专题05 抛物线（6知识&7考点&11公式&8高频&6易错&6重难&6模型，期中知识清单）高二数学上学期人教A版

专题05 抛物线 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(7类) 公式清单(11类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(6类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、特殊轨迹辨析： （1）若定点落在定直线上，则动点轨迹不是抛物线，而是过点且垂直于直线的一条直线。 （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02 抛物线的标准方程 焦点位置 标准方程 开口方向 x轴正半轴 向右 x轴负半轴 向左 y轴正半轴 向上 y轴负半轴 向下 补充说明： ① 标准方程必须满足：顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴； ② 一次项决定对称轴，一次项系数正负决定开口方向； ③为焦点到准线的距离， ，越大，抛物线开口越开阔。 知识点03 抛物线的简单几何性质 1.抛物线的基本性质 （1）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （2）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． （3）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （4）由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2.四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 3.焦半径公式 (1)焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． （2）用坐标表示焦半径公式 抛物线方程 焦半径 （p＞0） （p＞0） （p＞0） （p＞0） 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 4. 焦点弦与通径 （1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦；通径长恒等于，是所有焦点弦中最短的弦； （2）焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交得到的弦；焦点弦长度可由两端点焦半径相加求得。 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2.以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点05 弦长公式与中点弦问题 1.直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且），斜率不存在时直接用纵坐标之差计算长度 （2）中点弦斜率： 设弦中点为，将两点坐标代入抛物线方程作差，快速求出弦所在直线斜率； 公式推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. 点差法求出斜率后，必须检验直线与抛物线是否真的存在两个交点，防止出现虚弦。 （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 2.抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 知识点06 抛物线轨迹方程求法 求动点轨迹是圆锥曲线期中必考内容，核心目标是求出动点横、纵坐标满足的方程，并且一定要标注变量的取值范围。针对抛物线相关轨迹，常用一共有四类方法：定义法、直接法、代入法（相关点法），另外补充抛物线光学性质作为拓展了解内容。 1. 定义法：如果动点满足的几何条件刚好符合抛物线的定义，也就是动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，并且定点不在这条定直线上面，那么可以直接对照抛物线四种标准形式，一步写出轨迹方程，不需要复杂化简。 2. 直接法：题目给出动点满足明确的几何等式，直接设动点坐标 ，把文字描述翻译成含有 的方程，化简之后就得到轨迹。 3. 代入法（相关点法）：存在两个动点，一个主动点，一个从动点。主动点在已知抛物线上运动，从动点跟着主动点运动，我们要求从动点轨迹。把主动点坐标用从动点坐标表示，代入主动点满足的抛物线方程，化简得到从动点轨迹。 4. 抛物线光学性质（了解，选择填空拓展） 性质内容：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射之后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反过来，平行对称轴入射的光线，经过抛物线反射之后一定会经过焦点。 考试中的考法一般是小题，结合角度、斜率，利用光学反射的等角关系，快速得到平行，不需要大题证明，只需要作为几何结论直接用来分析图形。 5.求轨迹方程的注意事项： （1）优先区分轨迹类型：先判断轨迹是不是抛物线，如果不满足定义，不能直接套用抛物线标准方程； （2）补全自变量取值范围很多题目里面动点只能在抛物线的一侧或者一段上运动，只写出方程，缺少取值范围会直接扣分； （3）剔除无效增根点：化简的时候平方操作会引入不符合题意的增根，做完一定要带回原题检验； （4）区分“轨迹”和“轨迹方程”：如果题目问轨迹，不仅要写出方程，还要用文字说明曲线是什么；只问轨迹方程，则只需要写出带范围的方程。 考点01 抛物线定义的理解与应用 考点内容： 1. 抛物线定义：平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，前提条件； 2. 若定点在定直线上，轨迹不是抛物线，是过且垂直的直线； 3. 集合表示：； 4. 定义功能：实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离的等价转化。 常见考法： ①根据几何条件判断动点的轨迹类型； ②利用定义转化距离，求解焦半径的长度； ③抛物线上动点，求（为定点）的距离最值； ④已知焦半径，反求抛物线上点的坐标。 易错提醒：忽略前提，见到距离相等直接判定为抛物线；求最值不会做焦点‑准线距离转化，硬套两点距离公式加大计算量；求最值找不准取等条件。 考点02 抛物线标准方程 考点内容： 1. 四种标准方程（，是焦点到准线的距离）：（右开口）、（左开口）、（上开口）、（下开口）； 2. 标准方程特征：顶点在原点，对称轴为坐标轴； 3. 一次项决定对称轴，一次项正负决定开口方向；是方程一次项系数，为焦准距，。 常见考法： ①已知焦点坐标、准线方程求抛物线标准方程； ②已知抛物线上一点，待定系数法求参数，写出方程； ③已知焦点到准线距离求方程； ④开口方向不确定时，分类讨论多解。 易错提醒：分不清焦点在轴还是轴，盲目套用；把一次项系数直接当作，混淆与； 开口方向未给出，只写一种答案，漏解。 考点03 抛物线的几何性质 考点内容： 1.基础性质：顶点；离心率；只有一条对称轴，无对称中心；无渐近线；只有单侧范围； 2.焦半径：抛物线上点到焦点距离，四种方程各对应一套焦半径公式，本质等于该点到准线的距离； 3.通径：过焦点垂直对称轴的弦，长度，是最短的焦点弦； 4.对，焦点弦：；，。 常见考法：①由抛物线方程写出焦点坐标、准线方程； ②利用焦半径计算线段长度； ③利用通径、焦点弦定值结论做小题计算； ④利用焦点弦坐标定值，求点坐标、参数。 易错提醒：不分开口方向乱套焦半径公式；错误认为抛物线存在渐近线；焦点弦二级结论只适用于，其它形式不能直接照搬；焦点弦长计算漏加。 考点04 直线与抛物线的位置关系 考点内容： 1.位置关系：相离、相切、相交；相交包含两个公共点、一个公共点两种情况。 2.将直线与抛物线联立消元；若得到二次方程，用判别式判断：相交两点；相切；相离。 3.若消元后为一次方程（直线平行抛物线对称轴），只有一个公共点，属于相交，不是相切。 4.直线斜率不存在时，需要单独代入方程判断交点。 常见考法： ①根据交点个数求直线中参数的取值范围； ②求抛物线切线方程； ③判断给定直线与抛物线的位置关系。 易错提醒：看到只有一个公共点直接判定相切，忽略直线平行对称轴的情形；不看消元后方程次数，直接套用一元二次方程判别式；忽略斜率不存在的直线，造成漏解。 考点05 弦长与中点弦 考点内容： 1.弦长公式：；斜率不存在时，直接用纵坐标差求弦长。 2.点差法：设弦两端点代入抛物线，两式作差，得到中点坐标与弦斜率的关系式。 3.点差法只得到必要条件，求出直线后必须检验，确认弦真实存在。 常见考法： ①结合韦达定理计算普通弦、焦点弦的弦长； ②已知弦中点，求弦所在直线斜率与直线方程； ③已知斜率，求弦中点的轨迹；v④判断满足条件的弦是否存在。 易错提醒：点差法求出直线不检验判别式，得到不存在的虚弦；斜率不存在时，仍然机械使用含的弦长公式；作差化简过程符号出错，斜率算错。 考点06 直抛物线轨迹方程求解 考点内容： 1.定义法：满足抛物线定义直接写出方程；注意检验是否满足。 2.直接法：设动点，翻译几何条件，化简得到轨迹方程。 3.代入法（相关点法）：主动点在抛物线上，从动点跟随运动，建立坐标关系，反解代入。 4轨迹要注意自变量取值范围，区分整条抛物线与抛物线的一部分。 常见考法： ①利用定义法求动点轨迹； ②直接法、相关点法求从动点轨迹； ③根据题干约束对轨迹做取舍。 易错提醒：求出方程不标注的取值范围，扩大轨迹范围；混淆主动点、从动点，坐标关系式写反；平方去根号产生增根，不做检验。 考点07 抛物线综合问题 考点内容： 1.联立直线与抛物线，借助韦达定理整体代换。 2.定点问题：整理为参数的恒等式，令参数系数为0求定点； 3.定值问题：把目标表达式转化为韦达形式，消去参数得到常数； 4.面积：弦长为底，点到直线距离为高； 5.存在性：先假设存在，求解，无解则不存在。 常见考法： ①证明直线过定点； ②证明线段、代数式为定值； ③求三角形面积的最值； ④是否存在点、直线满足垂直、角度、距离条件。 易错提醒：忽略斜率不存在的特殊情况；面积计算底、高选取错误；只算方程，不检验解是否符合题意。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 抛物线定义式 |MF|=d，d为点M到准线距离 到定点M与定直线的距离相等 2 标准方程（右开口） 顶点在原点，焦点在x轴正半轴，焦准距为p。 3 标准方程（左开口） 顶点在原点，焦点在x轴负半轴。 4 标准方程（上开口） 顶点在原点，焦点在y轴正半轴。 5 标准方程（下开口） 顶点在原点，焦点在y轴负半轴。 6 焦半径（以为例） 抛物线上一点，焦点为， 准线为，焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，抛物线上点到焦点距离等于该点到准线距离，即． 7 通径长公式 过焦点垂直于对称轴的弦，长度固定为2p，最短焦点弦。 8 弦长通用公式 为直线的斜率，且，斜率不存在时直接用纵坐标之差计算长度 9 中点弦点差公式 两式相差，因式分解后快速得到斜率，为中点纵坐标。 10 焦点弦横坐标之积 过焦点的直线与交于，横坐标乘积为定值。 11 焦点弦纵坐标之积 同上，纵坐标乘积为定值，是小题高频二级结论。 辨析01 平面内到定点F与定直线距离相等的点不一定是抛物线 只有当定点不在定直线上时，轨迹才是抛物线；若定点落在定直线上，动点轨迹是一条垂直于直线的直线，不存在抛物线。定义里面最容易忽略这一前提。 辨析02 “一个公共点”的两种不同情形 情形一：联立方程得到一元二次方程，，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 情形二：直线平行于抛物线的对称轴，联立后得到一次方程，仅有一个解，此时直线与抛物线相交，并不是相切； 直线与抛物线仅有一个公共点，不能直接等同于相切，必须分二次项系数是否为0进行讨论；这是和椭圆、双曲线最大的区别，椭圆与双曲线只有相切才会出现唯一公共点。 辨析03 抛物线有没有渐近线 抛物线没有渐近线。双曲线存在两条渐近线，无限靠近但永不相交；抛物线只会向一侧无限延展，不存在渐近直线。画图时不要把抛物线画成双曲线的一支，人为添加渐近趋势。 辨析04 焦半径公式不能混用 四种标准方程对应四组焦半径公式，必须先判断焦点在x轴还是y轴、开口向左还是向右，再选用对应公式，很多同学不管开口向左还是向右，直接套用，最后计算出错。 辨析05 点差法求出的斜率不代表弦一定存在 点差法只利用中点坐标与两点满足抛物线方程作差，不需要联立方程；求出斜率后，必须把直线方程代入抛物线，检验判别式；如果，说明这条弦不存在，属于虚弦。 辨析06 p的几何意义 永远是焦点到准线之间的距离，所以；方程中出现只代表一次项系数，不能把一次项系数直接当成p。例如方程，这里是2，解得。 【题型一】抛物线的定义及辨析 【例1】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【分析】根据抛物线的定义逐一判断即可. 【详解】由抛物线的定义易得①②是真命题； 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 【变式1-1】（2026高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 【变式1-2】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 【变式1-3】（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【答案】直线 【详解】将变形为． 等式左侧表示动点到定点的距离； 等式右侧，即，可理解为动点到定直线的距离． 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹是经过点与该直线垂直的直线． 【题型二】求抛物线的标准方程 【例2】（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 【变式2-1】（2026·湖南湘潭·一模）点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用点坐标计算出，再根据焦点到准线的距离公式即可求解. 【详解】点在抛物线上，代入可得：， 解得：，所以焦点到准线的距离为. 【变式2-2】（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 【变式2-3】（26-27高二上·全国·课后作业）若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【详解】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 【题型三】抛物线几何性质的基础应用 【例3】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 【变式3-1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则， 由于，故. 【变式3-2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 【变式3-3】（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义求出点的坐标，再计算直线的斜率，进而得到倾斜角 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得， 由抛物线的定义可知， 因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足， 设直线的倾斜角为，，则，解得 所以直线的倾斜角为. 【题型四】直线与抛物线位置关系判定 【例4】（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 【变式4-1】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得抛物线方程为，则，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理和即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，依题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，则抛物线的准线为，所以， 依题意直线的斜率不为，设过的直线的方程为，， 联立方程组，整理可得，由， 所以，， 又因为，所以，又， 所以， 因为， 所以 即，解得，所以直线的方程为， 故选：A. 【变式4-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 【变式4-3】（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 【题型五】抛物线弦长计算问题 【例5】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 【变式5-1】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据抛物线的方程写出焦点的坐标及准线方程，从而求得关于该准线的对称点的坐标，求得的值，得到的方程； （2）设直线，与抛物线方程联立，由韦达定理结合梯形中位线定理，得到关于的方程，求解可得的值，从而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得，的准线方程为， 则， 得． 故的方程为． （2）易得的斜率存在，设，，． 由得， 得 由题意得． 因为， （或）， 所以． 故的方程为或． 【变式5-3】（26-27高三上·河南·阶段检测）过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 【题型六】抛物线的中点弦问题 【例6】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【变式6-1】（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 【答案】 【分析】由点在抛物线上求参数值，即可得抛物线，应用点斜式写出直线方程后设直线MN的方程为，联立抛物线得到韦达定理，且MN的中点坐标为，再由点在直线上求参数，最后由弦长公式可得. 【详解】如图，因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，    因为直线的斜率为1，所以直线的方程为； 设直线MN的方程为， 由，消去得， 设，则，于是线段MN的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得， 所以， 所以. 【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求； （2）设的坐标，利用对称性得出，，结合韦达定理求范围. 【详解】（1）由题意可设点，则，得， 因为，所以，得，解得或， 故抛物线的方程为或. （2）若 ，则抛物线的方程为，设，， 若，则，此时不合题意； 若，由于，两点关于直线对称， 故，可得， 则线段中点的纵坐标为，将其代入 中，可得， 又，可得， 则， 则为方程的两个不相等的实数根， 故，所以或， 即的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 【题型七】抛物线轨迹方程求解 【例7】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 【变式7-1】（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 【变式7-2】(多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 【变式7-3】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 【题型八】抛物线焦点弦定值问题 【例8】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上运动，以为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，准线， 设，则圆心坐标为，半径， 所以圆心的横坐标等于半径，即始终与该圆相切. 【变式8-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 【变式8-2】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 【题型一】忽略定义前提，轨迹判断出错 【例1】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 易错警示 1.抛物线定义的核心前提：定点不在定直线上。若定点落在定直线上，动点轨迹是一条直线，不再是抛物线，直接套用定义极易把直线误判为抛物线。 2.利用距离等式求轨迹时，不要直接平方化简，必须先梳理几何条件，区分动点轨迹是整条抛物线、射线还是直线，避免扩大轨迹范围。 3.圆锥曲线轨迹辨析时，严格区分椭圆、双曲线、抛物线的限制条件，不要把距离比值为1的轨迹一概当成抛物线。 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 【变式1-2】（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 【变式1-3】（26-27高二上·全国·课前预习）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ） 【答案】错误 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标． 