专题03 圆锥曲线的方程全章3考点18题型（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线的方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 椭圆的标准方程与几何性质 考点二双曲线的标准方程与几何性质 考点三 抛物线的标准方程与几何性质 05 重难题型突破 题型一 圆锥曲线的定义及应用 题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题 题型三 圆锥曲线中距离和差的最值 题型四 圆锥曲线中的焦点三角形问题 题型五 圆锥曲线标准方程的参数问题 题型六 求圆锥曲线的标准方程 题型七 求椭圆与双曲线离心率的值 题型八 求椭圆与双曲线离心率的取值范围 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 题型十 圆锥曲线的弦长及应用 题型十一 圆锥曲线的中点弦问题 题型十二 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题 题型十三 圆锥曲线中的定值问题 题型十四 圆锥曲线中的定点问题 题型十五 圆锥曲线中的定直线问题 题型十六 圆锥曲线中的最值范围问题 题型十七 圆锥曲线中的向量问题 题型十八 圆锥曲线中的探究性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心考查模块，选择、填空、解答题全面覆盖，分值占比较高。小题重点考查圆锥曲线基础概念与几何性质，高频考点：椭圆、双曲线、抛物线定义辨析；标准方程；基本量计算；离心率；双曲线渐近线；抛物线焦半径、焦点弦基础结论；多选题常设置概念正误判断，辨析易混知识点。解答题一般设置1道圆锥曲线综合大题，为期中压轴题型之一。第一问大多依托定义或已知条件求圆锥曲线标准方程；第二问以直线与椭圆综合为主，包含弦长、三角形面积、中点弦，同时期中试卷会出现定点、定值、简单最值类探究问题；双曲线、抛物线多以小题考查，一般较少作为解答大题载体。 二、试题难易度分布 难度梯度分明，基础题约占60%，中档题约占30%，难题约占10%，兼顾基础知识检测与能力区分。 基础题（易）：集中在选择填空前中段，考查圆锥曲线定义识别、标准方程书写、简单计算，公式固定，侧重概念识记与基础运算，是保底得分题型。 中档题（中）：以多选题、离心率综合小题、解答题第一问为主，考查圆锥曲线几何性质综合应用，需要数形结合分析图形，对概念辨析准确性要求高，椭圆与双曲线关系式极易混淆。 难题（难）：集中在解答题第二问，核心难点为直线与椭圆联立、韦达定理运算以及定点、定值、简单最值探究；主要失分点：遗漏斜率不存在情况、联立化简运算量大、忘记检验判别式，侧重代数推理与运算能力，承担试卷区分功能。 三、整体命题核心规律 1、命题重视圆锥曲线定义，很多小题可借助定义简化运算，强调数形结合思想； 2、出题载体常规，以椭圆为主，双曲线、抛物线小题考查居多，期中大题优先考查椭圆； 3、失分核心不在题型本身难度，而在椭圆、双曲线公式混淆、忽略判别式、斜率遗漏讨论、计算粗心等细节失误。 识记 1、牢记椭圆、双曲线、抛物线的定义； 2、熟记三类曲线标准方程形式，理解参数的几何意义； 3、区分椭圆关系式与双曲线关系式； 4、掌握椭圆、双曲线离心率公式，双曲线渐近线方程； 5、记忆抛物线焦半径、焦点弦常用基础结论。 理解 1、能由标准方程判断焦点所在坐标轴，识别曲线基本几何特征； 2、理解离心率大小对椭圆、双曲线形状的影响； 3、理解直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）和判别式的对应关系； 4、体会数形结合思想，能利用圆锥曲线定义实现距离转化。 应用 1、依托定义与已知条件求解圆锥曲线标准方程； 2、求解离心率，运用渐近线性质解决双曲线相关小题； 3、直线与椭圆联立，结合韦达定理计算弦长、三角形面积、处理中点弦问题； 4、完成定点、定值、简单最值类综合探究问题； 5、对直线斜率是否存在进行分类讨论，联立后检验判别式。 考点一 椭圆的标准方程与几何性质 1、椭圆的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． （2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． ⚠️概念辨析 当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； 当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程与几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 长轴长： ；短轴长： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 3、直线与椭圆的位置关系 （1）位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． （2）直线与椭圆相交的弦长公式 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： ． 考点二 双曲线的标准方程与几何性质 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为 ；两焦点的距离叫做双曲线的 ，表示为． 双曲线的集合表示：． ⚠️概念辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 3、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 考点三 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ． 抛物线集合表示：． ⚠️概念辨析 （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 2、抛物线的几何性质 （1）四种标准方程对应抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 （2）焦半径 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 用坐标表示焦半径公式 ①抛物线，． ②抛物线，． ③抛物线，． ④抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 4、直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式： 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． 弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 中点弦直线方程：直线的方程为． （3）抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切． ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则． ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． ⑥为定值． 题型一 圆锥曲线的定义及应用 【典例1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 💡破题要诀 椭圆：； 双曲线：； 抛物线：点到焦点距离 = 点到准线距离（焦半径转化）． 看到焦点、焦半径，优先用定义把距离相互转化，减少坐标运算． 迁移应用 【变式1-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（    ） A． B．1 C． D．