2026-2027学年人教版九年级数学上册期中考试模拟试卷

2026-2027学年人教版九年级数学上册期中考试模拟试卷 （满分：150 分　　考试时间：120 分钟） 注意事项： 1．本试卷共三大题、24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前，请先将姓名、班级、考号填写在试卷（答题卡）的相应位置． 3．选择题请用 2B 铅笔填涂，非选择题请用 0.5 毫米黑色签字笔作答；作图题请先用铅笔画出，确认后再用黑色签字笔描清． 4．请在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；保持卷面整洁，不要折叠、不要破损． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2 + bx + c = 0　　B．x2 + 2x = x2 − 1　　C．x2 + y = 0　　D．(x − 1)(x + 2) = 3 2．抛物线 y = 2(x − 1)2 + 3 的顶点坐标是（　　） A．(1, 3)　　B．(−1, 3)　　C．(1, −3)　　D．(3, 1) 3．一元二次方程 x2 − 4x + 1 = 0 的根的情况是（　　） A．没有实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．只有一个实数根　　D．有两个不相等的实数根 4．若关于 x 的一元二次方程 x2 − 2x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（　　） A．−1　　B．1　　C．0　　D．2 5．点 A(2, −3) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(2, 3)　　B．(−2, −3)　　C．(−2, 3)　　D．(3, −2) 6．对于二次函数 y = −x2 + 2x + 3，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 x = −1 C．图象与 x 轴没有交点 D．当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小 7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．平行四边形　　B．等边三角形　　C．圆　　D．等腰梯形 8．抛物线 y = x2 − 2x − 3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则 △ABC 的面积为（　　） A．6　　B．3　　C．8　　D．12 9．某商品原价为 100 元，经过连续两次降价后售价为 81 元．设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为（　　） A．100(1 − x)2 = 81 B．100(1 − 2x) = 81 C．100(1 + x)2 = 81 D．100 × 81(1 − x)2 = 100 10．如图，抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于 (−1, 0)、(3, 0) 两点，对称轴为直线 x = 1．下列结论：①abc > 0；②b2 − 4ac > 0；③a + b + c < 0；④4a + 2b + c > 0．其中正确结论的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．方程 x2 = 3x 的根为 ________． 12．若 x1、x2 是一元二次方程 x2 − 3x − 2 = 0 的两个根，则 x1 + x2 − x1x2 = ________． 13．抛物线 y = x2 − 2x − 3 与 x 轴的交点坐标为 ________． 14．将抛物线 y = x2 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为 ________． 15．如图，把 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 35° 得到 △A′B′C，A′B′ 交 AC 于点 D，且 A′B′ ⊥ AC，垂足为 D，则 ∠A 的度数为 ________． 16．二次函数 y = x2 − 4x + 5 的最小值是 ________． 17．若关于 x 的方程 (m − 1)x2 − 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________． 18．如图，正方形 OABC 的边长为 2，点 O 为坐标原点，OA 在 x 轴的正半轴上，将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45° 得到正方形 OA′B′C′，则点 B 的对应点 B′ 的坐标为 ________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．解方程： (1) x2 − 6x + 5 = 0； (2) 2x2 − 4x − 1 = 0． 18．已知关于 x 的一元二次方程 x2 − 4x + m = 0 有两个实数根 x1、x2． (1) 求 m 的取值范围； (2) 若 x12 + x22 = 10，求 m 的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 3)、B(−4, 1)、C(−2, 0)． (1) 画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A1B1C1，并直接写出点 A1 的坐标； (2) 画出 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90° 后得到的 △A2B2C2，并直接写出点 A2 的坐标． 20．已知二次函数 y = x2 − 2x − 3． (1) 用配方法将该函数化为 y = a(x − h)2 + k 的形式，并写出图象的顶点坐标和对称轴； (2) 在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表、描点、连线）； (3) 结合图象，当 y < 0 时，直接写出 x 的取值范围． 21．如图，用一段长为 40 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长 18 m，设垂直于墙的一边长为 x m． (1) 用含 x 的代数式表示花园的面积 S； (2) 若花园的面积为 192 m2，求 x 的值． 22．如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，点 D 在边 BC 上，将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°，点 B、D 的对应点分别为点 C、E． (1) 求证：CE ⊥ BC； (2) 若 BD = 3，CD = 4，求 DE 的长． 23．某商店销售一种商品，每件进价 40 元．当售价为每件 60 元时，每月可售出 300 件．市场调查表明：售价每上涨 1 元，每月销售量减少 10 件．设售价为每件 x 元（x ≥ 60），每月销售利润为 w 元． (1) 求 w 与 x 之间的函数关系式； (2) 售价定为每件多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ (3) 若该商店想使每月销售利润不低于 6000 元，直接写出售价 x 的取值范围． 24．如图，抛物线 y = −x2 + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． (1) 求点 A、B、C 的坐标； (2) 点 P 是抛物线对称轴上一动点，当 PA + PC 的值最小时，求点 P 的坐标； (3) 点 M 是直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 MB、MC，求 △MBC 面积的最大值，并求出此时点 M 的坐标． 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 答案 D A D B C 题号 6 7 8 9 10 答案 D C A A C 【简析】 1．D　提示：A 中未说明 a ≠ 0；B 化简后为一次方程；C 含两个未知数；D 整理得 x2 + x − 5 = 0，是一元二次方程． 2．A　提示：顶点式 y = a(x − h)2 + k 的顶点为 (h, k)，即 (1, 3)． 3．D　提示：Δ = (−4)2 − 4 × 1 × 1 = 12 > 0，有两个不相等的实数根． 4．B　提示：有两个相等的实数根，则 Δ = 4 − 4m = 0，m = 1． 5．C　提示：关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数，得 (−2, 3)． 6．D　提示：a = −1 < 0 开口向下；对称轴 x = 1；Δ = 4 + 12 = 16 > 0 与 x 轴有两个交点；开口向下，在对称轴右侧 y 随 x 增大而减小． 7．C　提示：平行四边形只是中心对称图形，等边三角形、等腰梯形只是轴对称图形，圆两者都是． 8．A　提示：令 y = 0 得 x = −1 或 3，AB = 4；令 x = 0 得 C(0, −3)，OC = 3，S = ½ × 4 × 3 = 6．易错点：C 在 y 轴负半轴，取距离的绝对值． 9．A　提示：每次降价后为降价前的 (1 − x) 倍，两次降价后 100(1 − x)2 = 81． 10．C　提示：由图知 a > 0，对称轴 x = 1 得 b = −2a < 0，与 y 轴交点在负半轴 c < 0，故 abc > 0，①对；图象与 x 轴有两个交点，②对；x = 1 时 y = a + b + c 为最低点 < 0，③对；由对称性 y(2) = y(0) = c < 0，④错． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 题号 11 12 13 14 答案 x1 = 0，x2 = 3 5 (−1, 0)，(3, 0) y = (x − 2)2 − 3 题号 15 16 17 18 答案 55° 1 m < 2 且 m ≠ 1 (2√2, 0) 【简析】 11．x1 = 0，x2 = 3　提示：提公因式 x(x − 3) = 0．易错点：两边约去 x 会丢根． 12．5　提示：x1 + x2 = 3，x1x2 = −2，原式 = 3 − (−2) = 5． 13．(−1, 0)，(3, 0)　提示：令 y = 0，解 x2 − 2x − 3 = 0． 14．y = (x − 2)2 − 3　提示：左加右减、上加下减，顶点由 (0, 0) 移到 (2, −3)． 15．55°　提示：旋转角 ∠A′CD = 35°，在 Rt△A′DC 中 ∠CA′D = 55°，由旋转性质 ∠A = ∠A′ = 55°． 16．1　提示：y = (x − 2)2 + 1，开口向上，最小值为顶点纵坐标 1． 17．m < 2 且 m ≠ 1　提示：二次项系数 m − 1 ≠ 0，且 Δ = 4 − 4(m − 1) = 8 − 4m > 0．易错点：漏掉 m ≠ 1． 18．(2√2, 0)　提示：OB = 2√2，旋转后 OB′ = OB = 2√2，且 B′ 在 x 轴正半轴上． 三、解答题（共 86 分） 17．（本题 8 分，每小题 4 分）解方程 解：(1) 因式分解，得 (x − 1)(x − 5) = 0，　……（2 分） ∴ x − 1 = 0 或 x − 5 = 0，即 x1 = 1，x2 = 5．　……（4 分） (2) 这里 a = 2，b = −4，c = −1， Δ = b2 − 4ac = 16 + 8 = 24 > 0，　……（5 分） x = (4 ± 2√6) ÷ 4 = (2 ± √6)/2，　……（7 分） 即 x1 = (2 + √6)/2，x2 = (2 − √6)/2．　……（8 分） 18．（本题 8 分，(1) 4 分，(2) 4 分） 解：(1) ∵ 方程有两个实数根， ∴ Δ = (−4)2 − 4m = 16 − 4m ≥ 0，　……（3 分） 解得 m ≤ 4．　……（4 分） (2) 由根与系数的关系，得 x1 + x2 = 4，x1x2 = m．　……（5 分） ∵ x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 16 − 2m = 10，　……（7 分） ∴ m = 3，经检验 3 ≤ 4，符合题意．　……（8 分） 易错点：第 (2) 问的结果要代回 (1) 的范围检验． 19．（本题 8 分，每小问 4 分，画图各 3 分，坐标各 1 分） 解：(1) 如图，△A1B1C1 即为所求，其中 A1(1, −3)．　……（4 分） (2) 如图，△A2B2C2 即为所求，其中 A2(3, 1)．　……（8 分） 点拨：绕原点旋转 90°，可按“顺时针 (x, y) → (y, −x)”求对应点坐标，再描点连线． 20．（本题 10 分，(1) 4 分，(2) 3 分，(3) 3 分） 解：(1) y = x2 − 2x − 3 = x2 − 2x + 1 − 1 − 3 = (x − 1)2 − 4，　……（3 分） ∴ 顶点坐标为 (1, −4)，对称轴为直线 x = 1．　……（4 分） (2) 列表：x 取 −1，0，1，2，3，对应 y 为 0，−3，−4，−3，0； 描点、连线，图象如图所示．　……（7 分） (3) 由图象可知，当 y < 0 时，−1 < x < 3．　……（10 分） 21．（本题 10 分，(1) 4 分，(2) 6 分） 解：(1) 平行于墙的一边长为 (40 − 2x) m， ∴ S = x(40 − 2x) = −2x2 + 40x．　……（4 分） (2) 根据题意，得 −2x2 + 40x = 192，　……（6 分） 整理，得 x2 − 20x + 96 = 0， 解得 x1 = 8，x2 = 12．　……（8 分） 检验：当 x = 8 时，平行于墙的一边长为 40 − 16 = 24 (m) > 18 m，不合题意，舍去；　……（9 分） 当 x = 12 时，平行于墙的一边长为 40 − 24 = 16 (m) ≤ 18 m，符合题意． ∴ x 的值为 12．　……（10 分） 易错点：靠墙围矩形必须检验平行于墙的一边不超过墙长． 22．（本题 12 分，(1) 6 分，(2) 6 分） (1) 证明：∵ △ABD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ACE， ∴ △ABD ≌ △ACE，∴ ∠ACE = ∠ABD．　……（3 分） ∵ AB = AC，∠BAC = 90°，∴ ∠B = ∠ACB = 45°， ∴ ∠ACE = 45°，∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 90°， ∴ CE ⊥ BC．　……（6 分） (2) 解：由旋转性质，得 CE = BD = 3．　……（8 分） ∵ 点 D 在 BC 上，∴ ∠DCE = ∠BCE = 90°， 在 Rt△DCE 中，由勾股定理得 DE = √(DC2 + CE2) = √(42 + 32) = 5．　……（12 分） 23．（本题 14 分，(1) 4 分，(2) 5 分，(3) 5 分） 解：(1) 售价为每件 x 元时，每件利润为 (x − 40) 元，每月销售量为 300 − 10(x − 60) = (900 − 10x) 件， ∴ w = (x − 40)(900 − 10x) = −10x2 + 1300x − 36000．　……（4 分） (2) w = −10(x2 − 130x + 3600) = −10(x − 65)2 + 6250．　……（7 分） ∵ −10 < 0，∴ 当 x = 65 时，w 取得最大值 6250．　……（9 分） 答：售价定为每件 65 元时，每月销售利润最大，最大利润是 6250 元． (3) 令 w = 6000，即 −10x2 + 1300x − 36000 = 6000，　……（11 分） 整理，得 x2 − 130x + 4200 = 0，解得 x1 = 60，x2 = 70． 由抛物线开口向下，结合图象可知，当 60 ≤ x ≤ 70 时，w ≥ 6000．　……（14 分） 24．（本题 16 分，(1) 4 分，(2) 5 分，(3) 7 分） 解：(1) 令 y = 0，得 −x2 + 2x + 3 = 0，即 x2 − 2x − 3 = 0， 解得 x1 = −1，x2 = 3，∴ A(−1, 0)，B(3, 0)；　……（2 分） 令 x = 0，得 y = 3，∴ C(0, 3)．　……（4 分） (2) ∵ 点 P 在抛物线对称轴（直线 x = 1）上，由对称性知 PA = PB， ∴ PA + PC = PB + PC ≥ BC，当且仅当 P 为 BC 与对称轴的交点时取等号．　……（6 分） 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b，则 b = 3，3k + b = 0，∴ k = −1，即 y = −x + 3． 当 x = 1 时，y = 2，∴ 点 P 的坐标为 (1, 2)．　……（9 分） (3) 设 M(t, −t2 + 2t + 3)（0 < t < 3），过点 M 作 MN ∥ y 轴交 BC 于点 N(t, −t + 3)，　……（11 分） ∴ MN = (−t2 + 2t + 3) − (−t + 3) = −t2 + 3t， ∴ S△MBC = S△BMN + S△CMN = ½ × MN × (xB − xC) = ½ × (−t2 + 3t) × 3 = −(3/2)t2 + (9/2)t = −(3/2)(t − 3/2)2 + 27/8．　……（14 分） ∴ 当 t = 3/2 时，△MBC 面积最大，最大值为 27/8， 此时 M 点纵坐标为 −(3/2)2 + 2 × (3/2) + 3 = 15/4，即 M(3/2, 15/4)．　……（16 分） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $