练案30 第三章 3.2.2 第1课时双曲线的简单儿何性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[30]第三章 3.23.2.2[第1课时 双曲线的简单几何性质] A组·基础巩固 7.卫知双曲线C后-茶=1的离心率是，5，R, 1已加双青线- =1(a>0)的右焦点为(3， F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且 0),则双曲线的离心率等于 垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于 点M,则tan∠MF,F,的值为 A.34 B.32 14 4 8.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦 c D.4 点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的 方程为 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，9.求适合下列条件的双曲线的标准方程 则双曲线方程为 ( (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被 小劳若 R后-苦-1 两顶点和中心四等分 (2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的 cxx 16161 D.r 距离是6. 1616 &若双曲线二的离心率为3，侧其渐损 线方程为 ( A.y=±2x B.y=±2x 1 C.y=±2x 》号 2 4设双曲线。。1(a>0)的衙近线方程为 3x±2y=0,则a的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0),P 是双曲线上一点，且渐近线方程为y=± 3, 则下列结论正确的是 ( 10的方看为5后1 BGC的离心率为好 C.焦点到渐近线的距离为3 D.IPFI的最小值为2 6起知双线C.-0>0,6>0的左 右焦点分别为F,F,若双曲线上存在点P满 足IP℉，I:1PF2I:1FF2I=4:6:5,则该双 曲线的离心率为 ( A.2 R c D.5 4 —186 x2 y2 0,设双曲线10<a<的半焦距为c,目14.已知双曲线C,京a>0,6>0)的左 直线l过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线 右焦点分别为F1,F2,过点F2,B(0,b)的直 1的距离为，求双曲线的离心率 线与双曲线右支在第一象限相交于点P,若 S△BFE,=3S△PFF,则双曲线C的渐近线方程 为 C组·拓展提升 15.设0为坐标原点，直线x=a与双曲线C: 。~户=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交 x2_ 于D,E两，点.若△ODE的面积为8，则C的 焦距的最小值为 A.4 B.8 C.16 D.32 y 16.已知E,B,分别为双曲线=1(a>0, b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任 B组·综合运用 意一点，当PE取最小值时，求双曲线的离 心率e的取值范围. 电知双曲线C:一冷=1的焦距为10，点 P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 号-1 D.r 2080=1 12已知P为双曲线苦-2=1上任意一点，过点 P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足 分别为A,B,则IPAI·IPBI的值为（) A.4 B.5 c D.与点P的位置有关 3.已知双曲线c多-1(a>0,6>0),漫 左、右焦点分别为F1,F2,1FF21=2c,在C的 右支上存在一点P,使得以F,F2,F,P为邻边 的平行四边形为菱形，且直线PF与圆(x- c)2+y2=c2相切，则该双曲线C的离心率为 B.5+1 2 C.3 D.2 —187一15.3设F,F2分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义 练案[30] 可得，1+1M,1=2a. 所以IMFI=a+1,IMF2I=a- IMF I-IMF2I =2, C由题袋知。+5=9解得a=2c=台-号 1,所以1MF,11ME,=a2-1,由余弦定理可得F,F,2=2.D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2 (IMF,I+IMF21)2-2 IME IIME2I-2IMF1IMF2「· =A(A≠0)，将点(5,3)代人方程，可得入=52-32=16，所以 cos∠F,MF2=4(a2-1),所以cos∠FMF2= 3-d.故 a2-11 双面线方程为2-=16，即后名=1 m∠F,MR,=48,因此△MF,R,的面积为1MR 3.Be=5,二=5，即+=3,2=2a,双曲线方 a2 a2-1 程为」 1M,1m∠5那，=d-)=分-8-1， 的。2石=1，渐近线方程为y=±2 a2-1 4.C 由双抽线的几何性质可得，双曲线5-一，三1(“>0)的渐 解得a=√3 16.【解析】(1)如图，以0为原点，OB所在直线为x轴，OC所 近线方程为y=±3x,又因为渐近线方程为3x±2y=0,即y 在直线为y轴，建立平面直角坐标系 =±弓，放a=2 5.AD由双曲线C的一个焦点为F(5,0),且渐近线方程为y= ±手，可得c=5,焦点坐标在轴上，所以名=号，因为c= 4 5.所以64.a=3,所以C的方程为号-若后-1，A正确：离心 设敌舰艇的位置为P(x,y),由题意可知IPBI-IPAI=o· ，B不正确；焦点到渐近线的距离为d=4×5 率为e=草 42+3 44 =4,C不正确：IPF1的最小值为c-a=2,D正确， IFFI 55 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A,B为焦点的双曲 6.Be=PF,1-1Pp76-42 线的左支，且2a=4,c=3, 7. 25 所以6=5，所以轨遮方程为号-号 5 由题意得，e=￡=5，点M的横坐标为c,将x=c代入 a 451, 、双曲线G的方程得。-1，所以y三±名，又>0，所以 令y=0,得x=±2， 又轨迹为双曲线的左支，所以x≤-2， M(e,会)所以m4r5=ig-ac2c -1ME,=-2-d2=e2-l 2e 所以敌靓製的航造方程为号苦=1(：5-2》 -5-125 25-5 2设方程号-亏=1≤-2上-或以么0. 8名言-1满圆杖+-6可变形为后+点-1，。-64 由庭疼免-号=1化≤-2》 c2=64-16=48,.焦点为(0,4√3)，(0，-45)，离心率e= 即号=4+56， 42 会则双质线的焦点在y轴上心=45e后-2，从面。 33 又C(0,3), -6,6”-12,放所求双前线的方程为6-音-1 所以1MC1=√6+(y。-3)2 9.【解析】(1)由两顶点间的距离是6，得2a=6,即a=3. =√4++(o-3) 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12, 即c=6, V/g8-+9 于是有b2=c2-am2=62-32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 +8(yo∈R), (2)设双曲线方程为4x2-9y2=入（入≠0）， 所以当%-号时，MC1=2万， 即父-二=1(1≠0)，由题意得a=3. 即无人机飞行的距离最小是2√2 -280 当A>0时，=9，A=36, 3Sa所1n5a断5=7×2&·6=bc,Sa听h=7×2·6= 双尚线方程为号-号-1： y 0则c=3g解得%=号将%=号代人兰+亡=1中， 当A<0时，g=9,A=-81, 4c2b2 反线方程为兮-益1 得则P(号)所以是是-1，又心+=， 解得名-放双前线C的渐近线方程为y=± 2 故所求双曲线的标准方程为 b 号1号益1 15.B由题意可知双曲线的渐近线方程为y=±名x因为D,E 分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不 4 10.【解析】直线1的方程为若+六=1， 妨设D(a,),B(a,-),所以5amE=子×a×1nE1=子× a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b= 即bx+ay-ab=0. 于是有b:0+a0-abl-B 22时等号成立.所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最 a+6 4℃， 小值为8. 所以山县，丙边平方，骨心8。 6,【解析】因为双曲线号-卡1>0,6>0)的左、右焦且 分别为F,F2,P为双曲线右支上的任意一点， 又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4, 所以IPFI-1PF2I=2a,IPF,I=2a+1PF2l, 两边同时除以a4,得3e-16e2+16=0, 部行=4或=手 所以PE-2a+1PE1)40 IPFT IPF:I =PT+4a+1PE,1≥8a, 201+6 又6>a,所以e2=0+b >2,则e=2. 当且仅当新1阴， 即IPF,I=2a时取等号， 于是双曲线的离心率为2 所以IPFI=2a+IPF2I=4a, I山.A由题意，得点P(2,1)在双曲线的渐近线y=么x上， 因为IPFI-IPF2I=2a<2c, 名弓即0=2弘又2c=106=5.由2+8=，解得 IP所，+PF,=6a≥2=e=合≤3， 。-20,=5夜新求双面线方程为号号-1 所以ee(1,3]. 练案[31] 2.C设点P(o),则有圣-后=1，所以后-4=4易知双 曲线子-2=1的渐近线方程为2x±y=0,所以1PA1·1PB1 A由题意，双曲线号-卡=1(0>0，>0，可得其新订线方 -12+%l.12-_14编--4 程为y=±片，因为直线7=合+3与双曲线的一条渐近线 5 5 5 x平行，所以它与双曲线只有1个交点. y= a 13.B由题意得IPF2I=1FFI=2c,设直线PF,与圆(x-c)2 +少=2相切于点7，如图，则所17形，7,1c在2AD因为在双面线号-y=1巾，2或≤-2，者=a与 Rt△FTF2中，∠TF2F1=60°一PFI=23c,则由双曲线的 双曲线有两个交点，则a>2或a<-2,故只有A、D符合 定义可得1PF2I=1PFI-2a=25c-2a,所以2c=23c- 题意 2a,解得e==5+1 3.B设等轴双曲线的方程为2-y2=心2(>0)，与y=7x联 2 立，得子2-。2=0设A().B(),则+=0 42a=25a=3, 故选B. 4.D由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2- 14y=±5设P()>0,6>0,因为80.6)，(e, 3=1,得y=±3，所以1PF1=3.又A的坐标是(1,3)，故 0),所以直线BE:的方程为名+六=1，又S= △4PF的面积为分×3×(2-)=多 —281