浙江省金华市2026-2027学年浙教版九年级上册数学第一次月考试题（考查范围：第1-2章）

浙江省金华市2026-2027学年浙教版九年级上册数学第一次月考试题 (考试时间：120分钟，分值：120分) 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 2．（本题3分）对于二次函数，下列说法不正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．其图象是轴对称图形 D．当时，y有最小值 3．（本题3分）已知抛物线经过点和点，则当随的增大而减小时，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知抛物线经过点，，，则（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 6．（本题3分）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）某商场降价销售一批名牌衬衫．已知商场所获得的利润y（元）与降价金额x（元）之间的关系是，则该商场最多获利（     ） A．15元 B．400元 C．80元 D．1250元 9．（本题3分）二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），若直线与新图象有个交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）二次函数的图象经过点，则的值为________． 12．（本题3分）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 13．（本题3分）抛物线，当时，的最小值是________． 14．（本题3分）若抛物线经过和两点，则______． 15．（本题3分）如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 16．（本题3分）某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)求该函数顶点纵坐标的最大值． 18．（本题8分）已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 19．（本题8分）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点，并画出这个函数的图象； (2)当时，请求出的取值范围． 20．（本题8分）已知等边三角形的边长为4，点A的坐标为，点B在x轴负半轴上，点C在第三象限，边与y轴交于点D． (1)求B、C、D三点的坐标． (2)求图像经过B、C、D三点的二次函数的解析式． 21．（本题9分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 22．（本题9分）为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： (1)本次参加测评人数为 人，并补全条形统计图； (2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少? 23．（本题10分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 24．（本题12分）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《浙江省金华市2026-2027学年浙教版九年级上册数学第一次月考试题（考查范围：第1-2章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C A B D D D 1．C 【分析】根据事件发生的确定性，判断各选项的事件类型． 【详解】解：A.袋中只装有红球，不可能摸出黄球，为不可能事件； B.抛出的篮球一定会下落，为必然事件； C.抛掷质地均匀的骰子，可能掷出~的任意点数，掷出点数是可能发生也可能不发生，为随机事件； D.正数一定大于负数，为必然事件． 2．B 【分析】由二次函数顶点式确定开口方向、对称轴与顶点坐标，结合增减性、最值等性质判断各选项. 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，A正确，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，开口向上， ∴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大； ∴当时，区间内随的增大而增大，B错误，符合题意； ∵二次函数的图象是轴对称图形， ∴C正确，不符合题意； ∵抛物线顶点坐标为，开口向上， ∴当时，有最小值，D正确，不符合题意. 3．C 【分析】将两点坐标代入抛物线解析式求出与的值，再结合抛物线的开口方向和对称轴确定随增大而减小的的取值范围． 【详解】解：将点和代入， 得，解得， ∴抛物线解析式为， ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 4．D 【分析】分别把的横坐标代入解析式，然后比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理得，， ∵， ∴． 5．C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 6．A 【分析】二次函数图像的平移法则：左加右减、上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得． 7．B 【分析】一次函数与二次函数的大致图象在一个坐标系中，则、的符号必须一致，据此逐项判断． 【详解】解：A项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；二次函数的图象开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； B项，通过一次函数经过一、二、三象限，可知；通过二次函数的图象开口朝上，可知；的符号一致；当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号一致，故此项符合题意； C项，当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号不一致，故此项不符合题意； D项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；通过二次函数开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； 故选：B． 8．D 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向求最大利润． 【详解】解：， ∵， ∴当时，的最大值为． 9．D 【分析】原抛物线与轴交于与，将轴上方部分沿轴翻折到下方后，新图象分段为：当或时，；当时，，分别求出临界值，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：在中，令，则， 解得，， ∴原抛物线与轴交于与， 将轴上方部分沿轴翻折到下方后，新图象分段为：当或时，；当时，， ∵直线与新图象有个交点， ∴需同时满足：与中间翻折段有两个交点，且与两侧原抛物线段各有一个交点（共个）， 当直线经过左端点时，，解得， 当时，直线位置偏高，无法与左侧原抛物线部分产生足够交点，总交点数不足，故需； 当直线与中间段相切时，联立得， 相切时该方程有唯一实根，即， 解得， 当时，直线在中间段下方，与中间段无交点，总交点数不足，故需， 综上所述，． 10．D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断，，符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标；利用二次函数的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线开口向下，  抛物线对称轴为直线， ∴，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，故②正确； ∴当时，，故③错误； ∵当时，，由图象可知时， ∴，故④正确； ∵，，且，抛物线开口向下， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 11． 