精品解析：陕西西安交通大学附属中学2026-2027学年第一学期高二第一次学情评估数学试题

2026～2027学年第一学期 高二年级第一次学情评估数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，根据椭圆上一点P到点F1的距离等于6，可求点P到另一个焦点F2的距离. 【详解】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a， ∵椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6 ∴ ∴ 故选：B 2. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 5. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 7. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：.  由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为：  ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：由椭圆方程求得，，即可求解离心率；B：根据垂直条件得向量数量积为0，与椭圆方程联立，求得得纵坐标在椭圆取值区间内，即可判断；C：结合椭圆定义计算得到，结合椭圆焦点弦的最大值为长轴长，即可判断；D：焦点三角形以为底，高为点横坐标的绝对值，根据椭圆点的坐标范围可算出面积最值. 【详解】由椭圆，可知焦点在轴上，，，， 焦点，. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：设，则，， 若，则，又在椭圆上， 即，联立解得，满足， 故存在满足条件的点，B正确； 选项C：根据椭圆定义，，， 两式相加得，即， 由，可得， 同时过焦点的弦的最大值为，所以不可能等于12，C错误； 选项D：的底，高为点横坐标的绝对值，最大值为， 故面积最大值为，D正确. 11. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，点E，F分别为边AB，CD上的点，且.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面平面EBCF，点是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到平面EBCF的最大距离为 D. 当点到平面EBCF的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理即可判断A，建立平面直角坐标系得到点的轨迹方程即可判断B，由锥体的体积公式即可判断C，列出方程求得外接球的半径即可判断D 【详解】 如图，连接CE，EM.因为平面平面EBCF，平面平面平面AEFD，又，所以平面EBCF. 所以CE为CA在平面EBCF内的射影.易得为等边三角形，显然CE不垂直于BF，所以AC不可能垂直于，故A错误. 易知，所以平面AEFD，所以为直线MB与平面AEFD所成的角.同理为直线MC与平面AEFD所成的角.所以，所以，所以.因为，所以. 在平面AEFD内，以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系，则，设，则有，化简得，即点在平面AEFD内的轨迹方程为，所以点在平面AEFD内的轨迹为以为圆心， 2为半径的圆.易得点在四边形AEFD内的轨迹为该圆的一段弧，弧所对的圆心角为，所以弧长为，B正确. 要使三棱锥的体积最大，只要点的纵坐标的绝对值最大即可.令0， 则，又，所以，此时到平面EBCF的最大距离为， C正确. 三棱锥外接球的球心在过的外接圆圆心且垂直于平面BCF的直线上. 在三棱锥中，设点为等边外接圆的圆心，设三棱锥外接球的球心为，半径为，设，则有， 解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积. 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了立体几何中的垂直证明以及球的外接问题，难度较大，解答本题的关键在于求得外接球的半径. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 平行线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 13. 已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________. 【答案】 【解析】 【详解】 如图连接，，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设正方体的边长为2，则，在三角形中. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：， 即：a|PF1|=|cPF2| 设点（x0，y0）由焦点半径公式， 得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0） 解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)． 考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围． 点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）将圆心坐标代入直线方程后可求圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离为半径可求切线方程，注意斜率不存在的情形. 【小问1详解】 圆的圆心为， 因为圆的圆心在直线上，所以，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 17. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值； （2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可知：， 由，故， ∴ ∴， ∴，又， 所以； 【小问2详解】 根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得： ∵，∴， 所以 18. 如图，正方体棱长为2，为的中点． （1）证明：平面． （2）求直线到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）在正方体中， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）直线到平面的距离为. （3）平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）小问由平行四边形可得，，证明即可； （2）小问建立空间直角坐标系，由平面，从而将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，代入公式计算即可； （3）小问分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 在正方体中，以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，，， 则，， ， 所以 所以直线到平面的距离为. 【小问3详解】 在正方体中，因为平面， 所以平面的一个法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为， ，， 设平面与平面的夹角为， 则， 由图可知夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【小问1详解】 已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. 【小问2详解】 解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i） 由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率， 设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期 高二年级第一次学情评估数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 2. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 5. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为 11. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，点E，F分别为边AB，CD上的点，且.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面平面EBCF，点是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到平面EBCF的最大距离为 D. 当点到平面EBCF的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 平行线与之间的距离为________． 13. 已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 16. 已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 17. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 18. 如图，正方体棱长为2，为的中点． （1）证明：平面． （2）求直线到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $