精品解析：陕西省榆林市第十中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

2025级高二上学期第一次质量检测数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，， 所以. 故选：A. 2. 已知圆方程的圆心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标； 【详解】解：因为，即， 所以圆心坐标为； 故选：C 3. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 4. 已知三点，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形. 5. 已知为两条直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】若，则或与是异面直线，所以A错误； 若，则，所以B错误； 若，则存在直线，使， 又，所以，所以，所以C正确； 若，，则当且仅当与的交线垂直时，，所以D错误. 6. 圆关于直线对称后的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 7. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 . 反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 8. 已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】圆的圆心为，，因为为圆的直径，所以为的中点，故. ，， 故 ， 点在直线上，故的最小值为圆心到该直线的距离， 由点到直线的距离公式得. 因此的最小值为，代入得的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直线经过圆的圆心，且斜率为，判断得到答案. 【详解】直线经过圆的圆心，且斜率为. 故选项满足题意. 故选：. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生对于图像的识别能力. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的方法求解夹角余弦值. 对于B，要判断直线与平面平行，可根据直线与平面内一条直线平行且直线不在平面内来判断. 对于C，求点到直线的距离，可利用向量的投影等知识求解即可. 对于D，求向量在另一个向量上的投影向量，根据投影向量的定义进行计算. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 且，分别为棱，的中点，可知，， 可得，，，， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：，，设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以，，因为，所以平面，B选项正确； 对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：在上的投影向量为，D错误. 故选：BC. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有两个交点 C. 若不经过第三象限，则 D. 圆与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】A按参数分离求出直线恒过的定点；B写出圆心到直线的距离后取举反例否定；C把直线化为"过定点斜率"的形式，讨论斜率与第三象限的关系；D把第二个圆化为标准方程，由圆心距与半径和、差的大小关系判断两圆位置，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为. 对于A，把直线的方程按整理得， 令且，解得、，所以直线恒过定点，A正确. 对于B，圆心到直线的距离为. 取，得，此时直线与圆没有交点，B错误. 对于C，由得. 若，则时随的减小而增大，其最小值在处为， 要使直线不进入第三象限（即时），需，解得； 若，则斜率，当时，直线必经过第三象限. 所以不经过第三象限等价于，C正确. 对于D，圆, 即，其圆心为、半径为. 两圆圆心距为，而两圆半径都是， 由知两圆相交，恰有两条公切线，D正确. 所以正确的是A、C、D. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积． 【详解】由题意易知. 13. 过点作圆的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知点在圆上，求出直线的斜率，可得出所求切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则点在圆上，且圆心为， 直线的斜率为，故所求切线的斜率为， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 14. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可计算. 【详解】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题知， 因为边上的高与垂直，两垂直直线斜率乘积为，因此高所在直线的斜率为， 又该高过点，由点斜式方程可得 ，即. 【小问2详解】 由于直线与平行，因此直线的斜率， 又直线过点，由点斜式方程可得 ，即. 16. 已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动． （1）求线段的中点M的轨迹； （2）过点B的直线l与圆C有两个交点E、D，当时求直线l的斜率． 【答案】（1）点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，由中点公式得，化为：，代入的方程即可得出． （2）设l的斜率为，则l的方程为：，即，因为，为等腰直角三角形，圆心到l的距离为，由点到直线的距离公式得：，解出即可得出． 【小问1详解】 设，，，由中点公式得，化为：， 因为在圆上，所以，即， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆． 【小问2详解】 设直线l的斜率为，则l的方程为：，即， 因为，为等腰直角三角形，圆心到l的距离为， 由点到直线的距离公式得：， ，解得． 17. 已知直线过点，且_____． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆相切； ②其倾斜角的余弦值为； ③直线的一个方向向量为． （1）求直线的一般式方程； （2）若直线与曲线相交于两点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选条件求出直线的斜率，结合点的坐标由点斜式写方程并转化为一般式即可. （2）将曲线化为圆的标准方程，用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长. 【小问1详解】  若选①：将代入圆方程得，故点在圆上. 圆的圆心为，圆心与连线的斜率为. 因为直线与圆相切，切线与半径垂直，故直线的斜率为. 由点斜式得，整理为一般式得. 若选②：设直线倾斜角为，由， 得，故斜率. 由点斜式得，整理为一般式得. 若选③：直线的方向向量为，故斜率. 由点斜式得，整理为一般式得. 【小问2详解】 将曲线配方得，可知曲线是圆心为、半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以曲线与直线相交. 由垂径定理得弦长. 18. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点， 所以， 又因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面， （2）先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，易知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得，． 由，得，所以，进而． 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 设二面角S-AC-P的平面角为θ，则， 故二面角的余弦值为． 【点睛】 19. 某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向20km处，B岛在O岛的正东方向10km处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示 （1）试写出A，B的坐标，并求A，B两岛之间的距离； （2）已知在经过O，A，B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船M在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1），A，B两岛之间的距离为. （2）该船有触礁的危险 【解析】 【分析】由题意求出与的坐标，再由两点间的距离公式求解； （2）设出圆的一般方程，代入点的坐标求得的值，可得圆的方程，求出圆心坐标 与半径，求出该船航线所在的直线方程，再由圆心到直线的距离与半径的关系比较大小得结 论. 【小问1详解】 在的北偏东方向，在的正东方向， ， 由两点间的距离公式知， 【小问2详解】 设过三点的圆的方程为， 将 代入上式，得 ，解得 圆的方程为. 则该圆的圆心为，半径. 设船期初所在的点为，则 ， 又该船航线所在直线的斜率为1， 该船航线所在的直线方程为 ， 圆心到此直线的距离 故不改变方向，该船有触礁的危险. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期第一次质量检测数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. 已知圆方程的圆心为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知三点，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知为两条直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 圆关于直线对称后的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有两个交点 C. 若不经过第三象限，则 D. 圆与圆恰有两条公切线 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是_____． 13. 过点作圆的切线方程是__________． 14. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 16. 已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动． （1）求线段的中点M的轨迹； （2）过点B的直线l与圆C有两个交点E、D，当时求直线l的斜率． 17. 已知直线过点，且_____． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆相切； ②其倾斜角的余弦值为； ③直线的一个方向向量为． （1）求直线的一般式方程； （2）若直线与曲线相交于两点，求弦长． 18. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 19. 某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向20km处，B岛在O岛的正东方向10km处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示 （1）试写出A，B的坐标，并求A，B两岛之间的距离； （2）已知在经过O，A，B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船M在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $