25.3 实际问题与一元二次方程--导学案--2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元二次方程”，通过传染问题、成本下降率问题、几何图形问题等实际情境导入，引导学生从具体问题中抽象数量关系，构建方程模型，作为连接一元二次方程解法与实际应用的学习支架。 资料以真实情境驱动探究，通过问题链设计培养学生用数学眼光观察现实问题，在建模过程中发展推理能力与运算能力，以数学语言表达数量关系形成模型意识，分层练习助力提升应用与创新能力，有效落实核心素养。

25.3、实际问题与一元二次方程 探究1（传染问题） 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感. 列方程 1+x+x(1+x)=121 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程 1+x+x(1+x)=121 (1+x)2=121 解方程，得 x1=10，x2=-12(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人. 思考 如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n轮呢？ 三轮传染后：121+10×121=(10+1)3=113=1331(人) n轮传染后：11n(人) 探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析： 甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元) 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程 5000(1-x)2=3000 解得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去) 答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600 解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%. 比较：两种药品成本的年平均下降率.(相同) 思考 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 方法总结 类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n=b (其中增长取+，降低取-) 练习1 1.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 2.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均增长率是多少？ 探究3 (几何图形问题) 练一练 现有长19cm，宽15cm的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，宽为(15-2x)cm，依题意得 (19-2x)(15-2x)=117 整理得 x2-17x+42=0 解得 x1=3，x2=14(不合题意，舍去) 答：剪去的小正方形的边长应为3cm. 例：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？ 分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 (27-9a): (21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7 解：设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程 (27-18x)(21-14x)= ×27×21 整理，得 16x2-48x+9=0 解得 x1=，x2=(不合题意，舍去) 则：9x≈1.8，7x≈1.4. 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试. 解：设中央的矩形的长、宽分别为9y cm、7y cm，根据题意，列出方程 9y·7y=×27×21 整理，得 y2= 解得 y1=，y2= (不合题意，舍去) 则：(27-9y)≈1.8， (21-7y)≈1.4. 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 练习2 用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32cm 2的矩形呢？为什么？ 答案： 练习1 1、解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程 5+5x+x(5+5x)=125，整理得 5(1+x)2=125 解方程，得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了4个人. 2、解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程 2.5(1+x)2=3.6 解方程，得 x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：这两个月的月平均增长率为20%. 练习2 解：设矩形的一边长为x cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得 x(11-x)=30，解得 x1=6，x2=5 因此，这个矩形的长和宽分别为6cm、5cm. 不能折成面积是32cm2的矩形，理由如下： x(11-x)=32，整理得 x2-11x+32=0 ∵ b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0 ∴ 方程无实数根 ∴ 不能折成面积是32cm2的矩形 学科网（北京）股份有限公司 $