精品解析：安徽合肥市第八中学教育集团铭传高级中学2026-2027学年高一上学期第一次教学检测数学试卷

合肥市第八中学教育集团铭传高级中学 铭高2026—2027学年高一（上）第一次教学检测数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 命题人：史万顺 审题人：邓小虎 一、单选题：本题共 8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并集进行求解即可. 【详解】集合，， 则， 故选：D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定，可得命题的否定为“”. 故选：D. 3. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次不等式，得命题成立的充要条件，根据充分不必要条件的定义可得正确答案. 【详解】由，得，解得. 对于A，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以A错误； 对于B，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以B错误； 对于C，因为 ，所以是命题成立的一个充分不必要条件，所以C正确； 对于D，是命题成立的充要条件，所以D错误. 故选：C. 4. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值法判断即可. 【详解】选项A：由可得，即. 当时，，即，A错误. 选项B：当时，，此时，不满足，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：由，得，因此，D错误. 5. 已知函数f（x）的定义域为[-2，1]，函数g（x）=，则g（x）的定义域为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据f（x）的定义域以及二次根式的性质求出函数g（x）的定义域即可． 【详解】由题意得： ， 解得：＜x≤2， 故选A． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 64 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. ​ 因此​，当且仅当​，即时取等号， 所以的最小值为​. 7. 若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　） A. （1，4） B. （4，7） C. [1，4] D. [4，7] 【答案】D 【解析】 【分析】先根据值域确定函数自变量取值范围，再结合二次函数图象确定实数a的取值范围. 【详解】由，所以， 由得，所以 故选：D 【点睛】本题考查根据值域求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题. 8. 已知，，都是正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先通分，再利用基本不等式即可. 【详解】由题意得，， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案. 【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确； B项, 若,可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； C项，举反例，虽然，但是，故D不正确； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型. 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用将转化为关于的关系式，代入，利用基本不等式即可求出对应的最小值；对于B，利用基本不等式，并将代入即可求出对应的最小值；对于C，对运用基本不等式，再解不等式即可得求出对应的最大值；对于D，把关于的关系式代入，利用因式分解和基本不等式即可求出对应的最小值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对； ，当且仅当时，即当，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，B错； 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对； ， 当且仅当即，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，求得，. 【详解】因为，所以； 因为，所以. 所以. 故答案为：. 13. 若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将充分非必要条件转化为对应集合的真包含关系，列不等式组求解参数的取值范围. 【详解】设条件对应的集合为，条件对应的集合为. 由是的充分非必要条件，可得真包含于. 首先为非空数集，因此，解得. 再由真包含关系列不等式组： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得. 取所有不等式解集的交集，得， 验证可知此时是的真子集，满足充分非必要条件. 故的取值范围是. 14. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 【答案】9 【解析】 【分析】根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同，分析得出定义域的所有可能情况，即可得到答案． 【详解】由，解得， 由，解得或， 由，解得或， 即定义域内一定有0，－1和1至少有一个，－2和2至少有一个，则定义域所有可能为， ，，，，，， ，，， 即值域为的“孪生函数”共有9个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，. （1）求集合； （2）求集合； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据并集的定义进行运算； （2）根据交集、补集的定义先求补集，再求交集． 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 由题意，或， ∴. 16. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据直接求解出的最大值，注意取等条件； （2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出的取值范围. 【详解】（1），解得， 当且仅当，取等号， ∴最大值为． （2）， 当且仅当，取等号， ∴，解得． 【点睛】本题考查利用不等式求解最大值以及利用基本不等式解决恒成立问题，其中涉及到“”的代换求最小值，难度一般. 18. 我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 【答案】（1），是整数； （2）28，2312元； （3）17 【解析】 【分析】（1）设解析式为，代入､求解即可； （2）分、结合二次函数的性质求解即可； （3）法一：根据（2）的结论可得，求解即可； 法二：根据（2）的结论令，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设解析式为， 将､代入， 得：， 解得：， ，其中是整数； 【小问2详解】 解：日销售利润，则， ①当时，， 当时，； ②当时，， 在时随的增大函数值反而减小 当时，； 第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元； 【小问3详解】 解：法一：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得，， 又是整数， . 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元； 法二：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得. 由函数的图象可知， 当时，日销售利润不低于2280元. 又是整数，. 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元. 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明如下： 由，，，均为正实数，且，所以 ， 即.当且仅当时等号成立，即，又，解得， 所以时，，时等号成立. 故. （3）；. 【解析】 【分析】（1）将条件转化为，再结合基本不等式可得； （2）直接由条件和基本不等式可得； （3）根据条件利用换元法转化为条件等式的最值问题，再利用（2）中结论可得最小值. 【小问1详解】 由，得，且，，均为正实数，所以 . 当且仅当时等号成立，又，得，，时等号成立. 故的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，即. 令，，则，，，，即. 所以，由（2）可得， 由，所以，当且仅当时等号成立，此时. 故时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第八中学教育集团铭传高级中学 铭高2026—2027学年高一（上）第一次教学检测数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 命题人：史万顺 审题人：邓小虎 一、单选题：本题共 8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数f（x）的定义域为[-2，1]，函数g（x）=，则g（x）的定义域为 A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 64 B. 8 C. D. 7. 若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　） A. （1，4） B. （4，7） C. [1，4] D. [4，7] 8. 已知，，都是正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 14. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，. （1）求集合； （2）求集合； 16. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 17. 已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18. 我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $