陕西西安市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

西安第一中学2028届上学期第一次质量检测高二数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上。 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦千 净后，再选涂其他答案。 3,答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上。 4考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷。 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.设m,n是两条不同的直线，%，B,y是三个不同的平面，下面正确的是() A.若a1B,B1Y,则a/W B.若a⊥B,mc,ncB,则m⊥n C.若a/B,yna=m,ynB=n,则m/m D.若m/a,nca,则m/m 2.已知空间向量AB=(6,8,6),AC=(-3,a,-3),若A,B,C三点共线，则a=（) A.-4 B.4 C.土4 D.-2 3.已知a=(2,-1,-3),=(1,-2,-1),若a1(a-b,则实数的值为() A.-2 B.片 C. D.2 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D1,F1分别是棱A1B1,A1C1的中点，且BC=AC=CC1.若∠BCA=90°，则 BD1与F1A所成角的余弦值是() A.、3@ 10 B.、s 5 C.v30 10 D.Vis 5.己知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=4,AA1=3,B1D=V31,∠A1AB=∠A1AD=60°， 则∠ABC=() A.60° B.90° C.120° D.150° 6.已知平行直线L1,2分别过点A(2,5)和B(1,2),则这两条直线之间的距离的最大值为（) A.3 B.4 C.23 D.V10 7.已知直线2x-y+1=0与直线x+y=0垂直，则实数a的值为() A.-2 B.- C. D.2 8.己知点P(-1,2),Q(2,1),若直线l:mx-y+2m=0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围为 () A.(-∞，4) B.(任2 c.（) D.（-m,-)u(-+∞) 试卷第1页（共4页） 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 9.已知圆0：x2+y2=25,过点P作两条互相垂直的直线AB和CD分别交圆O于A,B和C,D点，又过A,B分 别作圆O的切线交于M,则下列说法正确的是() A.若P为(4,0)，且|AB|∈Z,则这样的弦AB共有5条 B.若P为(1,2)，则动点M在直线x+2y-25=0上 C.若P为(1,2)，则四边形ACBD面积的最大值为45 D.若P为(5，V⑤，则凸四边形ABDC面积的最大值为10V6 10.已知方向向量为(a,2a)(a≠0)的直线与圆x2+y2=5相切，则直线的方程为() A.2x-y+5=0 B.2x-y+3=0 C.2x-y-5=0 D.2x-y-3=0 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,E,F分别是AD,CC1的中点，下列说法正确的是() A.直线EF//平面ABC1D1 B.直线EF与CD1所成角的正弦值为 C.过B、B、F三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D.过E、F、D、D1四点的球的表面积为m 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则棱锥C1-A1QC的体积为 当C1Q1A1C时，B1Q长度为 D B 13.已知A,B,C三点不共线，P为平面ABC外一点，且Pi-PA+PB+mP元若H,A,B,C四点 共面，则m= 14.已知圆0：2+y2=1,点P(:,0),其中t>1.过点P作圆0的两条切线，切点分别为A,B.若SAP4a= 4 则t=」 四、解答题（本题共5小题，15题10分，16-17题13分，18-19题14分，共64分） 15.在平面直角坐标系x0y中，设二次函数f(x)=x2+mx+n的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点. (1)求CA·CB的最小值： 试卷第2页（共4页） (2)问经过A,B,C三点的圆是否经过定点（与m,n无关）？请证明你的结论 16.已知直线l:3x-4y-5=0,圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,点B(1,0) (1)求过点B且与x轴，圆C都相切的圆D的方程； (2)点P为直线上的动点，点E,F为圆C上的两点，且直线EF将圆C分成了面积相等的两部分，求P正·PF- B的最小值 17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O,PA1平面ABCD,E为PD 的中点. E A C (1)证明：PB/平面AEC: (2)设AP=1,AD=V3,AB=求PB到平面AEC的距离. 18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF1平面ABCD,EF/AB,其中AD=2,AB=AF= 2EF=1,P是棱DF的中点. (1)求证：BF/平面APC: (2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值， 19.己知菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=票，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△ABE(点B,位于 平面ABCD上方)，连接B1C和B1D. B (1)求证：AE1B1C: (②)当B1D=2V2时，在线段AD上是否存在点P,使得直线CP与平面B1CD所成夹角的正弦值为号？若存在， 试卷第3页（共4页） 求出P点位置；若不存在，请说明理由. 试卷第4页（共4页） 西安第一中学高二数学月考9月参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C B D D C BCD AC 11 ABD 12. 1-6 14.2 15.（1)因为二次函数f(x)=x2+mx+n的图象与x轴交于两点，所以m2-4n>0,得4n<m2, 设A(x1,0),B(x2,0),则有x1+x2=-m,x1X2=n, 二次函数f(x)=x2+mx+n与y轴交于点C,得C(0,n), 所以CA=(x1,-m),CB=(x2,-n), 所以CA.CB=x1x2+n2=n+n2. 设f(n)=n2+n, 由二次函数的性质知，当n=-时，f()取得最小值-， 即CA·C历的最小值为- (2)圆M恒过点(0,1)，证明如下： 方法一： 设经过A,B,C三点的圆为圆M, 易知AB的垂直平分线为x=中2=-， 2 AC的垂直平分线为)-(x-) x=+x2 联立 解 解得y=子，即() 图M的半径r=1CM-+9 4 所以圆M的方程为(x+习}+6-学}-受+， 4 即x(x+m)+y-n)y-1)=0 所以当x=0,y=1,等式恒成立， 故圆M恒过点(0,1). 方法二： 设经过A,B,C三点的圆M为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (x+Dx1+F=0, x3+Dx2+F=0, n2+En+F=0, 又因为x1+x2=-m,X1x2=n, 解之得：D=m,E=-n-1,F=n, 故所求圆的方程为x2+y2+mx-(n+1)y+n=0, 答案第1页（共5页） 即x(x+m)+y-n)(y-1)=0 所以当x=0,y=1,等式恒成立， 故圆M恒过点(0,1). 16.(1)设圆D的方程为(x-a)2+y-b)2=r2r>0): 因为圆D过点B(1,0),所以(1-a)2+b2=r2①， 因为圆D与x轴相切，所以b=②， 方程x2+y2-2x-4y-4=0可化为(x-1)2+0y-2)2=32, 所以圆C的圆心为C(1,2),半径为3， 当圆D与圆C内切时，所以(1-a)2+(2-b)2=(3-)2③ 023可得，a=1,b=,r=3或a=1,b=-r=克 当圆D与圆C外切时，所以(1-a)2+(2-b)2=(3+)④， 由①②④可得，方程组无解， 所以圆D的方程为x-1)2+(-)》=或x-12+(+)》=片 (2)因为直线EF将圆C分成了面积相等的两部分， 所以直线EF过圆心C,又点E,F为圆C上的两点， 所以点C为线段EF的中点，由题可知CE=3, 所以PE.PF=(PC+cE·P元+c=(PC+c·P元-cE=P-9, 所以P呢.PF-B=PC-B-9, 所以当PC最小，B最大时，P正·PF-BE的值最小， y D 又点C(1,2)到直线3x-4y-5=0的距离为3x1-x2-51=2, 32+(-42 所以PC≥2，又由圆的性质可得BE≤BC+3=5, 所以P元.PF-|B≥4-25-9=-30， 所以P正.PF-B的最小值为-30 17.(1)证明：连接E0,因为四边形ABCD为矩形， 所以点O为BD的中点，又点E为PD的中点，所以EO/IPB, 因为EOC平面AEC,PB￠平面AEC,所以PB/平面AEC: 答案第2页（共5页） D B (2)法一：由题意，可以A点为原点建立如图所示空间直角坐标系A-xyz, 则4o0,0).c3,0),E(0,) 则Ac=(（3,0)A正=(o,) 设平面AEC的法向量为元=(x,y,z), 元：4AC=x+V3=0 则 元正=y+2=0 ,可取元=(2，-V3,3) 由(1)知PB/平面AEC, ∴PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离， 又A正-（很0,0），则A在法向量元上的投影长度为-子 故PB到平面ABC的距离为 P E 法二：由(1)知PB/平面AEC, ·PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离， 在△ABc中，AC=同'+③-，A6=- 2 2 二1 由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,故PA⊥CD, 由底面ABCD为矩形，则AD⊥CD,又AD∩PA=A,AD、PAC平面PAD, 故CDI平面PAD,又PDC平面PAD,故CD⊥PD, 则Ec=+cD2-+目-要 ∴.coS∠EAC= 馏+-慢 =2 2×9×1 7 则sin∠EAC-27, 7 放S△ABC=AB~ACsin-EAC= 答案第3页（共5页） 由va-ac=Vg-Aac,Vg-Aac=SAAPCPA=-×xV5xxx1=9 81 设B到平面AEC的距离为h, Va-ABc=9=吉x停h=h=,解得h= 6 故PB到平面ABC的距离为 B 18.(1)连接BD交AC于点O,因为P,O分别为DF,DB的中点，所以BF/PO, 又POC平面APC,BF￠平面APC,则BFII平面APC. D B -- (2)以A为原点，AB,AD,AF所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， E D 则A(00,0),D(0,2,0),C(1,20),F(0,0,1),P(01,) 所以AP=(（0,1,),AC=(1,20),DF=(0,-2,1) 设平面APC的法向量为7=(x,y,Z), 由0吧0得多0令x=2,腕=2,2， 所以o(F刊盟答 则直线DF与平面APC夹角的正弦值为5， 15 19.(1)在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=5,故LABE=，E为BC中点，BE=1, 由余弦定理得：AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos=4+1-2×2×1×=3,故AE2+BE2=AB2, 即AE⊥BC,得AE1BE,AE⊥EC,翻折后，AE⊥B1E仍成立， 答案第4页（共5页） 又B1EnEC=E,B1E,ECC平面B1EC,故AE⊥平面B1EC, 又B1Cc平面B1EC,因此AE1B1C. (2)存在，P为AD的中点，过程如下： 以E为原点，AE为x轴，EC为y轴，Ez为z轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标：E(0,0,0),A(-V3,0,0),C(0,1,0),D(-V5,2,0), 设B1(0,y,z),z>0,由B1E=1得y2+z2=1, 由B1D=2W2,得IB1DI2=(-V3)2+(2-y)2+z2=8, 代入y2+z2=1,解得y=0,z=1,故B1(0,0,1), P在线段AD上，设AP=1AD(0≤1≤1)，得P(-V3,2入，0)，则CP=(-V3,21-1,0), 平面B1CD中，CB1=(0,-1,1),CD=(-V3,1,0),设平面B1CD的一个法向量为元=(xy,Z1), 由cg=0得+=0n {元c而=0{-Vx1+y=0取x=1得元=(1VV同，刷=V7, 设直线cP与平面8，cD夹角为0，则sn0-需高-号 代入计第：吕化简得2双2-5+2=0，解得1-以=2合去，超出袍国D 因此存在点P,P为AD的中点满足条件。 B B 答案第5页（共5页）