5 【变式1-2】（25-26高二上·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 【变式1-3】（25-26高二上·江西上饶·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题 【典例2】（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、定义法（优先使用）：分析动点满足的几何关系式，若符合椭圆、双曲线、抛物线定义，直接判定曲线类型，求出参数，写出标准方程；务必标注动点的限制范围． 2、直接法：设动点坐标，把题目给出的几何条件（距离、垂直、长度等式）翻译成坐标方程，化简整理得到轨迹方程，最后剔除不符合条件的点． 3、相关点法（代入法）：动点随已知曲线上点运动，设、，建立坐标之间的关系式，用表示，代入已知曲线方程，化简得到的轨迹方程． 4、参数法：选取合适参数（角度、斜率等），写出关于参数的表达式，消去参数得到普通方程． 迁移应用 【变式2-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【变式2-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 题型三 圆锥曲线中距离和差的最值 【典例3】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 💡破题要诀 圆锥曲线中距离和差的最值问题优先采用定义转化法，借助椭圆、双曲线、抛物线的定义对焦半径进行等量代换，将距离和、差转化，再结合两点之间线段最短、三角形三边关系进行几何分析，利用三点共线确定取等条件；也可选用函数法，设出动点坐标构建距离表达式，转化为单变量函数求解，但运算量偏大，一般作为备选方案．解题时要验证取等条件，确认动点在曲线上，双曲线问题还需要关注动点所在分支，仔细区分距离之和与距离之差两类模型． 迁移应用 【变式3-1】（25-26高二上·云南楚雄·期中）已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是______. 【变式3-2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 题型四 圆锥曲线中的焦点三角形问题 【典例4】（26-27高二上·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 💡破题要诀 优先利用圆锥曲线定义写出两条焦半径的关系式，结合余弦定理建立边长、角度的等式；借助三角形面积公式求解面积、顶角、离心率相关问题；椭圆焦点三角形面积：，双曲线焦点三角形面积：（为顶角），同时结合三角形三边关系、不等式求解离心率范围． 迁移应用 【变式4-1】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】（25-26高二上·山东枣庄·期中）（多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 题型五 圆锥曲线标准方程的参数问题 【典例5】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 圆锥曲线标准方程中的参数问题，先判断焦点所在坐标轴，确定对应的标准方程形式，理清的内在关系，根据已知条件列方程或方程组求解参数；若焦点位置不确定，需要分类讨论，结合离心率、渐近线等几何性质建立等式或不等式，求解参数的值或取值范围。解题时要区分椭圆与双曲线，注意椭圆、双曲线参数自带的取值限制． 迁移应用 【变式5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·河北衡水·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（    ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 题型六 求圆锥曲线的标准方程 【典例6】（25-26高二上·浙江·期中）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求圆锥曲线的标准方程，优先利用定义法，根据动点满足的几何条件判定曲线类型，直接求出基础参数写出方程；也可采用待定系数法，先定位焦点坐标轴，设出对应标准方程，再结合题干条件构建方程组求解；焦点位置不确定时，要分类讨论，也可设统一形式避开焦点讨论，最后检验参数满足曲线的限制条件． 迁移应用 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 题型七 求椭圆与双曲线离心率的值 【典例7】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求离心率的三个常用方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 迁移应用 【变式7-1】（25-26高二上·山东济南·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作直线交椭圆于，若，且，则椭圆的离心率为___________． 【变式7-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为__________. 题型八 求椭圆与双曲线离心率的取值范围 【典例8】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求离心率取值范范围的常用方法 （1）几何法：根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 迁移应用 【变式8-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 【变式8-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例9】（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，利用判别式判断：相交，相切，相离；当二次项系数含参数时，需要讨论二次项系数是否为0，区分一次方程与二次方程；同时可结合韦达定理得到根与系数的关系，用于后续弦长、面积等计算，解题不要遗漏直线斜率不存在的特殊情况． 迁移应用 【变式9-1】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【变式9-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是_____. 【变式9-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）（多选）已知直线与双曲线有且只有两个公共点，则下列选项中k的可能值为（    ） A． B． C． D． 题型十 圆锥曲线的弦长及应用 【典例10】（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 弦长公式：若直线与圆锥曲线交于，两点， 则或（）． 迁移应用 【变式10-1】（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 【变式10-2】（25-26高二上·福建南平·期中）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长． 【变式10-3】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 题型十一 圆锥曲线的中点弦问题 【典例11】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 以椭圆为例，双曲线与抛物线同理 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 迁移应用 【变式11-1】（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆：（），过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 【变式11-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 题型十二 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题 【典例12】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 💡破题要诀 圆锥曲线中三角形、四边形面积问题，一般以弦为底，利用点到直线距离公式求高，结合弦长公式算出底边长度，代入面积公式求解；遇到坐标易表达的图形，也可采用坐标割补法（鞋带公式）计算面积；若是焦点三角形，可直接套用对应的焦点三角形面积公式．解题时要注意对直线斜率是否存在分类讨论，联立方程后不要忘记检验判别式，化简过程留意代数运算准确． 迁移应用 【变式12-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B． (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【变式12-2】（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若，求的面积. 【变式12-3】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆过点，左焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（点在轴上方），若的面积与的面积之比为2：3，求直线的一般式方程． 题型十三 圆锥曲线中的定值问题 【典例13】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 💡破题要诀 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 迁移应用 【变式13-1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知椭圆：的左焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 【变式13-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【变式13-3】（25-26高二上·吉林延边·期中）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 题型十四 圆锥曲线中的定点问题 【典例14】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 💡破题要诀 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 迁移应用 【变式14-1】（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【变式14-2】（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． (1)求C的标准方程； (2)若直线l的方程为，求 ； (3)若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【变式14-3】（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 题型十五 圆锥曲线中定直线问题 【典例15】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 💡破题要诀 一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)． 迁移应用 【变式15-1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【变式15-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【变式15-3】（25-26高二上·河北·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 题型十六 圆锥曲线中最值范围问题 【典例16】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 💡破题要诀 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 迁移应用 【变式16-1】（25-26高二上·浙江·期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【变式16-2】（25-26高二上·广西桂林·期中）已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 【变式16-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 题型十七 圆锥曲线中的向量问题 【典例17】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 💡破题要诀 圆锥曲线中的向量问题，核心思路是向量坐标化，把向量的平行、垂直、数量积、共线等条件转化为坐标关系式；将直线与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理得到交点坐标的和与积，代入向量坐标表达式化简求解；遇到向量模长、夹角条件，转化为代数不等式或等式，同时注意分类讨论直线斜率是否存在，联立方程后检验判别式，保证交点存在． 迁移应用 【变式17-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【变式17-2】（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【变式17-3】（25-26高二下·贵州·阶段检测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段PD，垂足为，点在线段DP的延长线上，且，当点在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上，且MQ与轴平行，过点作两条直线分别交曲线于点两点，设线段AB的中点为，若直线MQ平分，求证：三点共线． 题型十八 圆锥曲线中的探究性问题 【典例18】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 迁移应用 【变式18-1】（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程． (2)设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． (3)若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 【变式18-2】（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【变式18-3】（25-26高二上·河南·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A．5 B．7 C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______. 8．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是______． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】(1)；(2)；(3) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 椭圆的标准方程与几何性质 考点二双曲线的标准方程与几何性质 考点三 抛物线的标准方程与几何性质 05 重难题型突破 题型一 圆锥曲线的定义及应用 题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题 题型三 圆锥曲线中距离和差的最值 题型四 圆锥曲线中的焦点三角形问题 题型五 圆锥曲线标准方程的参数问题 题型六 求圆锥曲线的标准方程 题型七 求椭圆与双曲线离心率的值 题型八 求椭圆与双曲线离心率的取值范围 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 题型十 圆锥曲线的弦长及应用 题型十一 圆锥曲线的中点弦问题 题型十二 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题 题型十三 圆锥曲线中的定值问题 题型十四 圆锥曲线中的定点问题 题型十五 圆锥曲线中的定直线问题 题型十六 圆锥曲线中的最值范围问题 题型十七 圆锥曲线中的向量问题 题型十八 圆锥曲线中的探究性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心考查模块，选择、填空、解答题全面覆盖，分值占比较高。小题重点考查圆锥曲线基础概念与几何性质，高频考点：椭圆、双曲线、抛物线定义辨析；标准方程；基本量计算；离心率；双曲线渐近线；抛物线焦半径、焦点弦基础结论；多选题常设置概念正误判断，辨析易混知识点。解答题一般设置1道圆锥曲线综合大题，为期中压轴题型之一。第一问大多依托定义或已知条件求圆锥曲线标准方程；第二问以直线与椭圆综合为主，包含弦长、三角形面积、中点弦，同时期中试卷会出现定点、定值、简单最值类探究问题；双曲线、抛物线多以小题考查，一般较少作为解答大题载体。 二、试题难易度分布 难度梯度分明，基础题约占60%，中档题约占30%，难题约占10%，兼顾基础知识检测与能力区分。 基础题（易）：集中在选择填空前中段，考查圆锥曲线定义识别、标准方程书写、简单计算，公式固定，侧重概念识记与基础运算，是保底得分题型。 中档题（中）：以多选题、离心率综合小题、解答题第一问为主，考查圆锥曲线几何性质综合应用，需要数形结合分析图形，对概念辨析准确性要求高，椭圆与双曲线关系式极易混淆。 难题（难）：集中在解答题第二问，核心难点为直线与椭圆联立、韦达定理运算以及定点、定值、简单最值探究；主要失分点：遗漏斜率不存在情况、联立化简运算量大、忘记检验判别式，侧重代数推理与运算能力，承担试卷区分功能。 三、整体命题核心规律 1、命题重视圆锥曲线定义，很多小题可借助定义简化运算，强调数形结合思想； 2、出题载体常规，以椭圆为主，双曲线、抛物线小题考查居多，期中大题优先考查椭圆； 3、失分核心不在题型本身难度，而在椭圆、双曲线公式混淆、忽略判别式、斜率遗漏讨论、计算粗心等细节失误。 识记 1、牢记椭圆、双曲线、抛物线的定义； 2、熟记三类曲线标准方程形式，理解参数的几何意义； 3、区分椭圆关系式与双曲线关系式； 4、掌握椭圆、双曲线离心率公式，双曲线渐近线方程； 5、记忆抛物线焦半径、焦点弦常用基础结论。 理解 1、能由标准方程判断焦点所在坐标轴，识别曲线基本几何特征； 2、理解离心率大小对椭圆、双曲线形状的影响； 3、理解直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）和判别式的对应关系； 4、体会数形结合思想，能利用圆锥曲线定义实现距离转化。 应用 1、依托定义与已知条件求解圆锥曲线标准方程； 2、求解离心率，运用渐近线性质解决双曲线相关小题； 3、直线与椭圆联立，结合韦达定理计算弦长、三角形面积、处理中点弦问题； 4、完成定点、定值、简单最值类综合探究问题； 5、对直线斜率是否存在进行分类讨论，联立后检验判别式。 考点一 椭圆的标准方程与几何性质 1、椭圆的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． ⚠️概念辨析 当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； 当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程与几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 长轴长：；短轴长： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 3、直线与椭圆的位置关系 （1）位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． （2）直线与椭圆相交的弦长公式 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 考点二 双曲线的标准方程与几何性质 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 双曲线的集合表示：． ⚠️概念辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 3、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 考点三 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 抛物线集合表示：． ⚠️概念辨析 （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 2、抛物线的几何性质 （1）四种标准方程对应抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 （2）焦半径 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 用坐标表示焦半径公式 ①抛物线，． ②抛物线，． ③抛物线，． ④抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 4、直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式： 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． 弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 中点弦直线方程：直线的方程为． （3）抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切． ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则． ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． ⑥为定值． 题型一 圆锥曲线的定义及应用 【典例1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 【答案】B 【解析】表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆.故选：B. 💡破题要诀 椭圆：； 双曲线：； 抛物线：点到焦点距离 = 点到准线距离（焦半径转化）． 看到焦点、焦半径，优先用定义把距离相互转化，减少坐标运算． 迁移应用 【变式1-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解析】由椭圆的方程及题意知，，所以， 所以．由椭圆的定义，得，又， 所以．故选：D． 【变式1-2】（25-26高二上·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 【答案】B 【解析】由双曲线的性质知：，从而， 所以双曲线方程为， 故，所以或， 而，不合题意；所以.故选：B． 【变式1-3】（25-26高二上·江西上饶·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，点到准线的距离为3， 可知抛物线的准线方程为， 所以点的纵坐标为2， 代入得，解得， 所以点的坐标为或故选：C. 题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题 【典例2】（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为.故选：D 💡破题要诀 1、定义法（优先使用）：分析动点满足的几何关系式，若符合椭圆、双曲线、抛物线定义，直接判定曲线类型，求出参数，写出标准方程；务必标注动点的限制范围． 2、直接法：设动点坐标，把题目给出的几何条件（距离、垂直、长度等式）翻译成坐标方程，化简整理得到轨迹方程，最后剔除不符合条件的点． 3、相关点法（代入法）：动点随已知曲线上点运动，设、，建立坐标之间的关系式，用表示，代入已知曲线方程，化简得到的轨迹方程． 4、参数法：选取合适参数（角度、斜率等），写出关于参数的表达式，消去参数得到普通方程． 迁移应用 【变式2-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：. 【变式2-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得.故选：C 【变式2-3】（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则， 因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 题型三 圆锥曲线中距离和差的最值 【典例3】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解析】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4， 设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9.故选：B. 💡破题要诀 圆锥曲线中距离和差的最值问题优先采用定义转化法，借助椭圆、双曲线、抛物线的定义对焦半径进行等量代换，将距离和、差转化，再结合两点之间线段最短、三角形三边关系进行几何分析，利用三点共线确定取等条件；也可选用函数法，设出动点坐标构建距离表达式，转化为单变量函数求解，但运算量偏大，一般作为备选方案．解题时要验证取等条件，确认动点在曲线上，双曲线问题还需要关注动点所在分支，仔细区分距离之和与距离之差两类模型． 迁移应用 【变式3-1】（25-26高二上·云南楚雄·期中）已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作，交直线于点， 由抛物线的定义可知，， 所以当在线段上时，取得最小值，. 【变式3-2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以.故选：C 【变式3-3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为.故选：A 题型四 圆锥曲线中的焦点三角形问题 【典例4】（26-27高二上·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解析】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 💡破题要诀 优先利用圆锥曲线定义写出两条焦半径的关系式，结合余弦定理建立边长、角度的等式；借助三角形面积公式求解面积、顶角、离心率相关问题；椭圆焦点三角形面积：，双曲线焦点三角形面积：（为顶角），同时结合三角形三边关系、不等式求解离心率范围． 迁移应用 【变式4-1】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以.故选：C 【变式4-3】（25-26高二上·山东枣庄·期中）（多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 题型五 圆锥曲线标准方程的参数问题 【典例5】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示的曲线是椭圆， 则且，故选：D 💡破题要诀 圆锥曲线标准方程中的参数问题，先判断焦点所在坐标轴，确定对应的标准方程形式，理清的内在关系，根据已知条件列方程或方程组求解参数；若焦点位置不确定，需要分类讨论，结合离心率、渐近线等几何性质建立等式或不等式，求解参数的值或取值范围。解题时要区分椭圆与双曲线，注意椭圆、双曲线参数自带的取值限制． 迁移应用 【变式5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为.故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·河北衡水·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得解得，故选：B． 【变式5-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（    ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【解析】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 题型六 求圆锥曲线的标准方程 【典例6】（25-26高二上·浙江·期中）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若抛物线焦点坐标为，则标准方程为，且， 则标准方程为，故选：D. 💡破题要诀 求圆锥曲线的标准方程，优先利用定义法，根据动点满足的几何条件判定曲线类型，直接求出基础参数写出方程；也可采用待定系数法，先定位焦点坐标轴，设出对应标准方程，再结合题干条件构建方程组求解；焦点位置不确定时，要分类讨论，也可设统一形式避开焦点讨论，最后检验参数满足曲线的限制条件． 迁移应用 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为.故选：B 【变式6-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程，解得， 又因为， 所以椭圆的标准方程为.故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】(1)或；(2)；(3). 【解析】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 题型七 求椭圆与双曲线离心率的值 【典例7】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 💡破题要诀 求离心率的三个常用方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 迁移应用 【变式7-1】（25-26高二上·山东济南·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作直线交椭圆于，若，且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】设，因为，所以，如图： 再由椭圆的定义得：，. 又因为，所以在直角三角形中，， 所以，，解得. 同理在直角三角形中，，， 所以，，即. 【变式7-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为圆的直径，且点在该圆上，则， 设，，由题意不妨设在第一象限， 则，由， 则，化简可得， 所以离心率.故选：D. 【变式7-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】设点在双曲线的第一象限，由轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得， 所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 题型八 求椭圆与双曲线离心率的取值范围 【典例8】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形， 所以必有. 即. 所以，所以， 又椭圆的离心率，所以.故选：D 💡破题要诀 求离心率取值范范围的常用方法 （1）几何法：根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 迁移应用 【变式8-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，即椭圆离心率，故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 【变式8-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，设， 则， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率， 所以双曲线的离心率取值范围是.故选：B. 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例9】（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立 得，即， 因为直线与椭圆有交点，所以，解得或， 又且，所以的取值范围是.故选：D. 💡破题要诀 判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，利用判别式判断：相交，相切，相离；当二次项系数含参数时，需要讨论二次项系数是否为0，区分一次方程与二次方程；同时可结合韦达定理得到根与系数的关系，用于后续弦长、面积等计算，解题不要遗漏直线斜率不存在的特殊情况． 迁移应用 【变式9-1】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令，解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A 【变式9-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】抛物线的准线为直线， 当且时，曲线为椭圆在轴及其上方的部分， 因为直线与曲线只有一个交点，所以，解得； 当时，曲线为圆在轴及其上方的部分， 此时直线与其只有一个交点； 当时，曲线为双曲线在轴上方的一支， 此时直线与曲线只有一个交点. 综上所述，实数的取值范围为. 【变式9-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）（多选）已知直线与双曲线有且只有两个公共点，则下列选项中k的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】已知直线：双曲线： 联立可得：， 化简得：， 要使直线与双曲线有且只有两个不同的公共点， 则联立后的二次方程必须有两个不同的实数解， 且二次项系数不为，即 ， 计算得： 综上且 代入选项判断：A符合，B：不符合，C符合，D：不符合.故选：AC 题型十 圆锥曲线的弦长及应用 【典例10】（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得．故选：B． 💡破题要诀 弦长公式：若直线与圆锥曲线交于，两点， 则或（）． 迁移应用 【变式10-1】（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 【答案】 【解析】设，， 由，得，则， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）， 故答案为：. 【变式10-2】（25-26高二上·福建南平·期中）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题可知：，即，可得， 因为点在椭圆上，则， 联立方程，解得， 所以椭圆. （2）由题可知，，故直线的斜率， 且直线与椭圆必相交，设点， 联立直线与椭圆方程，消去y得， 根据韦达定理：，， 所以. 【变式10-3】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为，即，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线， 代入，得，整理得：. 设， 因为均在的右支上， 所以，且，所以， 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. 题型十一 圆锥曲线的中点弦问题 【典例11】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，因为，两点在曲线上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件，故选：B 💡破题要诀 以椭圆为例，双曲线与抛物线同理 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 迁移应用 【变式11-1】（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆：（），过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，的中点，则直线的斜率， 由两式相减得，即， 而，，因此， 又，解得， 所以椭圆的方程为：.故选：D 【变式11-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 【答案】 【解析】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式11-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即， 所以直线的斜率. 因为点是弦的中点，所以，所以， 所以直线的方程为，即. 题型十二 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题 【典例12】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【解析】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 💡破题要诀 圆锥曲线中三角形、四边形面积问题，一般以弦为底，利用点到直线距离公式求高，结合弦长公式算出底边长度，代入面积公式求解；遇到坐标易表达的图形，也可采用坐标割补法（鞋带公式）计算面积；若是焦点三角形，可直接套用对应的焦点三角形面积公式．解题时要注意对直线斜率是否存在分类讨论，联立方程后不要忘记检验判别式，化简过程留意代数运算准确． 迁移应用 【变式12-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B． (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积. 【变式12-2】（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c， 当点到直线l的距离取最大值时，则轴，此时， 又椭圆C的离心率，则，即， 解得，，所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）可知：，即， 可知直线l与椭圆必相交，且直线l的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x得， 则，， 又因为，且， 则，结合可得， 代入可得，解得，即， 则， 所以的面积. 【变式12-3】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆过点，左焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（点在轴上方），若的面积与的面积之比为2：3，求直线的一般式方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题得，； ，椭圆的方程为． （2）如图所示，显然直线斜率不为零， 设直线的方程与椭圆方程．联立整理， 设，①，②， 由得， ，即． 点在轴上方，点在轴下方，故③ 将③代入①得，再由②得， 解得点在轴上方， ， ∴直线的方程． 题型十三 圆锥曲线中的定值问题 【典例13】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 💡破题要诀 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 迁移应用 【变式13-1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知椭圆：的左焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆：的左焦点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2）证明：设直线的方程为， 联立，消去并化简得， 又，其中， 且 设，则有， 所以 ， 即， 又，所以， 所以的值为定值. 【变式13-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【答案】(1)；(2)3 【解析】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 【变式13-3】（25-26高二上·吉林延边·期中）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）证明：设，联立，得． AI由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 题型十四 圆锥曲线中的定点问题 【典例14】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是， 【解析】（1）因为椭圆的离心率，所以，即. 因为双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以， 所以.所以椭圆的方程为. （2）若直线的斜率存在，故设直线的方程为， 由，消去，得， 所以设， 则， 所以. 所以.① 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，② 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点； 若直线斜率不存在，故其切线为，在这先讨论， 则，可得，， 所以可得此时以为直径的圆为， 即，显然也过原点； 同理可得当时也过原点； 综上可知，以为直径的圆过定点. 💡破题要诀 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 迁移应用 【变式14-1】（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析，恒过定点 【解析】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 【变式14-2】（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． (1)求C的标准方程； (2)若直线l的方程为，求 ； (3)若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【答案】(1)x2＝4y；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）抛物线的焦点为， 则点F到直线（即）的距离为 因，解得， 故抛物线C的标准方程为； （2）设， 由消去y得，解得， 则. （3）证明：设直线l的方程为，点， 由消去y得，由， 则， 依题意，得，因，则得， 因此直线l的方程为，因此直线l过定点． 【变式14-3】（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是，. 【解析】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为 . 故直线BC过定点. 题型十五 圆锥曲线中定直线问题 【典例15】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 💡破题要诀 一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)． 迁移应用 【变式15-1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为； （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【变式15-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）   设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【变式15-3】（25-26高二上·河北·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【答案】(1)；(2)（i）或；（ii）证明见解析 【解析】（1） 由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，解得或；    （ii）由（i）， 直线的方程为 直线的方程为． 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 题型十六 圆锥曲线中最值范围问题 【典例16】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为． （2）由（1）得椭圆的“准圆”方程为，由题意不妨设，， 设，则有，，， 所以， 又，则， 所以的取值范围是． 💡破题要诀 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 迁移应用 【变式16-1】（25-26高二上·浙江·期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为 ，化简得：． 动点的轨迹方程为：． （2）设直线方程为，，， 直线与圆相切，，即， 联立，消去，得， ， 且， 由韦达定理得， , 即，， ，， ，解得，解得或， ． 【变式16-2】（25-26高二上·广西桂林·期中）已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知圆心，半径， 连接，易知， 所以， 即点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴，短轴，焦距分别为， 即， 则的方程为； （2）显然直线斜率存在，不妨设，， 联立直线l与椭圆方程有，整理得， 所以，则， 由弦长公式可知， 原点到l的距离， 则， 令，则， 当且仅当时取得等号， 所以（为坐标原点）面积的最大值为. 【变式16-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 【答案】(1)；(2)4 【解析】（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得， 所以， 又焦点F与短轴两端点构成等边三角形， 所以，所以，， 所以，故. （2）由（1）知椭圆C的方程为， 当的倾斜角为0°时，与重合，不满足题意； 如图， 当的倾斜角不为0°时，由对称性得四边形为平行四边形 ，设直线的方程为 代入，得, 显然，设，， 则，， 所以 设，所以，， 所以 当且仅当即时，即时等号成立． 所以，而 所以. 题型十七 圆锥曲线中的向量问题 【典例17】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 【答案】(1)；(2)为定值，理由如下. 【解析】（1） 由题意知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，故设直线的方程为， 联立，可得， ，，解得且， 又直线交轴于，直线交轴于，故直线不过点， 把代入，解得，从而， 故直线的斜率的取值范围为. （2）为定值，理由如下： 设，由（1）可知， ， ， ， 故, 直线的方程为， 令，则， 同理可得, 由，可得，得， 由，可得， 得同理可得， 则. 💡破题要诀 圆锥曲线中的向量问题，核心思路是向量坐标化，把向量的平行、垂直、数量积、共线等条件转化为坐标关系式；将直线与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理得到交点坐标的和与积，代入向量坐标表达式化简求解；遇到向量模长、夹角条件，转化为代数不等式或等式，同时注意分类讨论直线斜率是否存在，联立方程后检验判别式，保证交点存在． 迁移应用 【变式17-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)；(3)为定值 【解析】（1）由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 【变式17-2】（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为； （2）（i）依题意可设直线l的方程为， ，，， 联立，消元得， 显然，则，， ， 则 ， 因为，所以，则， 所以的取值范围为． （ii）直线的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即、、三点共线. 【变式17-3】（25-26高二下·贵州·阶段检测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段PD，垂足为，点在线段DP的延长线上，且，当点在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上，且MQ与轴平行，过点作两条直线分别交曲线于点两点，设线段AB的中点为，若直线MQ平分，求证：三点共线． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，由轴于，点在线段的延长线上，且，得， 而点在圆上，则，当时，重合，满足上述方程， 所以曲线的方程为. （2）设，由轴，得，，显然直线斜率存在且不为0， 设直线，， 由消去得，， 则，解得，， 即点， 由直线平分，得直线斜率为，则点， 因此线段的中点，， 而，则，即，又共起点， 所以三点共线. 题型十八 圆锥曲线中的探究性问题 【典例18】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在； 【解析】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得，， 同理可得， ， 所以存在满足． 💡破题要诀 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 迁移应用 【变式18-1】（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程． (2)设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． (3)若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)当或时，点不存在；当且时，. 【解析】（1）由题意得：，即， 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知：， 则，直线的斜率， 则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大， 联立方程，消去y得， 则，解得：， 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 所以面积的最大值为. （3）假设直线上存在点，使得平分， 因为，可知点在椭圆内，则过的直线与椭圆必相交， 过的直线：，设，， 联立方程，消去y可得， 则，， 若，则， 设， 则，，， 可得， ， 则，即， 整理得：， 可得， 整理可得，即， 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存在； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时. 【变式18-2】（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在. 【解析】（1）因为轴时，， 所以点在椭圆上，则， 又，联立解得， 所以椭圆的方程为：． （2）当的斜率为零时，为椭圆长轴端点， ， 则， 当的斜率不为零时，设的方程为： ， 设， 由消去 得， ， 所以， 又， 则， 因此，即， 所以． （3）根据题意得，，， ， 则， 同理， 而，， 由（2）知， 于是，， 所以， 整理得，则 或（舍去）， 因为，而，解得，即， 所以存在点满足题意． 【变式18-3】（25-26高二上·河南·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在 【解析】（1）由题意得，解得， 所以的方程为. （2）设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线，则双曲线焦点在轴上，则， 所以渐近线方程．故选：A． 2．（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的开口向左，焦点在轴的负半轴， 因为，所以焦点坐标为，故选：C. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2倍长半轴长，即， 又，焦点在轴上， ，故长半轴长， 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为，故D正确．故选：D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】当，即时，方程表示的曲线为圆； 当，，，即时，方程表示的曲线为椭圆； 当，即时，方程表示的曲线为双曲线； 方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线.故选：D. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 6．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆左焦点为，连接， 由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率．故选：C 7．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 8．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是______． 【答案】 【解析】由椭圆方程可得：，    由余弦定理得： ， 又因为，所以， 所以， 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； （2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设椭圆方程为，由题意可知 则，∴， 即椭圆. （2）设直线， 联立方程组得，整理后得， 令，则， ， 令，则，∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴. 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又， 则，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $