3.2.2 双曲线的简单几何性质（3）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（3） 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能用代数方法判断直线与双曲线的位置关系，能区分“相交（两个交点）” “相交（一个交点，与渐近线平行）”“相切”“相离”四种情形。； 2. 能推导弦长公式，求解直线与双曲线相交所得的弦长； 3.掌握点差法解决中点弦问题的基本步骤，能推导中点弦斜率与中点坐标的关系式； 4.理解中点弦问题中检验的必要性，能判断所求直线是否与双曲线真的有两个交点 ； 5.固化解析几何“几何位置→代数联立→运算求解→回归几何”的统一范式，提升数形结合、 逻辑推理、数学运算核心素养，形成圆锥曲线直线综合问题的结构化解题体系。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： “代数方法是研究圆锥曲线的重要途径” ——用方程的语言描述曲线的位置、形状和大小，用代数运算揭示几何规律，用几何直观解释代数表达 单元大概念： “几何位置关系的代数判定与几何量的代数计算” ——直线与双曲线的位置关系可以通过方程联立后的判别式来判定；弦长、中点弦等几何量可以通过根与系数的关系来计算。核心策略是“设而不求，整体代换”。 单元大问题： 用方程研究位置关系与几何量 ——将几何位置关系转化为代数方程解的个数问题，将几何量计算转化为代数式的运算。判断位置关系用判别式，求弦长用韦达定理，求中点弦用点差法。 本课大问题： 如何用代数方法研究直线与双曲线的位置关系及其几何度量？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 数学本质： 用代数方法研究直线与双曲线的位置关系。 第一层：位置关系的代数判定。 直线与双曲线的位置关系（相交、相切、相离）可以通过联立方程组后一元二次方程的解的个数来判断。但双曲线与椭圆有本质区别：双曲线存在渐近线，当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但此时直线并不与双曲线相切。这是本节的核心难点，也是双曲线区别于椭圆的本质特征。 第二层：弦长公式的推导与应用。 弦长公式 ∣AB∣= ∣x 1 −x 2 ∣ 的本质是将两点间的距离转化为横坐标之差，再利用韦达定理整体代入，体现“设而不求”的解析几何核心策略。 第三层：中点弦与点差法。 点差法是解决中点弦问题的核心方法——将两个交点坐标代入双曲线方程后作差，利用平方差公式构造出中点坐标与斜率的关系，体现“整体代换”与“设而不求”的思想。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 如何用代数方法研究直线与双曲线的位置关系及其几何度量？ 子问题 子问题 1：如何判断直线与双曲线的位置关系？联立方程后，方程的解的个数与位置关系 如何对应？与椭圆有何不同？ 子问题 2：直线与双曲线相交时，如何求弦长？如何利用韦达定理实现“设而不求”？ 子问题 3：已知弦的中点，如何求弦所在直线的斜率？点差法的核心步骤是什么？ 为什么点差法能奏效？ 子问题4：中点弦问题中，为什么需要检验直线是否与双曲线真的有两个交点？ 这与双曲线的渐近线有何关系？（易错点辨析） 子问题 5：以上三个方面的研究体现了怎样的大观念？对后续抛物线研究有何启示？ （结构化提升）同构通法、异形差异。 问题1：我们研究了双曲线的性质，也研究了直线与椭圆的位置关系。那么直线与双曲线的位置关系能否“复制”椭圆的方法？ 【环节二】回顾性质，引出大问题 追问1：判断直线与双曲线位置关系的基本方法是什么？ 追问2：双曲线与椭圆在图形上最大的区别是什么？ 追问3：这个区别会给直线与双曲线的位置关系带来什么新情况？ 课题：3.2.2 如何用代数方法研究直线与双曲线的位置关系及其几何度量？ 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 问题2 如何判断直线与双曲线的位置关系？与椭圆有何不同？ 追问1：联立直线 y=kx+m 与双曲线 -=1 ，消元后得到什么方程？ 追问2：消元后的方程一定是二次方程吗？二次项系数可能为0吗？此时直线有什么特殊位置？ 追问3：当二次项系数不为0时，判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0 分别对应什么位置关系？ 追问4：直线与双曲线只有一个交点时，一定是相切吗？请举例说明。 y O 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：2个交点 x (交于左支/右支/异支) 相交：1个交点 (与渐近线平行) O x y O x y O x y 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 1、直观感知直线与双曲线的位置关系 8 消去y： (1) p=0 ① m=0 方程(*)为一元一次方程 方程(*)无解 直线（即渐近线）与双曲线相离 ② m≠0 方程(*)一解 直线与双曲线相交 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0(＊) (2)当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(x∈R) 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 2、代数法判断直线与双曲线的位置关系 消去y： (2) p≠0 方程(*)为一元二次方程 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0(＊) ① △＜0 方程无实数根 相离 没有公共点 ② △＝0 方程有两个相等实根 相切 一个公共点 ③ △＞0 方程有两不等实根 相交 两个公共点 (2)当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(x∈R) 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 2、代数法判断直线与双曲线的位置关系 (2)当直线斜率不存在时，设直线方程为x=m(x∈R) 直线与双曲线相离 ① ② 直线与双曲线相切 （切点为顶点） ③ 直线与双曲线相交 （交点在同支上） F2 O x y F1 • • 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 2、代数法判断直线与双曲线的位置关系 (2) p≠0 方程(*)为一元二次方程 ① △＜0 ② △＝0 ③ △＞0 方程无实数根 方程有两个相等实根 方程有两不等实根 相离 相切 相交 没有公共点 一个公共点 两个公共点 如何判断两个交点在同支上还是异支上？ 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 2、代数法判断直线与双曲线的位置关系 F2 O x y F1 • • 判断直线与双曲线位置关系的方法1:方程思想的应用(代数法) 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐近线平行(不包含重合情形) 相交 计 算 判 别 式 相交 相切 相离 交点 交点 切点 无公共点 二次项系数为0 二次项系数不为0 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 例1. 已知直线 y=kx-1与双曲线x2-y2=4, 试讨论实数k的取值范围, 使直线与双曲线(1)无公共点; (2)有2个公共点; (3)只有1个公共点. 考虑二次项系数A是否为0 A=0时直线与渐近线平行 A≠0时才能考虑△ 相切 相交于一点 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 例1. 已知直线 y=kx-1与双曲线x2-y2=4, 试讨论实数k的取值范围, 使直线与双曲线 (4)交于两支各一点; (5)与左支交于两点. 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 注：直线与双曲线的位置关系通常以渐近线的斜率为临界进行分析. 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” A A 【环节四】弦长公式——设而不求的艺术 问题3 直线与双曲线相交时，如何求弦长？ 反思感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 【环节三】位置关系的判定——从“复制”到“辨析” 18 例3 F2 O x y A B F1 • • • • 解1： 由双曲线的方程知，焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0) 因为直线AB的倾斜角是30º，且经过右焦点F2, 教材P126 【环节四】弦长公式——设而不求的艺术 例3 F2 O x y A B F1 • • • • 由双曲线的方程知，焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0) 因为直线AB的倾斜角是30º，且经过右焦点F2, 解2： 教材P126 【环节四】弦长公式——设而不求的艺术 【环节四】弦长公式——设而不求的艺术 求双曲线弦长的方法： 1. 两点距离公式： 2. 弦长公式： 前提：直线斜率k存在 (或者消去y) 【环节四】弦长公式——设而不求的艺术 例4 解1： 联立+韦达+中点 韦达 定理 设而 不求 x y o M A B . 【环节五】中点弦——点差法的魅力 例4 解2： (中点/斜率公式) 代点 作差 点差法 【环节五】中点弦——点差法的魅力 解：设∵为的中点， ∴又两点在双曲线上， 则，两式相减得 于是， 所以，即 探究：求证：若双曲线不平行于对称轴的弦的中点为则为定值. (中点公式) 代点 (斜率公式) 作差 【环节五】中点弦——点差法的魅力 椭圆- 双曲线 + x 分母是什么字母， 中点弦公式的分母就是它， 【环节五】双曲线中的斜率乘积定值问题 【环节五】双曲线中的斜率乘积定值问题 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 28 消去y： (1) p=0 ① m=0 方程(*)为一元一次方程 方程(*)无解 直线（即渐近线）与双曲线相离 ② m≠0 方程(*)一解 直线与双曲线相交 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0(＊) 当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(x∈R) 【环节六】单元建构，结构统整 代数法判断直线与双曲线的位置关系 消去y： (2) p≠0 方程(*)为一元二次方程 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0(＊) ① △＜0 方程无实数根 相离 没有公共点 ② △＝0 方程有两个相等实根 相切 一个公共点 ③ △＞0 方程有两不等实根 相交 两个公共点 当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(x∈R) 【环节六】单元建构，结构统整 代数法判断直线与双曲线的位置关系 求双曲线弦长的方法： 1. 两点距离公式： 2. 弦长公式： 前提：直线斜率k存在 (或者消去y) 【环节六】单元建构，结构统整 解决的中点弦问题的3种方法 1、方程组法：通过解直线方程与曲线方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解. 2、点差法：设直线与曲线的焦点(弦的端点)坐标为，将这两点代入曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，利用，转化为中点与直线的斜率之间的关系. 3、中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入曲线方程作差可得. 【环节六】单元建构，结构统整——中点弦问题 【环节六】单元建构，结构统整——斜率乘积定值问题 椭圆- 双曲线 + x 分母是什么字母， 中点弦公式的分母就是它， 椭圆- 双曲线 + x 分母是什么字母， 中点弦公式的分母就是它， 01 02 03 基础：教材第128页习题3.2第10题. 提升：教材第128页习题3.2第11、13题， 拓展： 1、以“从椭圆到双曲线——直线与圆锥曲线位置关系的变与不变”为题，撰写一份不少于200字的学习小结，要求： 用自己的语言概括本节“联立方程→韦达定理→点差法”的方法体系；举例说明双曲线与椭圆在位置关系判定上的本质差异； 提出一个你在学习过程中尚未完全理解的问题。 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 35 $