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，即可求解的值． 【详解】∵点在二次函数的图象上， ∴将，代入解析式得， 整理得， 解得． 12． 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 13．2 【分析】将抛物线化为顶点式，得到开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性判断给定范围内的最小值位置，计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵在对称轴的右侧， ∴当时，取得最小值， 把代入计算得， 所以的最小值是． 14． /0.5 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，先根据抛物线顶点式得到对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的平均值列方程求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等 ， ∴两点关于对称轴对称， ∴， 整理得，， 解得． 15．或 【分析】找出二次函数图象在一次函数图象的上方部分即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，当时，则x的取值范围是或． 16． 【分析】根据总利润每件利润销售量，列出利润关于销售单价的二次函数，利用二次函数性质求最大值点． 【详解】解：设销售单价为元，该店一个月获得的利润为元， 根据题意，每件利润为元， 销售单价上涨了元，因此月销售量减少件，月销售量为件， 可得总利润， 整理得， ，二次函数开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 即当销售单价为元时，该店一个月获得的利润最大． 17．(1)顶点坐标为 (2)该函数顶点纵坐标的最大值为 【分析】（1）将代入表达式，化为顶点式，即可求解； （2）化为顶点式求得顶点纵坐标为，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，把函数解析式化为顶点式可得： ， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：将抛物线解析式配方可得：，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵ ，， 当时，取得最大值，最大值为， 即该函数顶点纵坐标的最大值为 18．(1)证明：令，得方程， ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点． (2)的值为或． 【分析】（1）令，得方程，可证，再根据二次函数与方程的关系，即可求证； （2）根据二次函数与方程的关系，可得，是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，得方程， 该抛物线与轴交于点、， ，是方程的两个根， ，， ， ，即， ， ，解得，， 则的值为或． 19．(1)， (2) 【分析】（）把一般式转化为顶点式，可得顶点坐标，再列表、描点、连线画出函数图象即可； （）根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 列表如下： 画图略 （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 20．(1)，， (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据等边三角形的性质以及勾股定理即可求解坐标，再求解直线的表达式，即可求解点的坐标； （2）运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵等边的边长为 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 设直线，则代入点可得， 解得 ∴直线 当时， ∴； （2）解：设经过B、C、D三点的二次函数的解析式为 代入点，，， 则 解得 ∴解析式为． 21．(1)． (2)（）． 【分析】（1）由篱笆总长 m 且只围 、 两边，得 ，矩形面积 ； （2）树 距墙 为 m、距墙 为 m，把树围在花园内需 且 ，得 ；配方 ，由对称轴位置知 在 上随 的增大而增大，故 时取最大值． 【详解】（1）解：∵ 篱笆只围 、 两边，篱笆总长 m， ， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 点 与墙 的距离是 ，花园在墙 上方的竖直宽度为 ，要把树围在花园内，需 ； ∵ 点 与墙 的距离是 ，花园从墙 起的水平宽度为 ，需 ，即 ， ∴ ． ∵ ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 当 时， 取最大值 （）． 22．(1)100； (2) 【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图； （2）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率． 【详解】（1）解：等级有20人，占总人数的， 本次参加测评人数为：（人）， 等级人数：人；等级人数：（人）． 补全条形图略。 （2）解：记2名等级同学为，，2名等级同学为，，列表得所有等可能的抽取结果： 共12种等可能的结果，其中恰好1名等级、1名等级的结果有8种， 恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为． 23．(1) (2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． (3)定价应为43元． 【分析】（1）以每千克利润乘日销售量等于总利润为等量关系列函数，结合盈利条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点坐标求最大值； （3）令总利润为9750列方程，结合让利于民的要求选取合适的解计算定价． 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元，日销售量为千克． ， ∵保证盈利， ∴， 解得． 又∵降价金额非负， ∴． 即． ∴． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值． 当时，取得最大值， 将代入解析式得． ∴当降价4元时，每天利润最大，最大为9800元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，． ∵要让利于民，需降价幅度更大， ∴取，此时定价为（元）． 答：定价应为43元． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，过点作轴于点，设点，即可表示出，，，根据列出关于m的函数关系式，问题随之得解； （2）结合（1）中的结论，利用，即可作答； （3）根据，可得，利用已知的，结合三角形外角的定义可以证明，进而可证明，设，表示出，再在中，利用勾股定理求出n，问题得解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， ， 过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （2）解：，， ，， ， 又， ∴当取大值，即时，也有最大值， 的最大值； （3）解：轴，轴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 在中，有， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，勾股定理等知识，问题的难点在第三小问，合理利用这一条件证明，是解答本题的关键． 答案第14页（共14页） 答案第1页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $