专题05 抛物线（3知识&12题型&3易错）（期中知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题05 抛物线 （4知识&9题型&3易错） 【清单01】抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【清单02】抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 【清单03】焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【清单04】直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 4、抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 【题型一 抛物线的定义及辨析】 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 【例1】（24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故选：A. 【变式1-1】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】在抛物线中，，则， 所以焦点的坐标为，准线方程为. 已知点到焦点的距离， 则点到准线的距离也为，即，解得. 因为点在抛物线上，且，所以. 又因为，所以.故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·浙江·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则 . 【答案】2 【解析】因为抛物线方程为，所以，由焦半径公式可知， ，得. 【变式1-3】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ． 【答案】2 【解析】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离， 因，代入，解得， 故. 【题型二 利用定义解决距离和差的最值问题】 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为.故选：C 【变式2-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中， 所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为.故选：A 【变式2-2】（24-25高二下·湖北·期中）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知． 如图，设于点，则， 由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值． 由抛物线，得， 所以的最小值即点到直线的距离， 为．故选：D ． 【变式2-3】（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 【题型三 与抛物线有关的轨迹问题】 1、定义法（优先适用）：若题干中明确或可推导出动点到“一个定点”与“一条定直线”的距离相等，且定点不在定直线上，直接判定动点轨迹为抛物线，再结合已知条件确定抛物线的参数（如焦点、准线、标准方程）． 2、直译法（通用方法）：设出动点的坐标（x，y），根据题干给出的几何约束条件（如距离关系、位置关系），直接翻译成关于x、y的代数方程，再通过整理、化简方程，判断是否为抛物线的标准形式或一般形式． 3、相关点法（动点依赖已知点）：若所求动点的运动依赖于另一个在抛物线上的已知动点（相关点），先设出两个点的坐标，根据依赖关系列出坐标间的等式，再将已知动点满足的抛物线方程代入，消去相关点坐标，得到所求动点的轨迹方程． 【例3】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上， 其轨迹方程为，故选：D 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁·月考）已知动点满足，则动点轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【解析】已知， 将等式右边的变形为，即. 此时原等式变为， 两边同时除以得到. 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离. 所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上， 根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线， 故动点的轨迹是抛物线.故选：C. 【变式3-3】（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【题型四 由抛物线方程研究几何性质】 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 【例4】（25-26高二上·云南昭通·月考）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线方程为，则，可得， 抛物线的准线为.故选：D． 【变式4-1】（25-26高二上·河南驻马店·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的方程可知，，则， 所以抛物线的焦点坐标为.故选：D 【变式4-2】（25-26高三上·湖北·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，圆的圆心为， 因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为.故选：B 【变式4-3】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于双曲线：因为，所以，所以． 所以双曲线的右焦点的坐标为． 对于抛物线，因为焦点为，即，可得． 所以其准线方程为．故选：D． 【题型五 求抛物线的方程】 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 【例5】（25-26高三上·江苏南京·月考）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因抛物线的准线方程为，则设抛物线方程为：， 则，则抛物线标准方程为：.故选：C 【变式5-1】（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以，解得， 则该抛物线的标准方程为，故D正确.故选：D 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】直线与坐标轴的交点为，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.故选：BD. 【变式5-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 【答案】 【解析】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 可知双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为， 所以抛物线的标准方程为. 【题型六 直线与抛物线的位置关系】 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 【例6】已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点的直线方程为，与联立得 ， 由，解得， 故，所以，解得， 将代入中得，.故选：B 【变式6-1】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.故选：A. 【变式6-2】（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 【答案】(1)；(2)1个 【解析】（1）易知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，与联立得， ，所以． （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即，与联立得，解得， 所以直线与C只有1个公共点A． 【题型七 直线与抛物线相交弦长问题】 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 【例7】已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线的斜率为．故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ． 【答案】3 【解析】抛物线的准线方程为. 设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′， 则有， ∵M到y轴距离为1，∴， 所以． 【变式7-2】（24-25高二下·重庆·月考）经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 【答案】 【解析】设，，直线斜率为， 因为倾斜角为，所以，则直线方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，由焦半径公式得， ， 因为，所以，解得. 【变式7-3】（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则 . 【答案】 【解析】由得，所以，根据题意得； 所以由抛物线过焦点的弦长公式可知： . 【题型八 抛物线的中点弦问题】 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 【例8】（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】设， 则，所以， 由抛物线的焦点弦公式可得.故选：C. 【变式8-1】（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是.故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知直线的斜率不为0，设方程为，， 联立，整理可得， ， 由中点为可得，可得， 因此直线的方程为，即.故选：A 【变式8-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【答案】4 【解析】设，，， 则由得. 因为，所以，解得. 【题型九 抛物线的综合应用】 【例9】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 【变式9-1】（24-25高二下·广西梧州·期中）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为，则，即 所以抛物线为 （2）令，，，不妨设， 设的方程为，， 联立与，得到，， 由， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 因为，于是， 即，即， 即，于是，解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 【变式9-2】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知抛物线的焦点为F，点在C上． (1)判断直线与C的公共点个数； (2)若直线与C交于另外一点Q，直线与C的准线垂直，垂足为R，O为坐标原点，求证：点P，O，R共线． 