3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，通过类比椭圆性质引入，课前预习设置诊断分析夯实基础，课中探究分“由方程研究性质、由性质求方程、离心率问题”三个层次递进，构建完整学习支架。 其亮点在于以实例探究培养数学思维，如例1规范方程化标准形步骤发展数学语言表达，综合提升题结合冷却塔实际情境增强应用意识。学生能深化性质理解，教师可依托分层习题与素养小结提升教学效率。

3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 1 第1课时 双曲线的简单几何性质 2 探究点一 由双曲线方程研究其几何性质 探究点二 由双曲线的简单几何性质求 标准方程 探究点三 双曲线的离心率问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、 顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达. 2.能认识双曲线特征量的几何意义. 4 知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 图形 课 前 预 习 5 性质 焦点 ________________ ________________ 焦距 ____ 范围 ____________________ ____________________ 对称性 __________________ 顶点 _________________ _________________ , , 或， 或， 轴对称、中心对称 , , 续表 课 前 预 习 6 性质 ,, 的关系 _____________ 离心率 _ _____, 实轴 线段长等于， 叫作双曲线的实半轴长 虚轴 线段长等于， 叫作双曲线的实半轴长 渐近线方程 __________ __________ 续表 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）双曲线的焦点在 轴上.( ) × [解析] 由双曲线的标准方程知,双曲线的焦点在 轴上. 课 前 预 习 8 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）双曲线 与双曲线 的渐近线方程相同.( ) × [解析] 双曲线 的渐近线方程为,双曲线 的渐近线方程为 ,不相同. 课 前 预 习 9 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( ) √ [解析] 双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越开阔. 课 前 预 习 10 2.（1）双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗? 解：不能. 每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在 轴上. （2）椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同？ 解：不相同. 双曲线的离心率的取值范围是 ，椭圆的离心率的取值范围是 . 课 前 预 习 11 知识点二 等轴双曲线 ________________________叫作等轴双曲线,其渐近线方程为_______ __，离心率为____. 实轴和虚轴等长的双曲线 课 前 预 习 12 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）等轴双曲线的离心率是 .( ) √ [解析] ,, . 课 前 预 习 13 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( ) × [解析] , 等轴双曲线的渐近线方程为 ,与双曲线的方程无关. （3）等轴双曲线的渐近线互相垂直.( ) √ [解析] 等轴双曲线的渐近线方程为 ,易知这两条直线互相垂直. 课 前 预 习 14 探究点一 由双曲线方程研究其几何性质 例1 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚 轴长、离心率和渐近线方程. 解：双曲线方程可化为,则双曲线的焦点在轴上, , , ,，, , 顶点坐标为,焦点坐标为,实轴长为 ,虚轴长为,离心率,渐近线方程为,即 . 课 中 探 究 15 变式（1）（多选题）[2026·西安交大附中高二月考]已知双曲线 和，其中,，且 ，则下 列说法正确的是( ) A.与的虚轴长相等 B.与 的焦距相等 C.与的离心率相等 D.与 的渐近线相同 √ √ [解析] 双曲线的焦点在轴上，虚轴长为 ，双曲线的焦点在轴上，虚轴长为 ，故A错误； 设，，则双曲线和 的焦距均为，故B正确； 课 中 探 究 16 双曲线 的离心率为，双曲线的离心率为 ，故C错误； 双曲线的渐近线方程为 ，双曲线的渐近线方程为，故D正确.故选 . 课 中 探 究 17 （2）已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，则双曲线 的渐近线方程为___________. [解析] 椭圆中，设长半轴长为，短半轴长为 ，半焦距为，则，， ，所以椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，其中为双曲线 的半焦距，所以，所以双曲线 的渐近线方程为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤： （1）把双曲线的方程化为标准形式； （2）由标准方程确定焦点位置，确定<m></m>，<m></m>的值； （3）由<m></m>求出<m></m>的值，从而写出双曲线的几何性质. 课 中 探 究 19 探究点二 由双曲线的简单几何性质求标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在轴上，离心率为 ，两顶点间的距离为6； 解：设所求双曲线的方程为 . 由，，得， ，所以， ，所以双曲线的方程为 . 课 中 探 究 20 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （2）与双曲线有共同的渐近线,并且经过点 . 解：方法一：双曲线的渐近线方程为 . 若所求双曲线的焦点在 轴上，设其标准方程为 ．因为，所以 . 因为点在所求的双曲线上，所以 . 课 中 探 究 21 联立①②所得的方程组无解．若所求双曲线的焦点在 轴上，设其标准方程为 ．因为，所以 . 因为点在所求的双曲线上，所以 . 联立③④得， ，所以所求双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 方法二：设与双曲线 有共同渐近线的双曲线的方程为 ．因为点 在所求的双曲线上，所以 ，所以所求双曲线的方程为 ，即标准方程为 . 课 中 探 究 23 变式 求下列双曲线的标准方程. （1）过点 且为等轴双曲线； 解：设双曲线方程为，将 代入方程，可得 ，所以双曲线方程为 ，即标准方程为 . 课 中 探 究 24 变式 求下列双曲线的标准方程. （2）两顶点间的距离为6，渐近线方程为 解：根据渐近线方程设双曲线方程为 . 当时， ，所以，解得 ； 当时， ，所以，解得 . 综上，双曲线的标准方程为或 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点 位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时， 应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成 <m></m>.当双曲线的渐近线方程为<m></m>时，可 以将双曲线方程设为<m></m>. 课 中 探 究 26 探究点三 双曲线的离心率问题 例3（1）[2026·扬州一中高二期中]已知, 分别为双曲线 的左、右焦点，点的坐标为 .若 为等边三角形，则双曲线 的离心率是( ) A. B. C.2 D.3 √ [解析] 如图，为等边三角形，为 的中点，，则 . ， .故选C. 课 中 探 究 27 （2）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆 有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由，得 ，故圆的圆心为，半径. 焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为，即. 由题可知， ，化简得. 课 中 探 究 28 由，得 ，化简得，所以，又 ，故双曲线的离心率的取值范围为 .故选B. 课 中 探 究 29 变式（1）若双曲线 的渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 [解析] 双曲线的渐近线方程为 , ,即， 又 , , .故选A. √ 课 中 探 究 30 （2）[2026·天津实验中学高二期中] 已知双曲线 的左、右焦点分别为,，点 在双曲线 上，且,，则双曲线的离心率 ____. [解析] 设,则 ，由双曲线的定义可得，即，所以 , . 又，，所以在 中，由余弦定理得，即 ，可得，故离心率 . 课 中 探 究 31 ［素养小结］ 求双曲线的离心率时建立方程的一般方法： （1）利用双曲线的几何性质得到关于<m></m>，<m></m>，<m></m>的等式； （2）利用焦点三角形，借助图形特点得到关于<m></m>，<m></m>，<m></m>的等式； （3）将已知条件采用代数法转化得到关于<m></m>，<m></m>，<m></m>的等式. 由<m></m>，<m></m>，<m></m>的等式运用解方程的方法得到离心率的值，解题时要注意 离心率的取值范围. 课 中 探 究 32 拓展（1）已知点，分别是双曲线 的左、 右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于， 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 33 [解析] 由题知，则， 均为锐角，是锐角三角形，为锐角，则 ，即. 由题得，，即 ，即，解得，又 ， .故选C. 课 中 探 究 34 （2）[2026·浙江丽水高二期中] 设椭圆 与双 曲线的离心率分别为, ，若双曲线的渐近线的斜率的 绝对值小于，则 的取值范围是_ _______. [解析] 因为双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于 ，所以. 由题知，，设 ，则，所以 ，所以 ， 课 中 探 究 35 因为，所以，则 ，则，因为，所以 . 课 中 探 究 36 课后习题 37 1.已知双曲线的方程为 ，则该双曲线的( ) A.实轴长为，虚轴长为2 B.实轴长为 ，虚轴长为4 C.实轴长为2，虚轴长为 D.实轴长为4，虚轴长为 [解析] 双曲线方程可化为，可得 , ，所以该双曲线的实轴长为 ，虚轴长为4.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 2.[2026·云南师大附中高二期中]双曲线 的一个 焦点为，则 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 依题意得，由 为双曲线的一个焦点，得，所以，故的渐近线方程为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 3.[2025·武汉六中高二月考]已知等轴双曲线过点 ，则该双曲线 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设等轴双曲线的方程为，将点 的坐标代入等轴双曲线的方程可得 ，则该双曲线的方程为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 4.已知双曲线，则当实数 变化时，这些双曲 线有( ) A.相同的焦点 B.相同的实轴长 C.相同的离心率 D.相同的渐近线 √ [解析] 当时，可化为， ，，，焦点在轴上，实轴长为，离心率为 ，渐近线方程为； 当时， 可化为， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 ，，，焦点在 轴上，实轴长为，离心率为，渐近线方程为 这些双曲线有相同的渐近线.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 5.设双曲线的离心率为 ，则下列说法中正 确的为( ) A.越大，双曲线开口越小 B. 越小，双曲线开口越大 C.越大，双曲线开口越大 D. 越小，双曲线开口越大 [解析] 对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误； 对于B， 越小，双曲线开口越小，故B错误； 对于C，由知， 越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确； 对于D，越小，则 越小，双曲线开口越小，故D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 6.（多选题）[2026·渭南高二期中]已知， 分别是双曲线 的上、下焦点，且 的实轴长等于虚轴长的2倍，则( ) A. B.的顶点坐标为 C.的离心率为 D.的渐近线方程为 √ √ [解析] 由题意可知，，， ，即，，即， ，A选项错误； ，,的顶点坐标为 ，B选项错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 ，,， ，C选项正确； ,，且双曲线的焦点在轴上， 渐近线方程为，D选项正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 7.已知双曲线，则的右焦点的坐标为______， 的焦 点到其渐近线的距离是____. [解析] 由双曲线的方程知，，，则 ，所以双曲线的右焦点的坐标为. 双曲线 的渐近线方程为，即，所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 8.写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为 ____________________________. ①中心在原点，焦点在 轴上;②两条渐近线互相垂直;③焦距大于2. （答案不唯一） [解析] 由①可设双曲线方程为 ， 由②可得渐近线方程为，则，所以 ， 由③可得，所以，可取 ， 所以双曲线方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9.（13分）求下列双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点 ； 解：因为所求双曲线与双曲线 有共同的渐近线，所以设所求双曲线的标准方程为 ， 又因为所求双曲线经过点，所以 ，解得 ， 所以所求双曲线的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 9.（13分）求下列双曲线的标准方程. （2）等轴双曲线与椭圆 有公共的焦点； 解：由椭圆可得其半焦距 ,且椭圆的焦点在轴上，故可设与之有公共焦点的等轴双曲线 的方程为,依题意，,可得, 故双曲线 的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.（13分）求下列双曲线的标准方程. （3）双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6. 解：当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为 ，则解得 所以双曲线的方程为 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线 的方程为，则解得 所以双曲线的方程为 . 综上，双曲线的方程是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 10.[2026·南通高二期中]已知双曲线 的左、 右焦点分别为，，点在双曲线上， 且 （ 为坐标原点），则双曲线的离心率为( ) A. B.2 C. D. √ [解析] 因为，所以 ，可知.不妨设，则，故 . 由双曲线的定义得，所以 . 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 11.如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴 旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为 ，下口半径为 ，高为 ，则冷却塔的最小直径为( ) A. B. C. D. √ [解析] 根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，如图所示，设双曲线方程为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 因为冷却塔的上口半径为，下口半径为，高为 ，所以设双曲线上的点,，且 . 由两式相减得 ， 又双曲线的离心率为3，所以 ， 所以，代入可得 ，得， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 所以，将 代入双曲线方程可得，得，所以 ，即冷却塔的最小直径为 ，故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2026·湖北武昌实验中学高二检测]已知焦点在 轴上 的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆 的半径相 等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于，，， 四点， 且 ，则( ) A.的渐近线方程为 B.的焦距为 C. D.四边形的面积为 √ √ √ [解析] 如图，由双曲线是等轴双曲线，可知 的渐近线方程为，故A正确； 设等轴双曲线 的方程为， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 以实轴长为半径的圆 的方程为，两方程联立消去 可得 ， 即， 解得 ， 因为，所以，解得 ，则，，可得，则的焦距为 ,故B错误； 等轴双曲线的方程为，以实轴长 为半径的圆的方程为，两方程联立消去 可得 ，解得，故 ，故C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 根据双曲线和圆的中心对称性和轴对称性，可知四边形 是矩形，故其面积为，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2025·深圳中学高二期中] 已知双曲线, 点的坐标为,若上的任意一点 都满足,则 的离心率的 取值范围是_ ________. [解析] 设,则由得 ,整理得. 由得 ,代入不等式（*）中,化简得恒成立,则 , 即,即,即,可得 ,解得, 又,所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14.（15分）已知双曲线 的左、右焦点分 别为， . （1）若点的坐标是，且的面积为，求双曲线 的渐近线方程； 解：因为，的面积为 ，所以，即，所以 ，解得或 （舍去），所以，所以双曲线的渐近线方程是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 14.（15分）已知双曲线 的左、右焦点分 别为， . （2）若以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为 ，且 （为原点），求双曲线 的离心率. 解：因为以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为 ，所以，所以 ，在 中，由余弦定理可得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 所以，则，所以 ，即，所以，所以 ，所以，所以双曲线 的离心率为2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 15.（多选题）已知，分别为双曲线 的 左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为 的内心，若 ，则下列结论正确的是 ( ) A.当轴时， B.双曲线的离心率 C. D.点的横坐标为定值 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 当轴时，，此时 ，故A错误； ， ，整理得，又，，故B正确； 设 的内切圆半径为，由双曲线的定义得， ，， ，， ，，故 ， 故C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 设的内切圆与，，的切点分别为 ，，，则，， ，由 ，，可得，的坐标为 ，即的横坐标为定值，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）对于双曲线 ，定义 为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点分别为 ， . （1）当时，记双曲线的焦距为，其伴随曲线 的焦距为 ，若，求双曲线 的渐近线方程； 解：因为,，所以由 ，可得 ，即，所以，所以双曲线 的渐近线方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 16.（15分）对于双曲线 ，定义 为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点分别为 ， . （2）若双曲线，的弦轴，记直线与 的 交点为，求动点 的轨迹方程. 解：设,则， ，因为,，所以直线的方程为 ，直线的方程为，联立直线与直线 的方程可得,， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 代入，可得 ，化为 ，所以动点的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 $