3.2.2 双曲线的简单几何性质第3课时课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.2.2 双曲线的简单几何性质第3课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.会求解有关弦长问题. 数学运算 2.能够解决弦中点问题. 数学运算 复习回顾 位置关系及判定： 联立： 列式： 消元： (b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. 2 1 1 0 探索新知 例1:过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|. 解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0). 由 解方程，得 因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为 ① 消去y,得 5x2+6x-27=0. 解法一 探索新知 例1:过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|. 将x1,x2的值分别代入①,得 所以 于是，A，B两点的坐标分别为 探索新知 例1:过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|. 解法二:设直线AB的方程为 设A,B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则 与双曲线方程联立消去y,得 5x2+6x-27=0. 由两点间的距离公式得 探索新知 （1）如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长， （2）有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理. 求弦长问题的方法: 探索新知 探索新知 探索新知 例2：已知双曲线，过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程； 解：(法一)由题意知直线的斜率存在，设直线为，联立双曲线方程， 得. 设，，则，解得. 所以直线的方程为，即. 经检验，该直线满足题意. 探索新知 解：(法二)由题意知直线的斜率存在，设， 代入双曲线方程，得，， 两式相减得，即 所以直线的斜率 所以直线的方程为，即. 经检验，该直线满足题意. 例2：已知双曲线，过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程； “点差法” 探索新知 探索新知 拓展：双曲线中的斜率乘积定值问题 探索新知 跟踪练习： 探索新知 例3： a b c 探索新知 F1 F2 2.焦点在 y 轴上的焦半径公式： F1 F2 x y 1.焦点在 x 轴上的焦半径公式： 探索新知 例4： 探索新知 x F1 F2 y O P(x,y) 探索新知  总结 探索新知 跟踪练习3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，且，则的面积等于__________. 解：在中，，，， 如图，过作于于，则为的中点，且， ∴，∴. 又∵为双曲线的右支上一点，∴∴ ∴由条件知，. 课堂小结 1. 通过这节课，你学到了什么知识？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 方法归纳：定义法，数形结合. 3. 常见误区： 直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系.代数计算中的运算失误. 课堂检测 C 课堂检测 解：由题意，，， 在中，由余弦定理得 ， 即，解得， 所以. 2、若点是双曲线上一点，且，则的面积为______ 课堂检测 解：设∵为的中点， ∴又两点在椭圆上， 则，两式相减得 于是， 所以，即 (中点公式) 代点 (斜率公式) 作差 3、求证：若双曲线不平行于对称轴的弦的中点为则为定值. 课后作业 课本第125页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 中点弦问题解决方法 方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解； 方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则l(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,b2)＝1，,\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,a2)－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,b2)＝1.)) 两式相减可得 eq \f(y1－y2,x1－x2) · eq \f(y1＋y2,x1＋x2) ＝ eq \f(b2,a2) ，即kAB· eq \f(y0,x0) ＝ eq \f(b2,a2) . 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的 中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________． 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得x2－2mx－m2－2＝0. 则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， 所以线段AB的中点坐标为(m，2m)． 又点(m，2m)在x2＋y2＝5上， 所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1. 若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解：将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(100－100,2×32)＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝90°， 故 ＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16. 拓展：焦点三角形的面积 如图，P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形． 设∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得， ||PF1|－|PF2||＝2a⇔|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2②. 由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2， 则|PF1|·|PF2|＝eq \f(2b2,1－cos θ). 又S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin θ，从而S△PF1F2＝b2·eq \f(sin θ,1－cos θ)＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)). 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 1.①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 ＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积． 2.利用公式 ＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． 3.若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则面积S＝．这一结论适用于选择或填空题． 1.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为( ) A. B. C. D. 解析：设，，由双曲线的定义可知. 又，，，可得，，即，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为，则两条渐近线的夹角为.故选C. $