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为． 【题型二】混淆“一个公共点”，把平行对称轴当成相切 【例2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，圆与抛物线相切于点，圆与抛物线相切，恰有两个切点，分别联立方程组运算可得的取值范围. 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 易错警示 1.直线与抛物线仅有一个公共点包含两种情况：①联立后为一元二次方程且，直线与抛物线相切；②消元后二次项系数为0，方程变为一次方程，直线平行于抛物线对称轴，此时仅有一个交点但不属于相切。 2.只凭“只有一个交点”就判定为切线，会漏掉平行对称轴的直线，造成漏解。 3.联立方程后，一定要先讨论二次项系数是否为0，不能直接计算判别式。 【变式2-1】(多选）（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得. 【详解】如图：过点作于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径， 所以圆与直线相切，A正确； 对于B，因为圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D，，， 化简得，得，即，再代入 得，所以存在或使得成立，D正确. 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，联立方程得，再结合距离公式得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据题意，联立方程得，整理得， 解得，，代入得，， 所以与的交点为，， 因为，所以，解得， 所以，，， 因为为的焦点， 所以，根据焦半径公式， 【变式2-3】（多选）（25-26高二上·江西宜春·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点是上任意一点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则点到的准线的距离为 C． D．若直线的斜率大于等于，则 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的性质求解即可. 【详解】对于选项，因为抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为，故选项正确； 对于选项，当时，抛物线方程为，准线方程为， 所以点到准线的距离为，故选项正确； 对于选项，由抛物线的定义，， 因为在抛物线上，所以，即，则，故选项错误； 对于选项，直线的斜率，由得，所以， 已知，且，解得，故选项正确. 故选： 【题型三】焦半径公式混用，不区分开口方向 【例3】（25-26高三·全国·一轮复习）设抛物线的焦点为，在上，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义来表示焦半径长度，即可得解. 【详解】 抛物线的开口向上，由于在上，且， 根据抛物线的定义可知，， 所以抛物线的方程为． 故选：A. 易错警示 1.焦半径公式随抛物线开口方向改变而改变，开口向右、向左、向上、向下对应不同表达式，不加区分直接套用公式，坐标符号极易出错。 2.必须先写出抛物线标准方程，分清焦点在x轴还是y轴，再选用对应的焦半径公式。 3.抛物线上点的横坐标存在取值范围，使用焦半径计算长度时，要核对横坐标是否符合抛物线范围，防止出现负值。 【变式3-1】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义结合已知条件可得的关系，再根据结合斜率的坐标表示可求解出的值. 【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足为，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【答案】6 【详解】由题意得双曲线的方程为，则， 则，右焦点为， 抛物线的焦点为， 则有，解得. 【题型四】点差法只算斜率，不检验判别式，求出虚弦 【例4】（2026·河北邢台·二模）已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据圆和抛物线的对称性可知公共点为原点，利用抛物线焦半径公式求解即可. 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点. 设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个， 由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点， 则与原点重合，所以，即，解得. 易错警示 1.点差法只能求出中点弦的斜率，无法保证直线与抛物线真实相交，求出斜率后必须联立方程，检验判别式，否则会算出不存在的虚弦。 2.中点坐标必须落在抛物线内部，求出中点后要验证坐标范围，超出范围则弦不存在。 3.点差相减时注意符号，避免坐标相减出现符号错误，同时要讨论直线斜率不存在的特殊情形。 【变式4-1】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【详解】（1）将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. （2）直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. （3）四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. 【变式4-2】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 【变式4-3】（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 【题型五】把抛物线与双曲线混淆，错误添加渐近线 【例5】(多选）（25-26高二上·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 易错警示 1.抛物线只有一条对称轴，不存在渐近线；双曲线才有两条渐近线，做题时不要给抛物线强行添加渐近线，混淆两类圆锥曲线的几何性质。 2.审题看清曲线类型，题干为抛物线时，不要套用双曲线渐近线、双支范围等结论。 3.区分两类曲线的范围：抛物线单向无限延伸，双曲线双向无限延伸，不要混用范围条件。 【变式5-1】(多选）（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【答案】BC 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，根据条件，可得，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 【变式5-2】（考法1 曲线方程及相关量的求解）已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）先由题意设抛物线的方程为，进而由题意求出和，再结合求出即可得解； （2）先由（1）得，接着联立两曲线方程求得点M的横坐标，再结合抛物线焦半径公式即可求出参数a即可得解. 【详解】（1）如图，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，故可设抛物线的方程为， 不妨设在第一象限，由题意可得直线和直线均过点，且轴，轴， 将代入抛物线方程得，则， 将代入双曲线方程得，则， 因为，所以，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以的离心率为3． （2）由（1）得， 则的方程为的方程为， 联立，消去得， 解得或（舍去），则的横坐标， 因为，故由抛物线定义可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，抛物线的标准方程为． 【变式5-3】（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 【题型六】求标准方程时，混淆一次项系数与p的值 【例6】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由抛物线的定义知： . 易错警示 1.抛物线标准方程为，一次项系数是，很多同学直接把系数当成，导致焦点、准线全部算错。 2.先把方程化为标准形式，再由求出，再写出焦点坐标与准线方程。 3.注意，开口方向由一次项正负决定，不要把的正负与开口方向搞混。 【变式6-1】（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设该抛物线的标准方程为，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的准线方程为，故该抛物线开口向下， 设该抛物线的标准方程为， 则，解得，故该抛物线的标准方程为. 故选：D. 【变式6-2】（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3， 由C的准线与该圆相切，得圆心到准线的距离为，解得， 所以C的焦点坐标为. 【变式6-3】（2026·贵州黔西南·二模）若抛物线的准线为直线，则__________. 【答案】8 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 因此，则， 【题型一】直线与抛物线相交的的参数范围问题 【例1】（2026·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求； （2）设的坐标，利用对称性得出，，结合韦达定理求范围. 【详解】（1）由题意可设点，则，得， 因为，所以，得，解得或， 故抛物线的方程为或. （2）若 ，则抛物线的方程为，设，， 若，则，此时不合题意； 若，由于，两点关于直线对称， 故，可得， 则线段中点的纵坐标为，将其代入 中，可得， 又，可得， 则， 则为方程的两个不相等的实数根， 故，所以或， 即的取值范围为. 【变式1-1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）若抛物线的焦点为，则下列点中，在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线焦点坐标，再利用代入法逐一判断即可. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以. A：因为，所以本选项的点不在抛物线上； B：因为，所以本选项的点在抛物线上； C：因为，所以本选项的点不在抛物线上； D：因为，所以本选项的点不在抛物线上； 故选：B 【变式1-2】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【详解】记抛物线（）的焦点为， 设准线上的两点与构成边长为的等边三角形， 则由正三角形的对称性，可得. 所以焦点到准线的距离为， 所以抛物线的标准方程为.  【变式1-3】（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 【题型二】抛物线弦长、面积综合计算 【例2】（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线交C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由过定点且垂直于x轴的直线，可用表示出A，B两点的坐标，再根据，求出的值，即可得出抛物线的方程. （2）设直线方程，联立方程组，先根据，可得出A，B两点的纵坐标的数量关系，再结合韦达定理和抛物线的定义，最终求出的值. 【详解】（1）由题意知，直线的方程为， 将代入，得，所以，此时弦长， 又，所以，因此抛物线C的方程为. （2）设直线的方程为，，， 联立方程得，即， 则，，. 由，且，在点的两侧，则，所以， 代入上式韦达定理得，，解得，， 由，则，所以. 又因为， 由抛物线方程为，则准线为， 根据抛物线的定义可得，，， 所以， 代入，因此. 【变式2-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为______. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用，可求得，从而可得抛物线的方程. 【详解】由抛物线的定义可得，因为，所以是正三角形. 过F作，垂足为，则为的中点，得. 所以抛物线的方程为.  【变式2-3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点.    (1)求抛物线的方程. (2)如图，分别以为直径作圆. （i）求圆的面积之和的最小值； （ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据题意求得抛物线的方程； （2）（i）根据圆的面积公式和直曲联立计算得到结果； （ii）根据直线的不同情况分类讨论，结合两圆的位置关系求得公切线的所有交点的轨迹方程； 【详解】（1）由题意知，，所以，所以抛物线的方程为. （2）（i）由题意知，圆的面积之和， 设直线的方程为， 联立整理得，所以， 又点， 所以 ， ， 令，则，则， 这是个图象开口向上的二次函数，在时单调递增， 所以时，. （ii）由题意知，圆外切，有一条内公切线和两条外公切线. 当时，直线的方程为， 此时圆的圆心横坐标均为4，半径均为2， 三条公切线分别为， 公切线的交点有两个：； 当时，内公切线为过点且与直线垂直的直线，直线的方程为. 设直线交于点，由对称性可知点在直线AB上， 圆的半径之比为， 又，所以， 记，上式化简得， 又， 代入，整理得， 因为，所以，即， 故点在直线上运动，又点不可能为原点， 所以点的轨迹方程为． 如图，设直线与的交点为，直线与的交点为，直线与轴交于点，    下面探究点和的轨迹． 易知， 故， 由直线的方程为，可得， 所以， 所以，即为PR的中点， 所以点的轨迹方程为. 由对称性可得， 所以点的轨迹方程为. 综上，圆的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线， 方程分别为． 【题型三】抛物线上动点的最值问题 【例3】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 【变式3-1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而得结果． 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 依题意圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点的距离，所以在圆上． 即动圆必过定点的坐标为. 【变式3-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为．  【变式3-3】（25-26高二下·上海·期中）若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 【答案】 【详解】由题意得，，则抛物线方程为， 联立，得，得（负值舍去）， 令，则，则，故弦的弦长为. 【题型四】抛物线中点弦综合轨迹问题 【例4】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，求的方程； 【答案】 【分析】由题意有，求出参数值，即可得方程. 【详解】由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为， 所以，可得，故； 【变式4-1】（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 【变式4-2】（2026·河北保定·三模）已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A，且C₁，C₂的准线交于点 则|OA|=________. 【答案】 【分析】由准线交点得值，然后解方程组得交点坐标，再由距离公式求解. 【详解】由题意，，抛物线方程分别为，， 由，解得或， 所以，.  【变式4-3】（26-27高三·全国·一轮复习）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，再得出点的坐标，列式计算求解. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图，设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h， 则， 于是， 所以，即得cm，即该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 【题型五】抛物线焦点弦综合定值问题 【例5】（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 【变式5-1】（25-26高二下·甘肃平凉·期末）若抛物线的焦点坐标为，则________． 【答案】2 【详解】由题意得，，得. 【变式5-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）若抛物线的准线为，则其标准方程为___________． 【答案】 【详解】设其标准方程为,则其准线方程为,解得. 所以标准方程为  【变式5-3】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 【题型六】抛物线轨迹综合 【例6】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 【答案】 【详解】由抛物线的定义知：， 因为，，则，即，所以抛物线的方程为. 【变式6-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意，圆的圆心为， 故抛物线的焦点，所以抛物线方程为， 由可得， 解得或， 因为在第一象限，所以， 所以， 所以直线的方程为：，即， 所以原点到直线的距离为：. 【变式6-2】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【答案】 【详解】在抛物线中，，得. 焦点坐标为，焦点在轴上， 根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为.  【变式6-3】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】利用直线与坐标轴交点求出抛物线的焦点，再利用焦点求出抛物线方程. 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 【题型一】抛物线定义转化模型 【模型解读】 抛物线定义：平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹。利用 等于点 到准线的距离，实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化，将斜线段距离转化为水平或者竖直距离，常用于抛物线上动点到定点、焦点距离之和或差的最值、距离长度计算，是选择填空高频模型。 【结论】 设抛物线标准方程： 1.，焦点 ，准线：，抛物线上任一点 ，焦半径： 2.，焦点 ，准线：，焦半径： 3.，焦点 ，准线：，焦半径： 4.，焦点 ，准线：，焦半径： 最值常用结论：抛物线上一动点到焦点与外部定点距离之和最小值，利用定义把焦点距离转为到准线距离，垂线段最短求最小值。 【例1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为.又点在抛物线上，所以， 由得，，即，则， 由焦半径公式可得. 【变式1-1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 【变式1-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【答案】 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程， 得，解得. 所以抛物线的方程为，即， 其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 【变式1-3】（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 【题型二】焦点弦定值模型（） 【模型解读】 过抛物线焦点的直线交抛物线于 两点，线段 称为焦点弦。无论焦点弦如何旋转，都存在一系列定值。该模型核心是设点或者设直线联立抛物线方程，借助韦达定理得到坐标关系，用于快速秒杀填空选择题，大题可直接写出相关结论用于验算。 【结论】 设抛物线 ，焦点 ，过焦点弦端点 ，直线 的倾斜角为 1.， 2.焦点弦长：；当 ，弦垂直于 轴时，得到通径，通径长等于 ，是所有焦点弦里面最短的弦 3.，定值，与倾斜角无关 4.若直线 的斜率存在， 【例2】（25-26高二下·四川南充·期中）以直线为准线的拋物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得抛物线的标准方程. 【详解】因为拋物线的准线为， 所以，解得, 所以抛物线方程为. 【变式2-1】（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【详解】设抛物线的标准方程为，则因为焦点为， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． 【变式2-2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线的准线得出参数. 【详解】抛物线的准线方程为，故抛物线开口向上，则， 故，则实数的值为. 故答案为：. 【变式2-3】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 【题型三】中点弦点差模型 【模型解读】 已知抛物线弦中点或者求中点相关问题，优先采用点差法，不需要联立复杂的一元二次方程，利用端点在抛物线上，两式相减，构造中点坐标和弦所在直线斜率的关系式，快速求出弦斜率、直线方程，同时可以用来判断是否存在满足条件的弦。注意点差法得到结果之后，一定要检验判别式，验证直线和抛物线是否真的相交。 【结论】 以 为例，设弦端点 ，弦中点 两式相减： 两边除以 中点 ，得到公式： 同理：，中点 ，中点弦斜率： 注意：若 ，中点在 轴，此时弦垂直 轴，斜率不存在。 【例3】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点； 【答案】(1)或． 【分析】（1）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； 【详解】因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． 【变式3-1】25-26高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程； 【答案】（1）标准方程，准线方程； 【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，代值求解即可； 【详解】（1）由抛物线焦点坐标可得， 设抛物线的标准方程为，代入，得，准线方程为， 故抛物线的标准方程为，准线方程为.      【变式3-2】（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）先由抛物线的准线方程求出的值，再由椭圆的离心率求出的值，即得椭圆的方程； 【详解】（1）因抛物线的准线方程为，且，则，解得， 又因椭圆的离心率为，则，代入，解得， 故椭圆C的方程为； 【变式3-3】（2026·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据抛物线的方程写出焦点的坐标及准线方程，从而求得关于该准线的对称点的坐标，求得的值，得到的方程； 【详解】（1）由题意得，的准线方程为， 则， 得． 故的方程为． 【题型四】 弦长计算模型 【模型解读】 直线与抛物线交于两个交点，求两点之间弦长。通用思路是联立直线与抛物线方程，消元得到一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，代入弦长公式求值。焦点弦可以直接套用焦点弦专用公式简化运算。 【结论】 设直线与抛物线交于两点 通用弦长公式 若直线斜率存在为 如果消元得到关于 的方程： 若直线斜率不存在，直线垂直 x 轴，直接代入横坐标求出两个纵坐标，相减取绝对值即可得到弦长。 【例4】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 【变式4-1】（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【详解】设抛物线的标准方程为，则因为焦点为， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． 【变式4-2】（25-26高二下·上海·期中）若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 【答案】 【详解】由题意得，，则抛物线方程为， 联立，得，得（负值舍去）， 令，则，则，故弦的弦长为. 【变式4-3】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【详解】记抛物线（）的焦点为， 设准线上的两点与构成边长为的等边三角形， 则由正三角形的对称性，可得. 所以焦点到准线的距离为， 所以抛物线的标准方程为. 【题型五】 动点最值模型 【模型解读】 抛物线上存在动点，结合定点、焦点、准线，求距离、距离之和、距离之差、面积的最值。核心两种思路：一是抛物线定义转化距离，借助几何性质（垂线段最短）求最值；二是设抛物线上动点坐标，写出目标函数，转化为函数求值域、最值。 【结论】 以 举例 1.到焦点与定点距离最小：利用定义将到焦点距离转为到准线距离，过定点向准线作垂线，垂线与抛物线交点即为取到最小值的动点。 2.抛物线上动点到直线距离最值：设抛物线上点，点到直线距离公式写出表达式，转化二次函数求最值；也可以设与已知直线平行且和抛物线相切的直线，两平行线距离就是最值。 3.三角形面积最值：固定一条弦作为底边，面积等价于动点到底边距离，转化为点线距离最值。 【例5】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【答案】 【详解】在抛物线中，，得. 焦点坐标为，焦点在轴上， 根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为. 【变式5-1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 【变式5-2】（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 【变式5-3】（26-27高三·全国·一轮复习）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，再得出点的坐标，列式计算求解. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图，设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h， 则， 于是， 所以，即得cm，即该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 【题型六】直线与抛物线相切模型 【模型解读】 研究直线与抛物线相切，联立之后方程有且仅有一个公共点。注意区别：直线和抛物线只有一个交点不一定相切，平行于抛物线对称轴的直线与抛物线相交也只有一个交点，不是切线，这个是极易混淆的坑点。 【结论】 以 1.切线判定：联立直线与抛物线，消元之后，若得到二次方程，则 代表相切；若消元之后变成一次方程，代表直线平行对称轴，相交不是切线。 2.切线方程 过抛物线上一点 的切线方程： 3.切线长、切点弦：抛物线外一点 ，向抛物线引两条切线，两个切点连线叫做切点弦，切点弦方程同样为： 4.光学性质：从焦点发出光线经抛物线反射之后平行对称轴，填空偶尔考察。 【例6】（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线的准线得出参数. 【详解】抛物线的准线方程为，故抛物线开口向上，则， 故，则实数的值为. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意，圆的圆心为， 故抛物线的焦点，所以抛物线方程为， 由可得， 解得或， 因为在第一象限，所以， 所以， 所以直线的方程为：，即， 所以原点到直线的距离为：. 【变式6-3】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或 技巧 一句话要点 解决抛物线上点到焦点距离问题 ——"定义转化法" 利用抛物线定义把焦半径转化为点到准线的距离，快速处理距离最值。 求抛物线标准方程——“标准式定位法” 先判断焦点所在坐标轴与开口方向，再设对应形式，避免方程设错。 判断直线与抛物线交点个数——“判别式分类法” 联立方程后，先讨论二次项系数是否为0，再用判别式判断交点，防止漏掉平行对称轴的情况。 解决弦中点斜率问题——点差法 设出弦两端点坐标，两式作差直接求出直线斜率，运算简洁，算出后必须检验弦是否存在。 计算抛物线弦的长度——弦长公式法 优先选用含纵坐标的弦长公式，减少根式运算，提升计算速度。 焦点弦长度计算——"焦半径公式法" 根据开口方向选用对应焦半径公式，焦点弦长可直接用两点横坐标之和加p。 抛物线几何最值问题——“坐标转化法” 把线段、距离最值转化为横坐标或纵坐标的函数，结合定义域求出最值。 直线与抛物线综合大题——"设而不求法" 联立方程后只保留根与系数关系，不求出具体根，简化复杂计算。 判断函数增减性与参数范围 ——"对称轴分析法" 抓住对称轴位置，划分单调区间，快速比较抛物线上点的函数值大小。 抛物线定点定值探究题——定点定值验证法 先取特殊直线求出定点，再代入一般式子完成证明，避免盲目推导。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(7类) 公式清单(11类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(6类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 抛物线的定义 1、定义：把平面内与____________F和____________l(l不经过点F)____________的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的____________，直线l叫做抛物线的____________． 2、抛物线集合表示：． 3、特殊轨迹辨析： （1）若定点落在定直线上，则动点轨迹不是抛物线，而是过点且垂直于直线的一条直线。 （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02 抛物线的标准方程 焦点位置 标准方程 开口方向 x轴正半轴 向右 x轴负半轴 向左 y轴正半轴 向上 y轴负半轴 向下 补充说明： ① 标准方程必须满足：顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴； ② 一次项决定对称轴，一次项系数正负决定开口方向； ③为焦点到准线的距离， ，越大，抛物线开口越开阔。 知识点03 抛物线的简单几何性质 1.抛物线的基本性质 （1）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的____________．在方程中，当时，，因此抛物线的____________． （2）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． （3）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于_________轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （4）由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方____________． 2.四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 3.焦半径公式 (1)焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的____________，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． （2）用坐标表示焦半径公式 抛物线方程 焦半径 （p＞0） （p＞0） （p＞0） （p＞0） 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 4. 焦点弦与通径 （1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦；通径长恒等于，是所有焦点弦中最短的弦； （2）焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交得到的弦；焦点弦长度可由两端点焦半径相加求得。 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： ____________（有两个公共点或一个公共点）；____________（有一个公共点）；____________（没有公共点）． 2.以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率____________，设直线方程为， 若，直线与抛物线有____________； 若，直线与抛物线有一个交点，且____________； 若，直线与抛物线____________. （2）直线的斜率____________. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线____________，有____________公共点； 当时，直线与抛物线____________，有____________公共点； 当时，直线与抛物线____________，____________公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点05 弦长公式与中点弦问题 1.直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且），斜率不存在时直接用纵坐标之差计算长度 （2）中点弦斜率： 设弦中点为，将两点坐标代入抛物线方程作差，快速求出弦所在直线斜率； 公式推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. 点差法求出斜率后，必须检验直线与抛物线是否真的存在两个交点，防止出现虚弦。 （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 2.抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 知识点06 抛物线轨迹方程求法 求动点轨迹是圆锥曲线期中必考内容，核心目标是求出动点横、纵坐标满足的方程，并且一定要标注变量的取值范围。针对抛物线相关轨迹，常用一共有四类方法：定义法、直接法、代入法（相关点法），另外补充抛物线光学性质作为拓展了解内容。 1. 定义法：如果动点满足的几何条件刚好符合抛物线的定义，也就是动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，并且定点不在这条定直线上面，那么可以直接对照抛物线四种标准形式，一步写出轨迹方程，不需要复杂化简。 2. 直接法：题目给出动点满足明确的几何等式，直接设动点坐标 ，把文字描述翻译成含有 的方程，化简之后就得到轨迹。 3. 代入法（相关点法）：存在两个动点，一个主动点，一个从动点。主动点在已知抛物线上运动，从动点跟着主动点运动，我们要求从动点轨迹。把主动点坐标用从动点坐标表示，代入主动点满足的抛物线方程，化简得到从动点轨迹。 4. 抛物线光学性质（了解，选择填空拓展） 性质内容：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射之后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反过来，平行对称轴入射的光线，经过抛物线反射之后一定会经过焦点。 考试中的考法一般是小题，结合角度、斜率，利用光学反射的等角关系，快速得到平行，不需要大题证明，只需要作为几何结论直接用来分析图形。 5.求轨迹方程的注意事项： （1）优先区分轨迹类型：先判断轨迹是不是抛物线，如果不满足定义，不能直接套用抛物线标准方程； （2）补全自变量取值范围很多题目里面动点只能在抛物线的一侧或者一段上运动，只写出方程，缺少取值范围会直接扣分； （3）剔除无效增根点：化简的时候平方操作会引入不符合题意的增根，做完一定要带回原题检验； （4）区分“轨迹”和“轨迹方程”：如果题目问轨迹，不仅要写出方程，还要用文字说明曲线是什么；只问轨迹方程，则只需要写出带范围的方程。 考点01 抛物线定义的理解与应用 考点内容： 1. 抛物线定义：平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，前提条件； 2. 若定点在定直线上，轨迹不是抛物线，是过且垂直的直线； 3. 集合表示：； 4. 定义功能：实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离的等价转化。 常见考法： ①根据几何条件判断动点的轨迹类型； ②利用定义转化距离，求解焦半径的长度； ③抛物线上动点，求（为定点）的距离最值； ④已知焦半径，反求抛物线上点的坐标。 易错提醒：忽略前提，见到距离相等直接判定为抛物线；求最值不会做焦点‑准线距离转化，硬套两点距离公式加大计算量；求最值找不准取等条件。 考点02 抛物线标准方程 考点内容： 1. 四种标准方程（，是焦点到准线的距离）：（右开口）、（左开口）、（上开口）、（下开口）； 2. 标准方程特征：顶点在原点，对称轴为坐标轴； 3. 一次项决定对称轴，一次项正负决定开口方向；是方程一次项系数，为焦准距，。 常见考法： ①已知焦点坐标、准线方程求抛物线标准方程； ②已知抛物线上一点，待定系数法求参数，写出方程； ③已知焦点到准线距离求方程； ④开口方向不确定时，分类讨论多解。 易错提醒：分不清焦点在轴还是轴，盲目套用；把一次项系数直接当作，混淆与； 开口方向未给出，只写一种答案，漏解。 考点03 抛物线的几何性质 考点内容： 1.基础性质：顶点；离心率；只有一条对称轴，无对称中心；无渐近线；只有单侧范围； 2.焦半径：抛物线上点到焦点距离，四种方程各对应一套焦半径公式，本质等于该点到准线的距离； 3.通径：过焦点垂直对称轴的弦，长度，是最短的焦点弦； 4.对，焦点弦：；，。 常见考法：①由抛物线方程写出焦点坐标、准线方程； ②利用焦半径计算线段长度； ③利用通径、焦点弦定值结论做小题计算； ④利用焦点弦坐标定值，求点坐标、参数。 易错提醒：不分开口方向乱套焦半径公式；错误认为抛物线存在渐近线；焦点弦二级结论只适用于，其它形式不能直接照搬；焦点弦长计算漏加。 考点04 直线与抛物线的位置关系 考点内容： 1.位置关系：相离、相切、相交；相交包含两个公共点、一个公共点两种情况。 2.将直线与抛物线联立消元；若得到二次方程，用判别式判断：相交两点；相切；相离。 3.若消元后为一次方程（直线平行抛物线对称轴），只有一个公共点，属于相交，不是相切。 4.直线斜率不存在时，需要单独代入方程判断交点。 常见考法： ①根据交点个数求直线中参数的取值范围； ②求抛物线切线方程； ③判断给定直线与抛物线的位置关系。 易错提醒：看到只有一个公共点直接判定相切，忽略直线平行对称轴的情形；不看消元后方程次数，直接套用一元二次方程判别式；忽略斜率不存在的直线，造成漏解。 考点05 弦长与中点弦 考点内容： 1.弦长公式：；斜率不存在时，直接用纵坐标差求弦长。 2.点差法：设弦两端点代入抛物线，两式作差，得到中点坐标与弦斜率的关系式。 3.点差法只得到必要条件，求出直线后必须检验，确认弦真实存在。 常见考法： ①结合韦达定理计算普通弦、焦点弦的弦长； ②已知弦中点，求弦所在直线斜率与直线方程； ③已知斜率，求弦中点的轨迹；v④判断满足条件的弦是否存在。 易错提醒：点差法求出直线不检验判别式，得到不存在的虚弦；斜率不存在时，仍然机械使用含的弦长公式；作差化简过程符号出错，斜率算错。 考点06 直抛物线轨迹方程求解 考点内容： 1.定义法：满足抛物线定义直接写出方程；注意检验是否满足。 2.直接法：设动点，翻译几何条件，化简得到轨迹方程。 3.代入法（相关点法）：主动点在抛物线上，从动点跟随运动，建立坐标关系，反解代入。 4轨迹要注意自变量取值范围，区分整条抛物线与抛物线的一部分。 常见考法： ①利用定义法求动点轨迹； ②直接法、相关点法求从动点轨迹； ③根据题干约束对轨迹做取舍。 易错提醒：求出方程不标注的取值范围，扩大轨迹范围；混淆主动点、从动点，坐标关系式写反；平方去根号产生增根，不做检验。 考点07 抛物线综合问题 考点内容： 1.联立直线与抛物线，借助韦达定理整体代换。 2.定点问题：整理为参数的恒等式，令参数系数为0求定点； 3.定值问题：把目标表达式转化为韦达形式，消去参数得到常数； 4.面积：弦长为底，点到直线距离为高； 5.存在性：先假设存在，求解，无解则不存在。 常见考法： ①证明直线过定点； ②证明线段、代数式为定值； ③求三角形面积的最值； ④是否存在点、直线满足垂直、角度、距离条件。 易错提醒：忽略斜率不存在的特殊情况；面积计算底、高选取错误；只算方程，不检验解是否符合题意。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 抛物线定义式 |MF|=d，d为点M到准线距离 到定点M与定直线的距离相等 2 标准方程（右开口） 顶点在原点，焦点在x轴正半轴，焦准距为p。 3 标准方程（左开口） 顶点在原点，焦点在x轴负半轴。 4 标准方程（上开口） 顶点在原点，焦点在y轴正半轴。 5 标准方程（下开口） 顶点在原点，焦点在y轴负半轴。 6 焦半径（以为例） 抛物线上一点，焦点为， 准线为，焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，抛物线上点到焦点距离等于该点到准线距离，即． 7 通径长公式 过焦点垂直于对称轴的弦，长度固定为2p，最短焦点弦。 8 弦长通用公式 为直线的斜率，且，斜率不存在时直接用纵坐标之差计算长度 9 中点弦点差公式 两式相差，因式分解后快速得到斜率，为中点纵坐标。 10 焦点弦横坐标之积 过焦点的直线与交于，横坐标乘积为定值。 11 焦点弦纵坐标之积 同上，纵坐标乘积为定值，是小题高频二级结论。 辨析01 平面内到定点F与定直线距离相等的点不一定是抛物线 只有当定点不在定直线上时，轨迹才是抛物线；若定点落在定直线上，动点轨迹是一条垂直于直线的直线，不存在抛物线。定义里面最容易忽略这一前提。 辨析02 “一个公共点”的两种不同情形 情形一：联立方程得到一元二次方程，，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 情形二：直线平行于抛物线的对称轴，联立后得到一次方程，仅有一个解，此时直线与抛物线相交，并不是相切； 直线与抛物线仅有一个公共点，不能直接等同于相切，必须分二次项系数是否为0进行讨论；这是和椭圆、双曲线最大的区别，椭圆与双曲线只有相切才会出现唯一公共点。 辨析03 抛物线有没有渐近线 抛物线没有渐近线。双曲线存在两条渐近线，无限靠近但永不相交；抛物线只会向一侧无限延展，不存在渐近直线。画图时不要把抛物线画成双曲线的一支，人为添加渐近趋势。 辨析04 焦半径公式不能混用 四种标准方程对应四组焦半径公式，必须先判断焦点在x轴还是y轴、开口向左还是向右，再选用对应公式，很多同学不管开口向左还是向右，直接套用，最后计算出错。 辨析05 点差法求出的斜率不代表弦一定存在 点差法只利用中点坐标与两点满足抛物线方程作差，不需要联立方程；求出斜率后，必须把直线方程代入抛物线，检验判别式；如果，说明这条弦不存在，属于虚弦。 辨析06 p的几何意义 永远是焦点到准线之间的距离，所以；方程中出现只代表一次项系数，不能把一次项系数直接当成p。例如方程，这里是2，解得。 【题型一】抛物线的定义及辨析 【例1】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【变式1-1】（2026高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【变式1-2】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【题型二】求抛物线的标准方程 【例2】（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·湖南湘潭·一模）点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2-2】（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式2-3】（26-27高二上·全国·课后作业）若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型三】抛物线几何性质的基础应用 【例3】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-3】（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【题型四】直线与抛物线位置关系判定 【例4】（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【题型五】抛物线弦长计算问题 【例5】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 【变式5-3】（26-27高三上·河南·阶段检测）过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【题型六】抛物线的中点弦问题 【例6】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【变式6-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【题型七】抛物线轨迹方程求解 【例7】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【变式7-2】(多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【题型八】抛物线焦点弦定值问题 【例8】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上运动，以为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【变式8-3】（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型一】忽略定义前提，轨迹判断出错 【例1】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 易错警示 1.抛物线定义的核心前提：定点不在定直线上。若定点落在定直线上，动点轨迹是一条直线，不再是抛物线，直接套用定义极易把直线误判为抛物线。 2.利用距离等式求轨迹时，不要直接平方化简，必须先梳理几何条件，区分动点轨迹是整条抛物线、射线还是直线，避免扩大轨迹范围。 3.圆锥曲线轨迹辨析时，严格区分椭圆、双曲线、抛物线的限制条件，不要把距离比值为1的轨迹一概当成抛物线。 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式1-3】（26-27高二上·全国·课前预习）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ） 【题型二】混淆“一个公共点”，把平行对称轴当成相切 【例2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错警示 1.直线与抛物线仅有一个公共点包含两种情况：①联立后为一元二次方程且，直线与抛物线相切；②消元后二次项系数为0，方程变为一次方程，直线平行于抛物线对称轴，此时仅有一个交点但不属于相切。 2.只凭“只有一个交点”就判定为切线，会漏掉平行对称轴的直线，造成漏解。 3.联立方程后，一定要先讨论二次项系数是否为0，不能直接计算判别式。 【变式2-1】(多选）（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2-3】（多选）（25-26高二上·江西宜春·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点是上任意一点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则点到的准线的距离为 C． D．若直线的斜率大于等于，则 【题型三】焦半径公式混用，不区分开口方向 【例3】（25-26高三·全国·一轮复习）设抛物线的焦点为，在上，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 易错警示 1.焦半径公式随抛物线开口方向改变而改变，开口向右、向左、向上、向下对应不同表达式，不加区分直接套用公式，坐标符号极易出错。 2.必须先写出抛物线标准方程，分清焦点在x轴还是y轴，再选用对应的焦半径公式。 3.抛物线上点的横坐标存在取值范围，使用焦半径计算长度时，要核对横坐标是否符合抛物线范围，防止出现负值。 【变式3-1】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【变式3-3】（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【题型四】点差法只算斜率，不检验判别式，求出虚弦 【例4】（2026·河北邢台·二模）已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 易错警示 1.点差法只能求出中点弦的斜率，无法保证直线与抛物线真实相交，求出斜率后必须联立方程，检验判别式，否则会算出不存在的虚弦。 2.中点坐标必须落在抛物线内部，求出中点后要验证坐标范围，超出范围则弦不存在。 3.点差相减时注意符号，避免坐标相减出现符号错误，同时要讨论直线斜率不存在的特殊情形。 【变式4-1】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-2】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【变式4-3】（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【题型五】把抛物线与双曲线混淆，错误添加渐近线 【例5】(多选）（25-26高二上·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 易错警示 1.抛物线只有一条对称轴，不存在渐近线；双曲线才有两条渐近线，做题时不要给抛物线强行添加渐近线，混淆两类圆锥曲线的几何性质。 2.审题看清曲线类型，题干为抛物线时，不要套用双曲线渐近线、双支范围等结论。 3.区分两类曲线的范围：抛物线单向无限延伸，双曲线双向无限延伸，不要混用范围条件。 【变式5-1】(多选）（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【变式5-2】（考法1 曲线方程及相关量的求解）已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程． 【变式5-3】（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【题型六】求标准方程时，混淆一次项系数与p的值 【例6】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 易错警示 1.抛物线标准方程为，一次项系数是，很多同学直接把系数当成，导致焦点、准线全部算错。 2.先把方程化为标准形式，再由求出，再写出焦点坐标与准线方程。 3.注意，开口方向由一次项正负决定，不要把的正负与开口方向搞混。 【变式6-1】（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·贵州黔西南·二模）若抛物线的准线为直线，则__________. 【题型一】直线与抛物线相交的的参数范围问题 【例1】（2026·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【变式1-1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）若抛物线的焦点为，则下列点中，在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________．  【变式1-3】（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【题型二】抛物线弦长、面积综合计算 【例2】（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线交C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)若，求的值. 【变式2-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为______.  【变式2-3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点.    (1)求抛物线的方程. (2)如图，分别以为直径作圆. （i）求圆的面积之和的最小值； （ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程． 【题型三】抛物线上动点的最值问题 【例3】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式3-1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________．. 【变式3-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______．  【变式3-3】（25-26高二下·上海·期中）若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 【题型四】抛物线中点弦综合轨迹问题 【例4】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，求的方程； 【变式4-1】（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【变式4-2】（2026·河北保定·三模）已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A，且C₁，C₂的准线交于点 则|OA|=________.  【变式4-3】（26-27高三·全国·一轮复习）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 【题型五】抛物线焦点弦综合定值问题 【例5】（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D．. 【变式5-1】（25-26高二下·甘肃平凉·期末）若抛物线的焦点坐标为，则________． 【变式5-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）若抛物线的准线为，则其标准方程为___________．  【变式5-3】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【题型六】抛物线轨迹综合 【例6】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 【变式6-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【变式6-2】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________．  【变式6-3】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【题型一】抛物线定义转化模型 【模型解读】 抛物线定义：平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹。利用 等于点 到准线的距离，实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化，将斜线段距离转化为水平或者竖直距离，常用于抛物线上动点到定点、焦点距离之和或差的最值、距离长度计算，是选择填空高频模型。 【结论】 设抛物线标准方程： 1.，焦点 ，准线：，抛物线上任一点 ，焦半径： 2.，焦点 ，准线：，焦半径： 3.，焦点 ，准线：，焦半径： 4.，焦点 ，准线：，焦半径： 最值常用结论：抛物线上一动点到焦点与外部定点距离之和最小值，利用定义把焦点距离转为到准线距离，垂线段最短求最小值。 【例1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【变式1-1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【变式1-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【变式1-3】（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【题型二】焦点弦定值模型（） 【模型解读】 过抛物线焦点的直线交抛物线于 两点，线段 称为焦点弦。无论焦点弦如何旋转，都存在一系列定值。该模型核心是设点或者设直线联立抛物线方程，借助韦达定理得到坐标关系，用于快速秒杀填空选择题，大题可直接写出相关结论用于验算。 【结论】 设抛物线 ，焦点 ，过焦点弦端点 ，直线 的倾斜角为 1.， 2.焦点弦长：；当 ，弦垂直于 轴时，得到通径，通径长等于 ，是所有焦点弦里面最短的弦 3.，定值，与倾斜角无关 4.若直线 的斜率存在， 【例2】（25-26高二下·四川南充·期中）以直线为准线的拋物线的标准方程为________． 【变式2-1】（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【变式2-2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 【变式2-3】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线经过点，其标准方程为_______. 【题型三】中点弦点差模型 【模型解读】 已知抛物线弦中点或者求中点相关问题，优先采用点差法，不需要联立复杂的一元二次方程，利用端点在抛物线上，两式相减，构造中点坐标和弦所在直线斜率的关系式，快速求出弦斜率、直线方程，同时可以用来判断是否存在满足条件的弦。注意点差法得到结果之后，一定要检验判别式，验证直线和抛物线是否真的相交。 【结论】 以 为例，设弦端点 ，弦中点 两式相减： 两边除以 中点 ，得到公式： 同理：，中点 ，中点弦斜率： 注意：若 ，中点在 轴，此时弦垂直 轴，斜率不存在。 【例3】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1) 经过点； 【变式3-1】25-26高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程； 【变式3-2】（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1) 求C的方程； 【变式3-3】（2026·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． (1)求的方程； 【题型四】 弦长计算模型 【模型解读】 直线与抛物线交于两个交点，求两点之间弦长。通用思路是联立直线与抛物线方程，消元得到一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，代入弦长公式求值。焦点弦可以直接套用焦点弦专用公式简化运算。 【结论】 设直线与抛物线交于两点 通用弦长公式 若直线斜率存在为 如果消元得到关于 的方程： 若直线斜率不存在，直线垂直 x 轴，直接代入横坐标求出两个纵坐标，相减取绝对值即可得到弦长。 【例4】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【变式4-1】（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【变式4-2】（25-26高二下·上海·期中）若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 【变式4-3】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【题型五】 动点最值模型 【模型解读】 抛物线上存在动点，结合定点、焦点、准线，求距离、距离之和、距离之差、面积的最值。核心两种思路：一是抛物线定义转化距离，借助几何性质（垂线段最短）求最值；二是设抛物线上动点坐标，写出目标函数，转化为函数求值域、最值。 【结论】 以 举例 1.到焦点与定点距离最小：利用定义将到焦点距离转为到准线距离，过定点向准线作垂线，垂线与抛物线交点即为取到最小值的动点。 2.抛物线上动点到直线距离最值：设抛物线上点，点到直线距离公式写出表达式，转化二次函数求最值；也可以设与已知直线平行且和抛物线相切的直线，两平行线距离就是最值。 3.三角形面积最值：固定一条弦作为底边，面积等价于动点到底边距离，转化为点线距离最值。 【例5】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【变式5-1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【变式5-2】（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【变式5-3】（26-27高三·全国·一轮复习）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 【题型六】直线与抛物线相切模型 【模型解读】 研究直线与抛物线相切，联立之后方程有且仅有一个公共点。注意区别：直线和抛物线只有一个交点不一定相切，平行于抛物线对称轴的直线与抛物线相交也只有一个交点，不是切线，这个是极易混淆的坑点。 【结论】 以 1.切线判定：联立直线与抛物线，消元之后，若得到二次方程，则 代表相切；若消元之后变成一次方程，代表直线平行对称轴，相交不是切线。 2.切线方程 过抛物线上一点 的切线方程： 3.切线长、切点弦：抛物线外一点 ，向抛物线引两条切线，两个切点连线叫做切点弦，切点弦方程同样为： 4.光学性质：从焦点发出光线经抛物线反射之后平行对称轴，填空偶尔考察。 【例6】（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 【变式6-2】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【变式6-3】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线经过点，其标准方程为_______. 技巧 一句话要点 解决抛物线上点到焦点距离问题 ——"定义转化法" 利用抛物线定义把焦半径转化为点到准线的距离，快速处理距离最值。 求抛物线标准方程——“标准式定位法” 先判断焦点所在坐标轴与开口方向，再设对应形式，避免方程设错。 判断直线与抛物线交点个数——“判别式分类法” 联立方程后，先讨论二次项系数是否为0，再用判别式判断交点，防止漏掉平行对称轴的情况。 解决弦中点斜率问题——点差法 设出弦两端点坐标，两式作差直接求出直线斜率，运算简洁，算出后必须检验弦是否存在。 计算抛物线弦的长度——弦长公式法 优先选用含纵坐标的弦长公式，减少根式运算，提升计算速度。 焦点弦长度计算——"焦半径公式法" 根据开口方向选用对应焦半径公式，焦点弦长可直接用两点横坐标之和加p。 抛物线几何最值问题——“坐标转化法” 把线段、距离最值转化为横坐标或纵坐标的函数，结合定义域求出最值。 直线与抛物线综合大题——"设而不求法" 联立方程后只保留根与系数关系，不求出具体根，简化复杂计算。 判断函数增减性与参数范围 ——"对称轴分析法" 抓住对称轴位置，划分单调区间，快速比较抛物线上点的函数值大小。 抛物线定点定值探究题——定点定值验证法 先取特殊直线求出定点，再代入一般式子完成证明，避免盲目推导。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $