬时变化率叫做函数在处的导数，记作或，即. (3) 导函数 当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），的导函数也记作，即. 2. 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率，即. 3. 基本初等函数的导数公式 (1) 常数函数：； (2) 正弦函数； (3) 余弦函数； (4) 指数函数； ； (5) 对数函数； ； (6) 幂函数。 4. 导数的四则运算法则 (1) ； (2) ； (3) 。 5. 复合函数的求导法则 对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 题型1：导数的基本概念 【例1.1.】 定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 【例1.2.】 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】平均变化率、导数（导函数）概念辨析 【分析】根据导数的几何意义判断. 【详解】从图象看，函数的增长越来越平缓，因此，而表示与间的平均变化率，因此. 【例1.3.】 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一段路内时的速度（单位：）为，则汽车在第2s时的瞬时加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】对速度函数求导得加速度函数，然后代入求值. 【详解】由已知，所以. 【例1.4.】 已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【详解】因为， 所以. 【例1.5.】 已知函数的图像开口向下，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】利用瞬时变化率的定义和导数求解. 【详解】由得，. 由导数的定义可知，解得. 又因为的图像开口向下，所以，所以. 【例1.6.】 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（   ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【难度】0.78 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先快后慢， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 故D正确. 题型2：导数的运算 【例2.1.】 （多选）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.82 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 【例2.2.】 设函数，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数值、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】利用对函数两边求导，再把代入，从而计算出，再求出函数表达式，最后求出. 【详解】先对函数求导可得  ， 令，则 ， 所以，， 故. 【例2.3.】 （多选）下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】导数的加减法、导数的乘除法 【分析】根据导数的四则运算求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，令，所以， 所以，解得，故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AC． 【例2.4.】 已知函数满足，则________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】先对求导：. 令，得. 移项得，即. 所以，代入， . 【例2.5.】 已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【详解】因为函数的图象与曲线重合，曲线的方程为， 化简可得，即， 求导可得， 因为， 所以， 当时，， 即. 题型3：导数的几何意义及应用 【例3.1.】 函数在处的切线方程为______． 【答案】 【难度】0.64 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数， 可得，且， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 【例3.2.】 过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 【例3.3.】 若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 【例3.4.】 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【详解】由，得， 所以，且， 根据图象得． 【例3.5.】 已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 【例3.6.】 设曲线在处的切线与直线垂直，则____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数的几何意义，以及两直线垂直的关系，求实数的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，即. 故答案为： 【例3.7.】 已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【详解】因为， 则， 所以，又， 所以的图象在处的切线方程为，即． 【例3.8.】 已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 【例3.9.】 已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点，求出切线方程，将点代入切线方程，得到关于的一元二次方程；曲线有两条过点的切线等价于方程有2个不等实根，得到，解不等式即可. 【详解】. 设切点坐标为，其中. 在切点处的切线斜率为， 则切线方程可表示为. 又切线过点，则， 因为，所以，整理得. 因为曲线有两条过点的切线，等价于关于的方程有2个不等实根，即， 而，所以， 解得或. 故实数t的取值范围是. 题型4：两曲线的公切线问题 【例4.1.】 若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线，结合公切线的性质进一步求解即可. 【详解】由，得，，故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 【例4.2.】 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】结合导数的几何意义求曲线上过点的切线方程，再求曲线过点的切线方程，结合条件列方程，由此可得结论. 【详解】设曲线上的切点为，因为， 所以直线为，即. 设曲线上的切点为， 因为，所以直线为，即， 所以，解得， 所以， 所以在轴上的截距为. 【例4.3.】 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】分别求两曲线的切线方程，根据公切线条件列方程组，消元后得到关于的表达式，构造函数求最值，进而确定的取值范围. 【详解】设切点分别为， ，即， ，即， ，则， 设， 在单调递减，在单调递增， ， 又为正实数， . 【例4.4.】 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 【答案】0或1 【难度】0.55 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，分析可知方程有且仅有一个解，分析讨论即可. 【详解】令，， 则，可得，， 则在点处的切线方程为， 令，则， 由题意可知方程有且仅有一个解， 若，则有且仅有一个解，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：或1. 【例4.5.】 曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解. 【详解】的定义域为，则. 的定义域为，则. 设与相切的切点为，切线方程为，即. 设与相切的切点为，切线方程为， 即. 由题意知，，由，得， 代入另一个方程解得，则. 代入中，得，即. 【例4.6.】 是函数与的公切线，则______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点坐标，由导数的几何意义进行求解． 【详解】设的切点为， ∴，∴， ∴切点为， ∴， 设的切点为， 由，得， 得切点为，则， 得， ∴. 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