【答案】(1)1个；(2)证明见解析. 【解析】（1）由点在抛物线上，得， 由消去并整理得：，即， 此方程有两个相等的实根，则有两个相同的实数解， 所以直线与抛物线C相切，有1个公共点. （2）抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设，则，即， 抛物线的准线方程为，由垂直于C的准线于，得， 直线斜率，直线的斜率，因此， 又直线与直线有公共点，则直线与直线重合， 所以点共线. 【变式9-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)，；(2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）由可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. （2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值. 【易错1】未考虑抛物线开口方向的多解性致错 点拨：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x轴上的抛物线，可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论． 【典例】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或故选：D. 【变式】（24-25高二上·江苏常州·期中）（多选）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或.故选：AC. 【易错2】遗漏斜率不存在的情况而致错 点拨：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在类型，设直线方程为可规避讨论． 【典例】（2025·甘肃天水·模拟预测）已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则 ． 【答案】4 【解析】抛物线的焦点，设直线：，点，， 由，消去得，则，， ，即， ， ，则，因此， 所以， 【变式】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为，解得， 所以直线的方程为. 【易错3】判别式使用不当致错 点拨：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”． 【典例】已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 【答案】0或或 【解析】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此； 当时，由消去y并整理得：， 当时，，直线与曲线有唯一公共点，因此； 当且时，，则， 此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此， 所以实数a的值为0或或. 【变式】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【答案】3 【解析】由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 联立 消x得， 当时，此时，与抛物线有唯一公共点； 当时，由，解得，即过M点的切线有两条． 综上可知，满足条件的直线有3条． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线 （4知识&9题型&3易错） 【清单01】抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【清单02】抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 【清单03】焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【清单04】直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 4、抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 【题型一 抛物线的定义及辨析】 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 【例1】（24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·浙江·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则 . 【变式1-3】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ． 【题型二 利用定义解决距离和差的最值问题】 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式2-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·湖北·期中）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则 ． 【题型三 与抛物线有关的轨迹问题】 1、定义法（优先适用）：若题干中明确或可推导出动点到“一个定点”与“一条定直线”的距离相等，且定点不在定直线上，直接判定动点轨迹为抛物线，再结合已知条件确定抛物线的参数（如焦点、准线、标准方程）． 2、直译法（通用方法）：设出动点的坐标（x，y），根据题干给出的几何约束条件（如距离关系、位置关系），直接翻译成关于x、y的代数方程，再通过整理、化简方程，判断是否为抛物线的标准形式或一般形式． 3、相关点法（动点依赖已知点）：若所求动点的运动依赖于另一个在抛物线上的已知动点（相关点），先设出两个点的坐标，根据依赖关系列出坐标间的等式，再将已知动点满足的抛物线方程代入，消去相关点坐标，得到所求动点的轨迹方程． 【例3】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁·月考）已知动点满足，则动点轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【变式3-3】（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【题型四 由抛物线方程研究几何性质】 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 【例4】（25-26高二上·云南昭通·月考）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·河南驻马店·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·湖北·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型五 求抛物线的方程】 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 【例5】（25-26高三上·江苏南京·月考）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 【题型六 直线与抛物线的位置关系】 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 【例6】已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 【题型七 直线与抛物线相交弦长问题】 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 【例7】已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ． 【变式7-2】（24-25高二下·重庆·月考）经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 【变式7-3】（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则 . 【题型八 抛物线的中点弦问题】 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 【例8】（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式8-1】（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【题型九 抛物线的综合应用】 【例9】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【变式9-1】（24-25高二下·广西梧州·期中）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【变式9-2】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知抛物线的焦点为F，点在C上． (1)判断直线与C的公共点个数； (2)若直线与C交于另外一点Q，直线与C的准线垂直，垂足为R，O为坐标原点，求证：点P，O，R共线． 【变式9-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【易错1】未考虑抛物线开口方向的多解性致错 点拨：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x轴上的抛物线，可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论． 【典例】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式】（24-25高二上·江苏常州·期中）（多选）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【易错2】遗漏斜率不存在的情况而致错 点拨：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在类型，设直线方程为可规避讨论． 【典例】（2025·甘肃天水·模拟预测）已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则 ． 【变式】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【易错3】判别式使用不当致错 点拨：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”． 【典例】已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 【变式】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $