3.2.2 双曲线的简单几何性质（2）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（2） 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能灵活运用渐近线方程与离心率的关系，求解双曲线的离心率或标准方程。 2. 能综合运用双曲线的定义、方程和几何性质，从实际问题情境中抽象出双曲线模型，建立坐 标系并求解，体会数学建模的基本过程 3. 理解双曲线的第二定义（统一定义），掌握焦半径公式的推导方法，并能运用焦半径公式 解决相关问题。； 4. 能综合运用双曲线的定义、余弦定理和面积公式解决焦点三角形问题. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： “代数与几何的统一” ——用方程的语言描述曲线的位置、形状和大小，用代数运算揭示几何规律，用几何直观解释代数表达。 单元大概念： 圆锥曲线是“代数与几何的统一体” ——定义给出统一的几何生成方式，方程给出统一的代数表达，性质给出统一的研究路径。椭圆、双曲线、抛物线共享“定义—方程—性质—应用”的研究结构。 单元大问题： 综合应用是知识结构化的高级形态 ——第二定义以离心率为纽带统一了焦点与准线，焦半径以方程为工具量化了距离，焦点三角形以余弦定理为桥梁连接了定义与度量，实际问题以坐标法为手段实现了数学与现实的对话。四者共同指向“用代数研究几何，用几何启发代数”的核心策略。 本课大问题： 如何将双曲线的几何性质应用于综合问题解决，并在应用中深化对性质的理解？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 数学本质： 本节是双曲线几何性质的深化与应用课。如果说第1课时的核心是“从方程读出性质”，那么本课时的核心则是“用性质解决问题”——将渐近线、离心率、焦半径、焦点三角形等性质作为工具，在综合问题中实现代数与几何的双向转化。 本节课以双曲线核心几何要素为载体，通过第二定义统摄距离模型、焦半径统摄弦长模型、焦点三角形统摄边角模型、渐近线统摄趋势模型、离心率统摄形态模型，实现双曲线几何性质的结构化、模型化、工具化，同时对接椭圆同类模型，形成二次曲线统一解题体系，落实解析几何“数形互化、模型迁移、结构通解”的单元本质。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 如何将双曲线的几何性质应用于综合问题解决，并在应用中深化对性质的理解？ 子问题 子问题 1 双曲线在实际问题中如何建模？如何利用定义和性质求解实际问题中的距离、位置？ 子问题 2 渐近线与离心率之间有什么内在联系？如何利用渐近线方程求解离心率或双曲线方程？ 子问题 3 双曲线的第二定义是什么？它与第一定义有何内在联系？ 如何用第二定义推导焦半径公式？（第二定义与焦半径） 子问题 4 焦点三角形有哪些核心性质？如何利用定义、余弦定理和面积公式求解焦点三角形 的面积和离心率？ 引言：上一节课我们研究了双曲线的哪些内容？ 双曲线的渐近线、离心率扮演了什么角色？ 【环节二】复习回顾，明确研究方向 追问1：双曲线的定义、标准方程、几何性质分别是什么？ 追问2：离心率 e= 刻画了双曲线的什么特征？当e 变化时，形状如何变化？ 追问3：双曲线上一点 P 到左焦点F1的距离∣PF1∣，能否用P 的坐标来表示？ 它与 离心率有什么关系？ P 例1：已知双曲线. （1）双曲线的焦点为 ； （2）双曲线的顶点坐标为 ； 实轴长 虚轴长 ； （3）渐近线方程是 离心率等于 ； （4）焦点到渐近线的距离等于 ； （5）过左顶点A1作x轴的垂线交渐近线于B，则= ； x y O F1 F2 • • 【环节二】复习回顾，明确研究方向 7 x y 总结：双曲线中的两个特殊三角形： x y 【环节二】复习回顾，明确研究方向 例2： 如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为 . 【环节三】渐近线与离心率的综合 9 变式2-1：已知双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为　　　　　.  【环节三】渐近线与离心率的综合 10 变式2-2：已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ). A. B. C. D. 【环节三】渐近线与离心率的综合 D 11 例3 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解： 教材P120 如图示建立直角坐标系xOy, 使A, B两点在x轴上, 并且点O与线段AB的中点重合， 设爆炸点为P(x,y)， x y o B A P • • • ∴爆炸点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线的右支. ∴炮弹爆炸点的轨迹方程为 【环节三】实际问题建模——从“哨所听声”说起 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如下图）．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 【环节三】实际问题建模——从“哨所听声”说起 追问： （1）问题中有哪些信息、数据？ （2）“最小半径”对应双曲线中哪个几何量？ （3）如何根据条件建立平面直角坐标系？ （4）建立坐标系之后，条件“上口半径为13m, 下口半径为25m,高为55m”能转化为 双曲线上哪些点的信息? 教材P124 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m). 教材P124 A O x y B′ B C′ C A′ 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Ozy，使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合. 这时,上、下口的直径BB’ ,CC'都平行于x轴，且|CC′| =13×2 , ǀBB′ǀ=25×2. 设双曲线方程为 【环节三】实际问题建模——从“哨所听声”说起 书本P125 例5 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 • F O x y l d M H 【环节三】第二定义模型建构——轨迹本质统一 平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是双曲线. 其中，定点F(c,0)是双曲线的焦点； 定直线 叫作双曲线的准线； 常数 是双曲线的离心率. • F O x y l d M H F′ • l′ 【环节三】第二定义模型建构——轨迹本质统一 圆锥曲线的统一定义： 【环节三】第二定义模型建构——轨迹本质统一 F1 F2 双曲线的焦半径公式 1.焦点在 x 轴上的焦半径公式： 由双曲线的第二定义，得 化简得 【环节三】焦半径模型建构——距离运算简化 双曲线的焦半径公式： F1 F2 2.焦点在 y 轴上的焦半径公式： 1.焦点在 x 轴上的焦半径公式： F1 F2 x y 【环节三】焦半径模型建构——距离运算简化 双曲线的通径： x y o . . A B F1 F2 过双曲线的一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，则叫作双曲线的通径，且. 【环节三】焦半径模型建构——距离运算简化 双曲线的通径是过焦点且与同一支相交时的最短弦. 焦点在轴或轴上，通径长都为 通径 【环节三】焦半径模型建构——距离运算简化 21 例7 如图, 点A, B的坐标分别是(-5, 0), (5, 0), 直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之积是 , 试求点M的轨迹方程, 并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状, 与3.1例3比较, 你有什么发现? 教材P121 A B M O x y • 解： 由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线. 【环节三】第二定义模型建构——轨迹本质统一 x y M O A • 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的椭圆. 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线. A B M O x y • B 【环节三】第二定义模型建构——轨迹本质统一 思考 通过比较能得到什么结论？ 结论： 【环节三】第三定义模型建构——轨迹本质统一 例8：已知双曲线，过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程； 解：(1)(法一)由题意知直线的斜率存在， 设直线为，联立双曲线方程， 得. 设，，则，解得. 所以直线的方程为，即. 经检验，该直线满足题意. 【环节三】第三定义模型建构——轨迹本质统一 解：(1)(法二)由题意知直线的斜率存在，设， 代入双曲线方程，得，， 两式相减得， 即 所以直线的斜率 所以直线的方程为，即. 经检验，该直线满足题意. 例8：已知双曲线，过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程； 【环节三】第三定义模型建构——轨迹本质统一 与双曲线有关的中点弦问题的解题思路： 与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而不求的思想．另外，需注意，过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验． 【环节三】第三定义模型建构——轨迹本质统一 【环节三】第三定义模型建构——轨迹本质统一 练习： ±1 【环节三】第三定义模型建构——轨迹本质统一 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 30 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 或 或 性质 双曲线 关于坐标轴和原点都对称 【环节四】：单元建构，结构统整 圆锥曲线的统一定义： 【环节四】：单元建构，结构统整 结论： 【环节四】：单元建构，结构统整 01 02 03 基础：教材第126页练习第1-3题， 第127页习题3.2第5、9、10题. 提升：教材第127页习题3.2第11、14题. 拓展：1、用思维导图梳理“椭圆”与“双曲线”在定义、标准方程、基本量关系、图形特征等方面的对比，形成结构化的知识网络。 2、查阅资料，了解“渐近线”这一术语的历史来源。 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 35 答案: 解析:当焦点在x轴上时,,即,所以e2=,解得e=; 当焦点在y轴上时,,即, 所以e2=,解得e=,即双曲线的离心率为. 【详解】设双曲线方程为 ，如图所示， ，，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ， ，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，故选D． 中点弦问题解决方法 方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解； 方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则l(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,b2)＝1，,\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,a2)－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,b2)＝1.)) 两式相减可得 eq \f(y1－y2,x1－x2) · eq \f(y1＋y2,x1＋x2) ＝ eq \f(b2,a2) ，即kAB· eq \f(y0,x0) ＝ eq \f(b2,a2) . 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得x2－2mx－m2－2＝0. 则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， 所以线段AB的中点坐标为(m，2m)． 又点(m，2m)在x2＋y2＝5上， 所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1. 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________． $