专题13反比例函数的图像和性质综合应用（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题13 反比例函数的图像和性质综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 判断反比例函数的增减性、图象所在象限 题型02 已知双曲线分布象限，求参数范围 题型03 已知反比例函数的增减性求参数范围 题型04 求反比例函数的解析式 题型05 已知反比例函数的图象判断解析式 题型06 比较反比例函数值或自变量的大小 题型07 已知比例系数求特殊图形的面积 题型08 根据面积求比例系数 题型09 由反比例函数图象的对称性求解 题型10 一次函数与反比例函数交点问题 题型11 一次函数与反比例函数的实际应用 题型12 反比例函数与二次函数图象综合判断 题型13 一次函数与反比例函数图象综合判断 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 对于反比例函数 (k为常数,k≠0) 当k>0时：象限：两支曲线分别位于第一、第三象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时：象限：两支曲线分别位于第二、第四象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号 【针对训练】 1. 如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 2. 点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标 【针对训练】 3．双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 4．若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 知识点三 反比例函数k的几何意义 ①反比例函数 (k≠0)双曲线上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于。 ②反比例函数 (k≠0)双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为。 【针对训练】 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 7．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 【针对训练】 8. 如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 9. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4 典例精析 题型一 判断反比例函数的增减性、图象所在象限 【典例】（多选）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 题型二 已知双曲线分布象限，求参数范围 【典例】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 已知反比例函数的增减性求参数范围 【典例】已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型四 求反比例函数的解析式 【典例】已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 题型五 已知反比例函数的图象判断解析式 【典例】如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 题型六 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型七 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例】如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 题型八 根据面积求比例系数 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 题型九 由反比例函数图象的对称性求解 【典例】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十 一次函数与反比例函数交点问题 【典例】如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点的坐标为．  (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 题型十一 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（     ） A． B． C． D． 题型十二 反比例函数与二次函数图象综合判断 【典例】已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 1．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 2．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D．6 4．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 6．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象经过点，则________． 8．若点、在同一个反比例函数的图像上，则的值为______． 9．如图，已知反比例函数（为常数，）的图象经过点，过点作轴，垂足为．若的面积为1，则__________． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 11．如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 12．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 13．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 14．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 15．如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 16．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 17．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 18．定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与y轴，x轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数关系式； (2)当时，请直接写出x的取值范围； (3)若，根据图象请求出的取值范围． 20．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 21．如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B．6 C．12 D． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 23．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 24．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 25．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 反比例函数的图像和性质综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 判断反比例函数的增减性、图象所在象限 题型02 已知双曲线分布象限，求参数范围 题型03 已知反比例函数的增减性求参数范围 题型04 求反比例函数的解析式 题型05 已知反比例函数的图象判断解析式 题型06 比较反比例函数值或自变量的大小 题型07 已知比例系数求特殊图形的面积 题型08 根据面积求比例系数 题型09 由反比例函数图象的对称性求解 题型10 一次函数与反比例函数交点问题 题型11 一次函数与反比例函数的实际应用 题型12 反比例函数与二次函数图象综合判断 题型13 一次函数与反比例函数图象综合判断 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 对于反比例函数 (k为常数,k≠0) 当k>0时：象限：两支曲线分别位于第一、第三象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时：象限：两支曲线分别位于第二、第四象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号 【针对训练】 1. 如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：∵当时，， ∴函数的图象比函数离横轴远，且都不与横轴相交， ∴坐标系的原点可能是点， 故选：D． 2. 点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标 【针对训练】 3．双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 【答案】 【详解】解：双曲线与直线 相交于两点，由于正比例函数图像过原点，且双曲线关于原点中心对称，因此交点A和B关于原点对称， 已知B点坐标为，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均互为相反数，故A点坐标为． 故答案为：． 4若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：解：将代入得，则点A的坐标为， ∵点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 知识点三 反比例函数k的几何意义 ①反比例函数 (k≠0)双曲线上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于。 ②反比例函数 (k≠0)双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为。 【针对训练】 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 7．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 【针对训练】 8. 如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得， 解得． 故k的值为． 故选：D． 9. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴图像在的上方， ∴图像在交点A的左侧和y轴于点B之间， 即或． 故选：C． 典例精析 题型一 判断反比例函数的增减性、图象所在象限 【典例】（多选）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】BD 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：选项A，将代入函数得，图象不经过点，错误； 选项B，，反比例函数的图象位于第一、三象限，正确； 选项C，，当时，随的增大而减小，错误； 选项D，反比例函数的图象是双曲线，关于原点中心对称，正确． 题型二 已知双曲线分布象限，求参数范围 【典例】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数中，当系数时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得． 题型三 已知反比例函数的增减性求参数范围 【典例】已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 题型四 求反比例函数的解析式 【典例】已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 题型五 已知反比例函数的图象判断解析式 【典例】如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 题型六 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将三个点的坐标分别代入反比例函数，求出、、的值，再比较大小即可，也可以根据反比例函数的性质进行求解． 【详解】方法一：把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ， ， 方法二：，， 当时，， , 和的纵坐标均大于，， 时，函数单调递减，则有值越大，值越小， , ， 综上：． 题型七 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例】如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 题型八 根据面积求比例系数 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 题型九 由反比例函数图象的对称性求解 【典例】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 题型十 一次函数与反比例函数交点问题 【典例】如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点的坐标为．  (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）联立，计算即可得出结果； （3） 函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点，  代入得： ，，  解得，，  反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为； （2）解：联立，  解得：或，  ∵，  点的坐标为； （3）解：由函数图象可得：时的取值范围或． 题型十一 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 题型十二 反比例函数与二次函数图象综合判断 【典例】已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 1．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】B 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴该函数的图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交， 故A、C正确，B错误； 当时，图象在第二象限，，故D正确． 2．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的解析式求出和的值，再比较即可． 【详解】解：把代入，得；把代入，得， ∵， ∴． 3．反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标与函数解析式的关系即可． 【详解】解：将点代入解析式得，， ． 4．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，解得． 5．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 6．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 由题意得， 同理 故． 7．反比例函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ， 解得． 8．若点、在同一个反比例函数的图像上，则的值为______． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入，即可求得答案． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入得： ， ， ， 代入上式得： ． 9．如图，已知反比例函数（为常数，）的图象经过点，过点作轴，垂足为．若的面积为1，则__________． 【答案】2 【分析】设，利用的面积为1求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点， 设， ∵轴，的面积为1， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 11．如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设点在上，故；直线过原点，设，代入得，解得，利用勾股定理求出，进而即可求出，代入计算得． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在双曲线上， ∴， 直线过坐标原点， 直线是正比例函数， 设其解析式为， 点A在直线上， ∴，即， 点B也在直线上， ∴． 将代入上式，得， ∴， ∴点B的横、纵坐标与点A的横、纵坐标对应成比例， ∴设点B的坐标为， 点B在上， ∴， 将代入上式得，， ∴， 同理，设点C的坐标为，则点D的坐标为，且， ∵，， ∴ ， 将，代入得，， ∴． 12．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解． 【详解】解：A、观察反比例函数图象得：， 此时一次函数的图象过第二，三，四象限，二者一致，故本选项符合题意； B、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第二，三，四象限，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意； D、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意； 13．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 14．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 15．如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】设，；根据轴可推出点B的纵坐标为，横坐标为，再由求解即可． 【详解】解：设， ∵E为的中点， ∴； ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ ． 16．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 17．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 18．定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 【答案】或 【分析】根据可知的取值，进而可知的坐标，进而根据新定义构造方程即可求解． 【详解】解：∵，，且在第一象限， ∴点且， 将点代入反比例函数得：， 解得：或（舍去）， 则点 设点， 又∵点是点的“相伴点”， ∴满足， 解得：或， 经检验，或是方程的解， ∴点的坐标是或． 19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与y轴，x轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数关系式； (2)当时，请直接写出x的取值范围； (3)若，根据图象请求出的取值范围． 【答案】(1)一次函数关系式为，反比例函数关系式为 (2)或 (3) 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）根据图象即可求得； （3）分别求出、时的值，进而结合函数图象判断即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知：时的取值范围是或； （3）解：当时，， 当时，， 根据函数图象可知，若，则． 20．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 21．如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，根据折叠的性质得，，易证；而，得到，即可得的比值；故可得出，而，从而求出，然后在中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程，即可求出k的值． 【详解】解：过点E作于点M， ∵将沿翻折，C点恰好落在上的点D处， ， ，而， ， ， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴，而， ， 在中，，即， 解得：． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 23．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 【答案】6 【分析】由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可． 【详解】解：∵点A坐标为，点， ∴，， 如图：过D作y轴，则 ，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形的中心， ∴点M的坐标为， ∵点均在反比例函数图象的同一分支上， ∴故横、纵坐标的乘积相等， ∴， 解得：，， ∵在轴正半轴，，舍去， ． 24．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，，，， ， 解得． 25．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $