专题01 空间向量与立体几何（知识&考点&公式&14高频&5易错&3重难&5模型，期中知识清单）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 公式清单(9类) 辨析清单(9类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 空间向量及其线性运算 1. 空间向量 在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 ．空间向量也可用 表示，有向线段的 表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． 2. 零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做 ，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． 3. 相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为 ．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． 4. 空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 5. 数乘运算 实数与空间向量的 称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． 6. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． 7. 共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． 8. 共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 9. 直线的方向向量 如图所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使 ①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． 10. 共面向量 如图所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做 ． 11.共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 ． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点02 空间向量的数量积运算 1. 两向量夹角 已知两个 向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 2. 数量积定义 已知两个 向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 3. 空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点03 空间向量的坐标运算及应用 1. 设，，则； ； ； ； ； ． 2. 设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的 的 的坐标减 的坐标． 3. 两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则 ； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 4. 向量在向量上的投影为． 知识点04 向量法证明平行、垂直 1. 平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的 ． 注意： ①法向量一定是 向量；②一个平面的所有法向量都 ；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． 2. 判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． 3. 平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点05 空间角与距离公式 1.用向量法研究空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则 ，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则 . （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则 ，如图b，c. 2.用向量法研究空间距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （3）点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距 离为 （如图）. （4）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量． 1 . 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为 的向量,记为0 单位向量 模为 的向量 相反向量 与向量a长度相等而方向 的向量,记为-a 相等向量 方向 且模 的向量 2. 空间向量的线性运算 加法 a+b=+= 减法 a-b=-= 数乘 当λ>0时,λa=λ=; 当λ<0时,λa=λ=; 当λ=0时,λa=0 运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a; 分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 3. 空间向量的数量积 定义 两个非零向量a,b,则|a||b|cos <a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b= 性质 a⊥b⇔ ; a·a=|a||a|cos <a,a>= 运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a(交换律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 4. 空间向量运算的坐标表示 　设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R 数量积 a·b= 5. 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 　设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行 ab(b≠0)⇔a=λb⇔ 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔ (a,b均为非零向量) 模 |a|== 夹角 cos <a,b>=(a≠0,b≠0)= 6. 空间平行关系的向量表示 线线平行 设u1,u2 分别是不重合的直线l1,l2 的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔ ,使得 u1=λu2 线面平行 设u 是直线l 的方向向量,n是平面α 的法向量,l⊄α,则l∥α⇔ ⇔u·n=0 面面平行 设n1,n2 分别是不重合的平面α,β 的法向量,则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 7. 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1,l2 的方向向量分别为u1,u2, 则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ 线面垂直 设直线l 的方向向量为u,平面α 的法向量为n,则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R,使得u=λn 面面垂直 设平面α,β 的法向量分别为n1,n2, 则α⊥β⇔ ⇔n1·n2=0 8. 空间距离的向量求法 分类 向量求法 点线距 设直线l的单位方向向量为u,A∈l,P∉l,设=a,则点P到直线l的距离d= 点面距 已知平面α的法向量为n,A∈α,P∉α,则点P到平面α的距离d= 9. 空间角的向量求法 角 向量求法 异面直线所成的角 设l1与l2的方向向量分别为u,v,则cos θ= = 直线与平面所成的角 设l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ= = 平面与平面的夹角 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cos θ= = 辨析01 空间向量不是空间中的一条有向线段 有向线段是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来. 辨析02 不相等的两个空间向量的模可能相等. 不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可. 辨析03 两个有公共终点的向量不一定是共线向量. 方向相同或相反的向量称为共线向量,只终点相同,不能确定向量的方向. 辨析04 若点A,B是平面α上的任意两点,n是平面α的法向量,则·n=0. 因为点A,B是平面α上的任意两点,n是平面α的法向量,所以⊥n,所以·n=0. 辨析05 两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直. 根据直线的方向向量和线线垂直的定义可知,当两直线垂直时,两直线的方向向量也垂直,当两直线的方向向量垂直时,两直线垂直, 辨析06 直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. 根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义可知,直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直, 辨析07 若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. 若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离等于平面α内某条直线到平面β的距离,也等于平面α内某点到平面β的距离. 辨析08 异面直线l1与l2,在l1上任取一点P,在l2上任取一点Q,则||的最小值就是l1与l2的距离. 异面直线l1与l2,在l1上任取一点P,在直线l2上任取一点Q,根据异面直线的距离的定义可知,||的最小值就是l1与l2的距离. 辨析09 两条异面直线所成的角的余弦值一定是非负值. 两条异面直线所成的角的范围是(0,,其余弦值是非负值. 【题型一】 空间向量的有关概念理解 解题策略： 选项多为对单个或多个概念的表述（如“零向量与任意向量共线”“空间中模相等的向量相等”等），需判断对错．其解题步骤分两步： 第一步：圈出选项中的“关键词”，对照定义验证是否遗漏或篡改定义条件； 第二步：对模糊选项，构造“反例”与“特例”验证． 【例1】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式1-1】（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【变式1-2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【变式1-3】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【题型二】 空间向量的线性运算 解题策略： 向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 【例2-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-2】（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【题型三】 空间向量的线性表示 解题策略： 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例3】（26-27高二上·宁夏·阶段检测）在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27高二上·四川南充·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27高二上·江西·期中）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【题型四】 空间向量基本定理及应用 解题策略： 本题型的核心是利用定理将空间任意向量分解为三个不共面向量的线性组合，将“空间任意向量”转化为“基底向量的线性组合”，实现“复杂向量→简单基底”的转化，为后续计算（如向量的模、点积、参数求解）提供依据．几何体中选基底技巧：优先选“从同一顶点出发、不共面的三条棱” ． 【例4】（26-27高二上·河北·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-4】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型五】 空间向量共线定理及应用 解题策略： 证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 【例5】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知向量，，且，则（    ） A．4 B． C． D．2 【变式5-1】（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【变式5-2】（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【变式5-3】（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【变式5-4】（25-26高二上·北京西城·期末）下列各组空间向量中不平行的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型六】 空间向量的共面定理及应用 解题策略： 量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 【例6】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式6-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（    ） A． B．－ C．2 D．－2 【变式6-2】（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【变式6-3】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【题型七】 空间向量的数量积问题 解题策略： 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 【例7-1】（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则______．    【例7-2】（26-27高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【变式7-1】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C． D．0 【变式7-2】 若是一个单位正交基底，且，则（    ） A．7 B． C．3 D．28 【变式7-3】（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【变式7-4】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C．2 D． 【题型八】 空间中的点坐标对称问题 解题策略： （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 【例8-1】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例8-2】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____． 【变式8-2】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（26-27高二上·河北·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式8-5】（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【变式8-6】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 【题型九】 利用空间向量证明平行垂直 解题策略： 1、利用空间向量证明平行的方法 （1）线线平行：证明两直线的方向向量共线． （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． （3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2、利用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 【例9-1】（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 【例9-2】（2026·广东广州·模拟预测）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，设各棱长为． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【变式9-1】(判断题)（2027高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是异面垂直．( ) 【变式9-2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（     ） A．平面平面 B．平面与平面相交但不垂直 C．平面平面 D．以上均有可能 【变式9-3】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． 证明：平面． 【变式9-4】（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． 证明：平面； 【题型十】 利用空间向量求异面直线所成角 解题策略： 用向量法求异面直线所成角的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． （4）注意两异面直 【例10-1】（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 【变式10-1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二下·江苏·期中）已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【变式10-3】（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【题型十一】 利用空间向量求直线与平面所成角 解题策略： 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【例11-1】（2026·湖南永州·一模）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【例11-2】（26-27高二上·四川遂宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． 求直线与平面所成角的正弦值. 【变式11-1】（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】（26-27高二上·北京石景山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. 求直线与平面所成角的正弦值. 【变式11-3】（26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式11-4】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． (1)当时，证明：平面； (2)当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【变式11-5】（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 【题型十二】 利用空间向量求平面与平面所成角 解题策略： 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【例12】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式12-1】（26-27高三上·天津南开·阶段检测）如图，已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，M、N、P、D分别是、、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式12-2】（26-27高二上·四川遂宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． 线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【题型十三】 利用空间向量求空间距离 解题策略： （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【例13-1】（25-26高二上·四川绵阳·期末）在空间直角坐标系中，过点 ，且以 为方向向量的直线可以用方程 来表示.已知 ，点 ，点 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例13-2】（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【例13-3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【例13-4】（26-27高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A． B． C． D． 【例13-5】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【例13-6】（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】（26-27高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式13-4】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【变式13-5】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【变式13-6】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式13-7】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【题型十四】 利用空间向量研究动点问题 解题策略： 利用空间向量解决立体几何的动点问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【例14-1】（25-26高二上·全国·期末）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，，给出下列四个结论：    ①存在点，，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为. 其中所有正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例14-2】（26-27高一上·北京东城·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论，其中所有正确结论的个数是（     ） ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点，使得其到直线的距离为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式14-3】（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列选项正确的是（     ） A． B．三角形为等腰直角三角形 C．轴所在直线与平面所成角的正弦值为 D．点为平面上动点，则的最小值为 【变式14-4】（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 【题型一】忽视零向量的特殊性致错 【例1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 易错警示 在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等. 【变式1-1】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【变式1-2】（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【题型二】混淆平行直线与平行向量致错 【例2】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 易错警示 平行向量所在的直线既可能平行也可能重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零向量的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 【变式2-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式2-2】（25-26高二下·江苏连云港·期中）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【题型三】对向量同向与反向理解不清致错 【例3】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 易错警示 由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 【变式3】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【题型四】混淆向量数量积运算与实数运算致错 【例4】（26-27高二上·山东·期中）已知，则（ ） A．11 B． C．45 D．3 易错警示 在进行运算前，明确你正在使用的是哪种运算，避免将数量积与向量的模长或向量间的其他运算混淆．注意实数运算的某些运算律在向量数量积运算中不成立． 【变式4-1】（26-27高二上·河南·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【题型五】混淆二面角与面面角的大小致错 【例5】（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，顶点在底面的投影为线段的中点，已知直线与平面所成的角为，为棱上一动点． (1)求三棱锥的体积； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 易错警示 二面角的平面角的取值范围是，面面角的范围时，要正确区分两者的关系，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，避免出错． 【变式5】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【题型一】空间角 【例1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． (1)证明：为直角三角形； (2)设，求平面与平面所成角的取值范围． 【变式1-1】（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，， 分别为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若 ，动点在平面内，且，求的最大值； (3)若，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【变式1-2】（26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在长方体中，. 若在上存在点，使得平面. (1)求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【题型二】空间距离 【例2-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【题型三】动点问题 【例3】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 【变式3-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【变式3-2】（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记（）． (1)求的长； (2)为何值时，的长最小？并求出的最小值. (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【题型一】面面垂直模型 【模型解读】 1.几何特征：有一组面面垂直，底面、侧面为不规则图形（梯形、任意三角形） 2.建系步骤： ①两平面交线定为X轴； ②在其中一个平面内，作交线垂线为y轴； ③利用面面垂直性质，过垂足作另一平面垂线为z轴. 【例1】（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式1-1】（2026·贵州贵阳�模拟预测）如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 【变式1-2】（2026·云南红河·模拟预测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答． ①； ②； 是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【题型二】单垂线模型 【模型解读】 1、 几何特征：一条侧棱（或高线）垂直底面，但底面是任意三角形、不规则梯形. 2、 建系步骤： ①垂线垂足设为坐标原点； ②底面内过原点，任选互相垂直两条线作x、y轴； ③垂直底面的棱直接作z轴. 【例2】（26-27高二上·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【变式2-1】（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【变式2-2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，，，且与平面所成角为30°. （ⅰ）当时，求三棱锥的体积； （ⅱ）当取最大值时，求二面角的余弦值. 【题型三】斜棱柱型（无侧面垂直底面、无侧棱垂直底面） 【模型解读】 1、几何特征：斜三棱柱、平行六面体，侧棱不垂直底面，整体倾斜. 2、建系步骤： ①底面顶点为原点，底面两条邻边为x、y轴； ②侧棱单独设空间向量，利用棱长、夹角算竖坐标； ③无垂直轴，靠解三角形补长度. 【例3】（2024·河南·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式3-1】（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.    (1)当时，证明：平面平面. (2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【变式3-2】（2026·陕西榆林�模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． (1)证明：侧面为矩形； (2)若，求直线与平面夹角的正弦值． 【题型四】顶点射影确定模型 【模型解读】 1、几何特征：非正棱锥，顶点在底面射影不在中心、不在顶点，落在边上或底面内部. 2、建系步骤： ①顶点底面射影设为原点； ②过射影作底面两条互相垂直直线为x、y轴； ③顶点与射影连线（几何体的高）为z轴. 【例4】如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点. (1)证明：平面DAC； (2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值. 【变式4-1】（2026·浙江宁波�二模）在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【变式4-2】（2026·安徽铜陵·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． (1)求证：平面； (2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【题型五】翻折几何体模型 【模型解读】 1、几何特征：平面图形沿固定直线翻折，形成二面角，无原生垂直. 2、建系步骤： ① 翻折线统一设为x轴； ② 翻折前后两个平面内，分别作翻折线的垂线； ③ 两条垂线分别为y、z轴，二面角直接落在yOz平面. 【例5】（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【变式5-1】（2026·湖北�二模）如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求二面角的余弦值. 【变式5-2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，梯形中，AB和CD是梯形的高，，，，将和沿AB和CD折起，使和重合于点P，如图2. (1)求证：平面； (2)M是BC上的动点，连接AM，PM，作于H，连接CH. ①若M是BC中点，求平面AHC与平面PAD夹角的余弦值； ②当CH最短时，求BM的长. 技巧 一句话要点 求空间向量坐标——"先建系，再坐标" 先建立空间直角坐标系，明确原点与各轴方向，再写出各点坐标，注意坐标的符号与顺序。 判断向量共线——"对应坐标成比例" 两个非零向量共线当且仅当它们的对应坐标成比例；若坐标含零，需特别处理分母为零的情形。 求法向量——"叉乘公式法" 两不共线向量的叉乘结果即为平面的法向量；叉乘可通过行列式计算，注意方向选择。 求异面直线夹角——"转化为向量角" 先求两直线的方向向量，夹角的余弦值取绝对值，注意异面直线夹角范围为(0°, 90°]。 求线面角——"直线与法向量夹角" 线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，注意线面角的范围为[0°, 90°]。 求二面角——"法向量夹角判断" 二面角的大小可由两平面法向量的夹角确定，需结合图形判断是锐角还是钝角，不可直接取绝对值。 求点到平面距离——"向量投影法" 从该点向平面任一点作向量，其在法向量方向上的投影绝对值即为点到平面的距离。 判断线面平行——"方向向量与法向量垂直" 直线方向向量与平面法向量的数量积为零，且直线不在平面内，则线面平行。 判断线面垂直——"方向向量与法向量平行" 直线方向向量与平面法向量平行，即方向向量是法向量的倍数，则线面垂直。 判断面面平行——"两法向量平行" 两平面法向量平行，则两平面平行；注意排除重合的情形。 判断面面垂直——"两法向量垂直" 两平面法向量的数量积为零，则两平面垂直。 求线段中点坐标——"坐标平均数法" 线段两端点坐标的对应分量取平均值，即得中点坐标。 求向量共面判断——"混合积为零" 三个向量共面当且仅当它们的混合积（行列式）为零，可通过计算验证四点共面。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 公式清单(9类) 辨析清单(9类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 空间向量及其线性运算 1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． 2. 零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． 3. 相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． 4. 空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 5. 数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． 6. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． 7. 共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． 8. 共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 9. 直线的方向向量 如图所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． 10. 共面向量 如图所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 11.共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点02 空间向量的数量积运算 1. 两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 2. 数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 3. 空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点03 空间向量的坐标运算及应用 1. 设，，则； ； ； ； ； ． 2. 设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3. 两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则 ； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 4. 向量在向量上的投影为． 知识点04 向量法证明平行、垂直 1. 平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． 2. 判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． 3. 平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点05 空间角与距离公式 1.用向量法研究空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 2.用向量法研究空间距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （3）点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. （4）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 1 . 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量,记为0 单位向量 模为1的向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,记为-a 相等向量 方向相同且模相等的向量 2. 空间向量的线性运算 加法 a+b=+= 减法 a-b=-= 数乘 当λ>0时,λa=λ=; 当λ<0时,λa=λ=; 当λ=0时,λa=0 运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a; 分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 3. 空间向量的数量积 定义 两个非零向量a,b,则|a||b|cos <a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos <a,b> 性质 a⊥b⇔a·b=0; a·a=|a||a|cos <a,a>=|a|2 运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a(交换律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 4. 空间向量运算的坐标表示 　设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 5. 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 　设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行 ab(b≠0)⇔a=λb⇔ 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量) 模 |a|== 夹角 cos <a,b>=(a≠0,b≠0)= 6. 空间平行关系的向量表示 线线平行 设u1,u2 分别是不重合的直线l1,l2 的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得 u1=λu2 线面平行 设u 是直线l 的方向向量,n是平面α 的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0 面面平行 设n1,n2 分别是不重合的平面α,β 的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 7. 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1,l2 的方向向量分别为u1,u2, 则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0 线面垂直 设直线l 的方向向量为u,平面α 的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn 面面垂直 设平面α,β 的法向量分别为n1,n2, 则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0 8. 空间距离的向量求法 分类 向量求法 点线距 设直线l的单位方向向量为u,A∈l, P∉l,设=a,则点P到直线l的距离d= 点面距 已知平面α的法向量为n,A∈α,P∉α,则点P到平面α的距离d= 9. 空间角的向量求法 角 向量求法 异面直线所成的角 设l1与l2的方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos<u,v>|= 直线与平面所成的角 设l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|= 平面与平面的夹角 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cos θ=|cos<n1,n2>|= 辨析01 空间向量不是空间中的一条有向线段 有向线段是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来. 辨析02 不相等的两个空间向量的模可能相等. 不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可. 辨析03 两个有公共终点的向量不一定是共线向量. 方向相同或相反的向量称为共线向量,只终点相同,不能确定向量的方向. 辨析04 若点A,B是平面α上的任意两点,n是平面α的法向量,则·n=0. 因为点A,B是平面α上的任意两点,n是平面α的法向量,所以⊥n,所以·n=0. 辨析05 两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直. 根据直线的方向向量和线线垂直的定义可知,当两直线垂直时,两直线的方向向量也垂直,当两直线的方向向量垂直时,两直线垂直, 辨析06 直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. 根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义可知,直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直, 辨析07 若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. 若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离等于平面α内某条直线到平面β的距离,也等于平面α内某点到平面β的距离. 辨析08 异面直线l1与l2,在l1上任取一点P,在l2上任取一点Q,则||的最小值就是l1与l2的距离. 异面直线l1与l2,在l1上任取一点P,在l2上任取一点Q,根据异面直线的距离的定义可知,||的最小值就是l1与l2的距离. 辨析09 两条异面直线所成的角的余弦值一定是非负值. 两条异面直线所成的角的范围是(0,,其余弦值是非负值. 【题型一】 空间向量的有关概念理解 解题策略： 选项多为对单个或多个概念的表述（如“零向量与任意向量共线”“空间中模相等的向量相等”等），需判断对错．其解题步骤分两步： 第一步：圈出选项中的“关键词”，对照定义验证是否遗漏或篡改定义条件； 第二步：对模糊选项，构造“反例”与“特例”验证． 【例1】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 【变式1-1】（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【答案】A 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合，根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 【变式1-2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 【变式1-3】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【题型二】 空间向量的线性运算 解题策略： 向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 【例2-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 【变式2-1】（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 【变式2-2】（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 【题型三】 空间向量的线性表示 解题策略： 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例3】（26-27高二上·宁夏·阶段检测）在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，. . 【变式3-1】（26-27高二上·四川南充·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 则 【变式3-2】（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知. 【变式3-3】（26-27高二上·江西·期中）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】、分别为、的中点，若，，， . 【题型四】 空间向量基本定理及应用 解题策略： 本题型的核心是利用定理将空间任意向量分解为三个不共面向量的线性组合，将“空间任意向量”转化为“基底向量的线性组合”，实现“复杂向量→简单基底”的转化，为后续计算（如向量的模、点积、参数求解）提供依据．几何体中选基底技巧：优先选“从同一顶点出发、不共面的三条棱” ． 【例4】（26-27高二上·河北·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 【变式4-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，所以. 因为四边形为平行四边形，所以， 所以. 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 【变式4-2】（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 【变式4-3】（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 【变式4-4】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 【题型五】 空间向量共线定理及应用 解题策略： 证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 【例5】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知向量，，且，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 所以，解得，所以. 故选：A. 【变式5-1】（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 【变式5-2】（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一的使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误. 【变式5-3】（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 【变式5-4】（25-26高二上·北京西城·期末）下列各组空间向量中不平行的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以，A错误； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：因为，所以与不平行，C正确； 对于D：因为，所以，D错误. 故选：C. 【题型六】 空间向量的共面定理及应用 解题策略： 量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 【例6】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 由空间向量基本定理得：， 方程组无解，所以，，不共面. 【变式6-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（    ） A． B．－ C．2 D．－2 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 又动点D在所在的平面内运动，所以，解得． 【变式6-2】（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 【变式6-3】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由与共线，所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 【题型七】 空间向量的数量积问题 解题策略： 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 【例7-1】（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则______．    【答案】 【详解】 由图可知；； 则. 【例7-2】（26-27高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【详解】（1）由可得， 故. （2）易得，又，且， 则向量在向量上的投影向量为. 【变式7-1】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 设，因为，所以，得， 则， 因为，关于点处的南北方向（即轴方向）对称， 所以，，得，则， 则 【变式7-2】 若是一个单位正交基底，且，则（    ） A．7 B． C．3 D．28 【答案】B 【详解】由题意可得，故. 【变式7-3】（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【详解】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为. 【变式7-4】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为向量，，所以， ； 所以，在方向上的投影向量的模为. 【题型八】 空间中的点坐标对称问题 解题策略： （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 【例8-1】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于轴对称的坐标变换规律为： 竖坐标保持不变，横坐标、纵坐标均变为原坐标的相反数， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 【例8-2】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，若两点关于平面对称，则两点的坐标、坐标分别相等，坐标互为相反数， 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 【变式8-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____． 【答案】 【详解】依题意，点关于平面对称的点的坐标为． 【变式8-2】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于轴的对称点的坐标：不变，变相反数，所以点关于轴的对称点的坐标为. 【变式8-3】（26-27高二上·河北·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 在空间直角坐标系中，点关于平面对称时，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为. 【变式8-4】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 【变式8-5】（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 【变式8-6】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 【题型九】 利用空间向量证明平行垂直 解题策略： 1、利用空间向量证明平行的方法 （1）线线平行：证明两直线的方向向量共线． （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． （3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2、利用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 【例9-1】（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则， 则. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 平面的法向量. （2）由（1）得. 则. 所以. 所以，即. 又因为，平面， 所以平面. 【例9-2】（2026·广东广州·模拟预测）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，设各棱长为． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【详解】(1)由题可知，底面，为正的中心， 又正的边长为，所以， ， 以为原点，为轴，过作平行于直线为轴，为轴建立空间直角坐标系： ， ， ， 所以，结合已知可得， 平面，平面， 由线面平行判定定理，平面. (2)， ， ， ，平面， 故平面. 【变式9-1】(判断题)（2027高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是异面垂直．( ) 【答案】正确 【详解】设正方体棱长为. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 因为， 所以，即. 结合图形易知与不平行且不相交，所以与为异面直线. 综上，直线，的位置关系是异面垂直. 【变式9-2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（     ） A．平面平面 B．平面与平面相交但不垂直 C．平面平面 D．以上均有可能 【答案】A 【详解】设平面的法向量为， 可得： 令，得，，即， 因为平面的法向量，所以与为共线向量，又已知两平面不重合， 故平面平面. 【变式9-3】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． 证明：平面． 【详解】证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． 【变式9-4】（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． 证明：平面. 【详解】取的中点，连接，； 因为，分别为，的中点，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【题型十】 利用空间向量求异面直线所成角 解题策略： 用向量法求异面直线所成角的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． （4）注意两异面直 【例10-1】（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ， 所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 【例10-2】（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）设， 因为且，， 所以，，又， ∴， ，即， 所以， 所以； （2）连接，交于点H，连接， ∵菱形，∴， 又，所以. 又，，平面，所以平面. ∴为与平面所成的角， 又， ， ∴， 又，， ∴，所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 【变式10-1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 【变式10-2】（25-26高二下·江苏·期中）已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式10-3】（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）设点的坐标为； ，，，. 点在棱上，，即； ，即. ，，，； ，，即，整理得，解得或. ，； ，即点的坐标为. （2）设异面直线与所成角为； 由，，，，得，. ； 异面直线与所成角的余弦值为. 【题型十一】 利用空间向量求直线与平面所成角 解题策略： 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【例11-1】（2026·湖南永州·一模）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意 ，取为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，平面为平面. 设 ，其中即点到底面的高. 因为，所以. 记，展开上式得①. 向量，向量， 则②. 将①代入②得：. 取正根：，，， 令，. 由球表面积. 底面为直角三角形，外心在中点，故球心为. 由，得. 由，展开化简得：，代入，与联立， 消去：. 舍去退化情形，取：. 设与平面所成角为，则： . 【例11-2】（26-27高二上·四川遂宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． 求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在正方体中，以点为原点，分别以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，令，， 所以平面的法向量为， ， ， 设直线与平面所成角为， 所以 则直线与平面所成角的正弦值为. 【变式11-1】（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 【变式11-2】（26-27高二上·北京石景山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. 求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由平面，，则以点为坐标原点， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式11-3】（26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】(1)证明：取的中点，连接， 因为为边长为的等边三角形，所以，且， 又因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且 在中，因为，且， 可得，所以，即， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知：平面，且， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式11-4】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． (1)当时，证明：平面； (2)当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【详解】(1)取的中点O，连接，，有， 因为平面， 平面，所以， 又， 为平面内两条相交直线，所以平面， 当时，M为的中点，又O为的中点，则是梯形的中位线， 所以，且，又，且， 所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，又平面， 所以平面； （2）由题意，不妨设，则，， 以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系， 有，，，，，， 由，解得， 所以，，， 设平面的法向量，与平面所成角为， 则，所以，取为方程组的一组解， 即， 所以，解得． 【变式11-5】（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）由四边形为正方形，且为正方形的中心，所以， 正方形纸片沿对角线折成直二面角，可得平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 因为，分别为和的中点，可得，， 所以，且， 可得，且 设异面直线与的夹角为，则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. （2）因为平面，即轴与平面垂直， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知：向量， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【题型十二】 利用空间向量求平面与平面所成角 解题策略： 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【例12】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】(1)证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． （2）易得，，两两垂直．设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【变式12-1】（26-27高三上·天津南开·阶段检测）如图，已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，M、N、P、D分别是、、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】(1)因为、分别是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 在直三棱柱中，且， 又因为，分别是、的中点，所以且， 故四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，平面， 又，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又，即， 以为坐标原点，直线、、分别为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，， 设平面的法向量为， 则， 取，得，，即， 易得平面的一个法向量， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式12-2】（26-27高二上·四川遂宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． 线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】在正方体中，以点为原点，分别以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 因为点在线段上，所以点、、三点共线，即， ，，， ，可得， 由（1）可知，平面的法向量为， ， 设平面的法向量为 则，即，令，， 所以平面的法向量为， ， ， 设二面角的平面角为， 所以， 得，两边平方得 整理得，解得，， 当时，，点与点重合，此时二面角的平面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意，舍去； 当时，， 综上所述，线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，点的坐标为. 【变式12-3】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【详解】(1)证明：连接,因侧面平面，平面平面, 又为等边三角形，点是的中点，则,则平面, 又平面,则. 因四边形为直角梯形，，，，， 则,由可得, 又因点为的中点，则,故,因平面, 则得平面. （2）如图取的中点，连接，易得，则， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系； 则， 故. 因平面，则可作为平面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面所成角为， 则； 【题型十三】 利用空间向量求空间距离 解题策略： （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【例13-1】（25-26高二上·四川绵阳·期末）在空间直角坐标系中，过点 ，且以 为方向向量的直线可以用方程 来表示.已知 ，点 ，点 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得， 所以直线过定点，且方向向量为. 由于点 ，所以. 所以点到直线的距离为. 所以 的最小值为. 故选：D. 【例13-2】（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 【例13-3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【例13-4】（26-27高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 【例13-5】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 【例13-6】（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正四棱锥的底面中心为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，则 ， 为侧棱的中点，故， 则， 设异面直线与的公垂线方向向量为，则 ，令，则， 故异面直线与的距离． 【变式13-1】（26-27高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又，，，， . 【变式13-2】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 【变式13-3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 【变式13-4】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【变式13-5】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 【变式13-6】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 【变式13-7】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，， ， 所以点到直线的距离. 【题型十四】 利用空间向量研究动点问题 解题策略： 利用空间向量解决立体几何的动点问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【例14-1】（25-26高二上·全国·期末）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，，给出下列四个结论：    ①存在点，，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为. 其中所有正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故选：C    【例14-2】（26-27高一上·北京东城·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论，其中所有正确结论的个数是（     ） ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点，使得其到直线的距离为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】建立空间直角坐标系， 以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为， 各点坐标： ， 为中点，， 点在侧面上，设, 在线段上，令， ， 则， ①存在点，使得对任意点，都有， ， 数量积： ， 要求对任意恒有， 则常数项、的系数必须同时为： ， 矛盾，不存在这样的，①错误； ②存在无数组点和，使得， 两向量平行：，即存在实数，满足， ， 得， 任取，都可解出对应的，满足条件， 有无穷多个取值，对应无数组，②正确； ③存在唯一的点，使得， ， 若，则必有，即， 。 不可能垂直，故不存在这样的，③错误； ④存在点，使得其到直线的距离为， ， 方向向量，， ， 点到直线距离公式： ， ， , ， 令，两边平方： ， 整理：， 判别式， 存在解，④正确； 综上，只有②，④正确，正确结论共个. 【变式14-1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 【变式14-2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 【变式14-3】（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列选项正确的是（     ） A． B．三角形为等腰直角三角形 C．轴所在直线与平面所成角的正弦值为 D．点为平面上动点，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】选项A：由已知，则； ，则； 所以，即，故A正确； 选项B：由已知，， 则，即； 又，故，即； 故是等腰直角三角形，故B正确； 选项C：设平面的法向量为， 则，即， 令，解得，，即， 所以. 设轴所在直线与平面所成角为，取轴方向向量， 则，故C错误； 选项D：点关于平面的对称点为，则， 故， 即的最小值为，故D正确. 1A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 【答案】B 【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确， 对于CD，若，则， ，方程组无解， 故与不可能平行，CD错误． 【题型一】忽视零向量的特殊性致错 【例1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 易错警示 在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等. 【变式1-1】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 【变式1-2】（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】对于A，当，不共线时，满足，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，即，三点共线，C正确； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定共面， 则存在实数，使得，于是，此方程组无解， 即不共面，因此也是空间的一个基底，D正确. 【题型二】混淆平行直线与平行向量致错 【例2】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 易错警示 平行向量所在的直线既可能平行也可能重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零向量的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 【变式2-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二下·江苏连云港·期中）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 【题型三】对向量同向与反向理解不清致错 【例3】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 易错警示 由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 【变式3】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【题型四】混淆向量数量积运算与实数运算致错 【例4】（26-27高二上·山东·期中）已知，则（ ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【详解】因为， 则， 故. 易错警示 在进行运算前，明确你正在使用的是哪种运算，避免将数量积与向量的模长或向量间的其他运算混淆．注意实数运算的某些运算律在向量数量积运算中不成立． 【变式4-1】（26-27高二上·河南·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量在向量上的投影向量为 【变式4-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因， ， 由可得，解得. 【题型五】混淆二面角与面面角的大小致错 【例5】（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，顶点在底面的投影为线段的中点，已知直线与平面所成的角为，为棱上一动点． (1)求三棱锥的体积； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）∵在三棱柱中，为在底面上的投影，∴面， ∵面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离 因为与平面所成的角为，且面， ∴， ∴ （2）以为原点，，，为，，轴，如图， 可得：，，，，， 又∵，∴，∴， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， ∴，，所以平面与平面所成角的正弦值为. 易错警示 二面角的平面角的取值范围是，面面角的范围时，要正确区分两者的关系，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，避免出错． 【变式5】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 取直线的单位方向向量， 设点到直线的距离为，则． （2）因为，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【题型一】空间角 【例1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． (1)证明：为直角三角形； (2)设，求平面与平面所成角的取值范围． 【详解】(1)证明：因为是圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 而，平面， 故平面. 因为，分别是，的中点，所以，因此平面. 又平面，所以， 即，故为直角三角形. (2) （2）由，得，. 如图所示，以为坐标原点，以，平面内过点垂直的直线，过点且垂直于平面的直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，不妨设， 则，，. 平面的法向量可取，设平面的法向量为 又，， 则，令，则， 则. 设两个平面夹角为，则 令，则，， 即， 从而，又平面夹角为，所以， 故夹角取值范围为. 【变式1-1】（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，， 分别为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若 ，动点在平面内，且，求的最大值； (3)若，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【详解】(1)因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为分别为的中点，所以，所以， 又因为，所以，又，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）连接交于点，连接，过作于， 因为，为的中点，所以为的中点，且为的中点， 又为的中点，所以，，又， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以， 由（1）知平面平面，平面平面，， 所以平面，又动点在平面内，所以平面， 所以，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，所以在圆上，所以的最大值为； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 【变式1-2】（26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在长方体中，. 若在上存在点，使得平面. (1)求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则. 设，则. 因为平面，所以， 所以，解得， 所以，. （2）由（1）得， 设平面的法向量为， 则， 令，则. 所以平面的法向量为. 是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以. 【题型二】空间距离 【例2】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为点, 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，所以， 所以点P到平面的距离为． 【变式2】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【详解】(1)在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【题型三】动点问题 【例3】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 【详解】(1)以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为， 各点坐标： 是中点：， 向量：， ， 两向量点积：， ，即. （2）设直线与平面所成角，，是平面法向量， 平面的向量：， 设平面法向量， ，令，取， ， ， ， . （3）平面是底面，法向量可取， 平面：， 向量，设平面法向量， ，又第一式：，代入第二式： ，令，取， ， 锐二面角余弦值为. 【变式3-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【详解】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 【变式3-2】（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记（）． (1)求的长； (2)为何值时，的长最小？并求出的最小值. (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直， 所以两两互相垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，且，所以，， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 则. （2）由 (1) 得，即， 当且仅当时取等号，且，符合题意.此时的最小值为. （3）当的长最小时，，此时，， ，， 设平面 的法向量为， 则，即，取，则， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则， 设平面与平面的夹角为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【题型一】面面垂直模型 【模型解读】 1.几何特征：有一组面面垂直，底面、侧面为不规则图形（梯形、任意三角形） 2.建系步骤： ①两平面交线定为X轴； ②在其中一个平面内，作交线垂线为y轴； ③利用面面垂直性质，过垂足作另一平面垂线为z轴. 【例1】（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为，，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 又四边形为菱形，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以. (2) 【分析】（1）先由勾股定理得，结合面面垂直推出平面，得到，再利用菱形性质得，由线面垂直判定证平面，最后由线面垂直性质得到； （2）先取中点，利用面面垂直证明平面，建立空间直角坐标系求出各点坐标，再求出两个平面的法向量，借助法向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取中点，因为，所以为等边三角形，， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 因为平面平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量，则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 【变式1-1】（2026·贵州贵阳�模拟预测）如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，结合四边形是平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）是直径，， 平面，， 平面， 平面， ，， ∴四边形是平行四边形， 则，平面， 平面， ∴平面平面； （2） 依题意，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， ， ∴面与面所成的二面角的正弦值. 【变式1-2】（2026·云南红河·模拟预测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答． ①； ②； 是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据题意可得，结合面面垂直的性质分析证明即可； （2）建系并标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设（），可得，，若选①：根据空间向量的数量积运算求解；若选②：可得，结合模长公式运算求解. 【详解】（1）因为，，则，即． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接， 因为为等边三角形，且，则，且， 以为坐标原点，，，平行的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，， 设面的一个法向量为，则， 令，得，，可得； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，可得； 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． （3）由（2）可知，， 因为点在线段上，设（），则（）， 因为，， 若选①：存在一点，使得， 理由如下：因为，解得或（舍去）， 所以当为线段的中点时，． 若选②：存在一点，使得， 理由如下：因为， 可得， 又因为，即，解得或（舍去）， 因此当为线段的中点时，． 【题型二】单垂线模型 【模型解读】 1、 几何特征：一条侧棱（或高线）垂直底面，但底面是任意三角形、不规则梯形. 2、 建系步骤： ①垂线垂足设为坐标原点； ②底面内过原点，任选互相垂直两条线作x、y轴； ③垂直底面的棱直接作z轴. 【例2】（26-27高二上·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1) (2)（i）证明：由，，可得， 而，则， 又，可得，则，而， 所以，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，因此平面平面． （ii）或 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式求解即可； （2）（i）利用空间向量证明，由平面可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理求证即可； （ii）利用面面角的空间向量公式建立方程求解即可. 【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）（i）略 （ii）设，，而，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 又平面的法向量为， 所以， 化简整理得：，解得或，即或． 【变式2-1】（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】(1)证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2)． (3)点N为上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，结合及线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2）设（），分别求出平面与平面的法向量，，利用，求出的值，即可得点的位置. 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 【变式2-2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，，，且与平面所成角为30°. （ⅰ）当时，求三棱锥的体积； （ⅱ）当取最大值时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)已知平面，且平面，因此， 又，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，结合可得平面，进而根据面面垂直的判定定理求证即可； （2）（ⅰ）找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解即可； （ⅱ）建立空间直角坐标系，表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 因为平面，所以， 由，，为等腰直角三角形，因此， 又因为，平面，，所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为30°，所以. 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以， 所以三棱锥体积为. （ⅱ）过点作平面，垂足为，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 故，即，令，则，，所以. 由直线与平面的夹角为30°， 得， 整理得，则， 进而有， 由基本不等式得，， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的最大值为， 此时，，，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，，所以. 平面的一个法向量. 设二面角为， 则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为. 【题型三】斜棱柱型（无侧面垂直底面、无侧棱垂直底面） 【模型解读】 1、几何特征：斜三棱柱、平行六面体，侧棱不垂直底面，整体倾斜. 2、建系步骤： ①底面顶点为原点，底面两条邻边为x、y轴； ②侧棱单独设空间向量，利用棱长、夹角算竖坐标； ③无垂直轴，靠解三角形补长度. 【例3】（2024·河南·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）连接，因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，，所以，所以， 点为线段中点，所以，在中，，， 所以，则， 又，平面，平面，所以平面. （2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示， 则， 则，， 设面的法向量为，面的法向量 为，则，取，则 取，则. 设二面角大小为， 则，所以二面角的正弦值为. 【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，， ，，， ，，．        设是平面的法向量，则，即，可取． 设是平面的法向量，则，即，可取．       所以．因此二面角的正弦值为．      【变式3-1】（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.    (1)当时，证明：平面平面. (2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）先证平面，再由得平面，进而可证面面的垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据两个平面夹角的余弦值可得所求值. 【详解】（1）当时，，则点是的中点. 又因为，，且为的中点，所以. 因为点在底面上的投影为的中点，所以平面， 又因为平面，所以. 由，，，平面，所以平面. 又因为为的中点，点是的中点，连接，所以且，    所以四边形是平行四边形，所以，且平面， 所以平面，且平面，所以平面平面. （2）由（1）解析知， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图.    因为，得，， 所以， 因为平面在坐标平面内，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，， 由，得， 令，则可得 所以， 化简得，即， 解得或均符合题意， 故的值为或. 【变式3-2】（2026·陕西榆林�模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． (1)证明：侧面为矩形； (2)若，求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面平行的传递性可得平面，从而可得，根据等腰可得，故可证明平面，从而可得，根据平行关系可得，从而可证侧面为矩形． （2）以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求线面角的正弦值. 【详解】（1）如图，连接，由题知，是的中点，∴， ∵平面，而平面平面，∴平面， 又平面，∴． 又，，平面，∴平面， 又平面，∴． ∵分别是，的中点，∴，∴． ∴侧面为矩形． （2）连接，以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 易知，，， ∴，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取． ∴， ∴直线与平面夹角的正弦值为． 【题型四】顶点射影确定模型 【模型解读】 1、几何特征：非正棱锥，顶点在底面射影不在中心、不在顶点，落在边上或底面内部. 2、建系步骤： ①顶点底面射影设为原点； ②过射影作底面两条互相垂直直线为x、y轴； ③顶点与射影连线（几何体的高）为z轴. 【例4】如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点. (1)证明：平面DAC； (2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接BO并延长交AC于点E，连接OA，DE， 因为是在平面ABC上的投影， 所以平面，，平面ABC，所以，， 又，所以，即，所以， 又，即， 所以，， 所以，所以， 即，所以为BE的中点， 又为DB的中点，所以， 又平面，平面DAC， 所以平面DAC； （2）过点A作，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 又点正好落在的角平分线上， 所以，所以， 所以，，则， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面AMB的一个法向量为， 则，令则， 所以. 设平面AMC的一个法向量为， 则， 令，则，，所以. 所以. 设二面角的大小为，则， 所以， 即二面角的正弦值为. 【变式4-1】（2026·浙江宁波�二模）在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）根据余弦定理，求出几何体各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由向量共线的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，求出参数值，求出结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，又为的中点，则. 取的中点，显然有. 因为，则在中，， 由余弦定理可得， 可得，所以， 所以，，，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 （2）如图所示，连接，因为，所以， 由（1）可知，两两相互垂直， 则以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故. 记在上的射影点为， 设， 可得， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且. 【变式4-2】（2026·安徽铜陵·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． (1)求证：平面； (2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，由平面求出点坐标，再求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以， 又因为与相交于点，平面， 所以平面. （2）因为，为的中点， 所以，所以、、两两相互垂直， 以点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为为菱形，， 所以为等边三角形， ，， 在中，. 所以 ，设， 则，， 因为平面， 所以，则， ， 解得，故， 因为平面， 所以取平面的法向量， 因为，设平面的法向量， 则，即， 可设， 设平面与平面的夹角为， 则. 【题型五】翻折几何体模型 【模型解读】 1、几何特征：平面图形沿固定直线翻折，形成二面角，无原生垂直. 2、建系步骤： ① 翻折线统一设为x轴； ② 翻折前后两个平面内，分别作翻折线的垂线； ③ 两条垂线分别为y、z轴，二面角直接落在yOz平面. 【例5】（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【详解】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则， 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则， 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为． （2）设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为， 由线面角公式， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 【变式5-1】（2026·湖北�二模）如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，取的中点，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由和，得到，结合三棱锥的体积为，列出方程，求得，再由面面垂直的性质，证得即为直线与平面所成角，即可求解； （ii）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由菱形的边长为，且，可得和都是等边三角形， 现将沿折起，可得，为等边三角形， 如图所示，取的中点，连接，，可得，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）（i）由（1）知平面，可得， 又由，，所以是二面角的平面角，即， 因为菱形的边长为，可得， 又因为三棱锥的体积为，可得， 解得，所以或， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上， 所以即为直线与平面所成角， 所以直线与平面所成角为或； （ii）因为，所以，且， 过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴， 建立空间直角坐标系，可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 可得， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【变式5-2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，梯形中，AB和CD是梯形的高，，，，将和沿AB和CD折起，使和重合于点P，如图2. (1)求证：平面； (2)M是BC上的动点，连接AM，PM，作于H，连接CH. ①若M是BC中点，求平面AHC与平面PAD夹角的余弦值； ②当CH最短时，求BM的长. 【答案】(1)由折叠性质可知,，且原梯形中，故折叠后； 是梯形的高，因此为矩形，得，且, 在中，，由勾股定理逆定理得, 又，且平面，根据线面垂直判定定理，可得平面; (2)①;②当最短时，. 【分析】（1）由折叠性质直接得到，用勾股定理逆定理证明，由线面垂直判定定理，通过两条相交直线证得结论；（2）①建立空间直角坐标系，利用垂直条件求出垂足的坐标，分别确定两个平面的法向量，用空间向量夹角公式计算二面角的余弦值； ②设为参数，用表示点坐标，将长度转化为关于的函数，通过求导找函数最小值点，得到的长度. 【详解】（1）略 （2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 由是中点，得， 设，则，，， 由得，即，因此， 平面的一个法向量是， 设平面的法向量为，由、，得，令，解得， 设平面AHC与平面PAD夹角为，则， 所以若M是BC中点，平面AHC与平面PAD夹角的余弦值是； ②设（），则，设，则， 由得，解得，因此， ，则可化简为， 令，，令，即，解得正根， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以为极小值点即最小值点，故当最短时，. 技巧 一句话要点 求空间向量坐标——"先建系，再坐标" 先建立空间直角坐标系，明确原点与各轴方向，再写出各点坐标，注意坐标的符号与顺序。 判断向量共线——"对应坐标成比例" 两个非零向量共线当且仅当它们的对应坐标成比例；若坐标含零，需特别处理分母为零的情形。 求法向量——"叉乘公式法" 两不共线向量的叉乘结果即为平面的法向量；叉乘可通过行列式计算，注意方向选择。 求异面直线夹角——"转化为向量角" 先求两直线的方向向量，夹角的余弦值取绝对值，注意异面直线夹角范围为(0°, 90°]。 求线面角——"直线与法向量夹角" 线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，注意线面角的范围为[0°, 90°]。 求二面角——"法向量夹角判断" 二面角的大小可由两平面法向量的夹角确定，需结合图形判断是锐角还是钝角，不可直接取绝对值。 求点到平面距离——"向量投影法" 从该点向平面任一点作向量，其在法向量方向上的投影绝对值即为点到平面的距离。 判断线面平行——"方向向量与法向量垂直" 直线方向向量与平面法向量的数量积为零，且直线不在平面内，则线面平行。 判断线面垂直——"方向向量与法向量平行" 直线方向向量与平面法向量平行，即方向向量是法向量的倍数，则线面垂直。 判断面面平行——"两法向量平行" 两平面法向量平行，则两平面平行；注意排除重合的情形。 判断面面垂直——"两法向量垂直" 两平面法向量的数量积为零，则两平面垂直。 求线段中点坐标——"坐标平均数法" 线段两端点坐标的对应分量取平均值，即得中点坐标。 求向量共面判断——"混合积为零" 三个向量共面当且仅当它们的混合积（行列式）为零，可通过计算验证四点共面。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $