4.2.3二次函数y =ax2 +bx +c的图象与性质（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 4.2.3二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 导入新课 我们学了二次函数的一般形式，你还记得吗？ y = ax² + bx + c(a) 它的图象与性质又是怎样的呢？ ---今天，我们一起来探究它的图象与性质。 学 习 目 标 1 2 3 掌握把 y=ax2+bx+c（a≠0）配成顶点式的方法，并能用公式求对称轴和顶点（重点） 能够根据 a 的符号和顶点完整判断抛物线的开口、增减区间与最大值或最小值（重点） 能够通过平移和关键点作图，并在一般式、顶点式、图象特征与系数关系之间转换（难点） 新知探究 如何画二次函数y=-2x 2+6x -1 的图象？ 探 究 需要确定对称和顶点的坐标 y = a(x - h)2 +k(a≠0) 配方 配方的前提是二次项的系数为1 加上一次项系数一半的平方 二次函数的一般式 y=-2x 2+6x -1 =-2(x2-3x) -1 =-2[x2-4x+-]-1 =-2(x-)2+2-1 一提 二配 三化 四写 =-2(x-)2+ 有哪几种画图方法？ 新知探究 列表：自变量 x 从顶点的横坐标开始取值. y=-2x 2+6x -1 y=-2x 2+6x -1 x ··· ··· y=-2(x-)2+ 描点和连线： 画出图象在对称轴右边的部分． 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 这样就得到了函数y=-2x 2+6x -1 的图象 方法一：描点法 新知探究 方法二：平移法 观察图象，当x等于多少时，函数y=-2x 2+6x -1的值最大？这个最大值是多少？ 当x= 时，函数y=-2x 2+6x -1的值最大,这个最大值是 . 顶点的横坐标 顶点的纵坐标 先画y=-2x 2的图象 再平移 y=-2x 2+6x -1 y=-2x 2 例5 求二次函数y=x 2+2x -1的最大值. 典例分析 解：配方可得：y =x 2+2x -1=(x-2) 2+1. 顶点坐标是（2，1），于是当x=2 时，y 取最大值1 . 顶点的坐标 配方 新知探究 你能不能用配方法求二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴和顶点坐标？ y = ax² + bx + c ＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋x＋() 2－()2]＋c ＝a(x＋)2-＋c ＝a(x＋)2＋ 对称轴是直线x＝－ 顶点坐标是(－) 对称轴公式 顶点坐标公式 新知探究 总结归纳 y=ax²+bx+c a＞0 a＜0 函数图象 图象特点 抛物线开口方向 抛物线顶点坐标 抛物线对称轴 函数性质 函数增减情况 函数最大值或最小值 开口向上 开口向下 直线 直线 当x>时，y随x的增大而增大； 当x< 时，y随x的增大而减小 当x>时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增大 当x=时，y取得最小值，y最小值= 当x=时，y取得最大值，y最大值= 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 基础巩固题 新知应用 1.对于抛物线 ，下列说法正确的是( ) B A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴为直线 C.抛物线的顶点坐标为 D.当时，随 的增大而减小 配方 ,左升右降 基础巩固题 新知应用 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是 ( ) A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜时，y随x的增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0 D y0 基础巩固题 新知应用 3.已知二次函数y＝－2x2＋4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 A 4.将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为(　　) A．(－4，－1) B．(－4，2) C．(2，1) D．(2，－2) D 对称轴是直线x＝－ ,左升右降 要化为顶点式 y＝x2＋2x－1=(x+1)2-2 左右平移：自变量左加右减 y=(x+1-3)2-2 y=(x-2)2-2 基础巩固题 新知应用 5. 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 C 6. 将二次函数化成 的形 式，则 的值为( ) A A. 8 B. 6 C. D. 顶点坐标公式 基础巩固题 新知应用 7. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象： (1)； (2). (1)对称轴 x = 1， 顶点坐标 (1，－2) ， 开口向上. 基础巩固题 新知应用 7. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象： (1)； (2). (2)对称轴 x = 2， 顶点坐标 (2，2) ， 开口向下. 基础巩固题 新知应用 8. 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值. (1)； (2). (1) y = x2－3x+2 顶点坐标 最小值 顶点坐标 (-3，4) 最大值 4 基础巩固题 新知应用 9．已知抛物线y＝2x2－12x＋13． （1）当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式． 配方法 自变量左加右减，常数项上加下减 基础巩固题 新知应用 解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x－3)2－5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3． （1）当x＝3时，y有最小值，最小值为－5． （2）当x＜3时，y随x的增大而减小． （3）新抛物线的解析式为y＝2(x－5)2－3． 能力提升题 新知应用 10.若点 A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线 y＝x2－4x－m 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是 (　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 C 能力提升题 新知应用 11.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 D 图象法:画草图 能力提升题 新知应用 12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2．其中正确的个数是 （　　） A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　D．4 D 解析：由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得 (a＋c)2＜b2，故④正确． 课堂小结 二 次 函 数 y= ax2+bx+c的 图 象 和 性 质 图象：平移法：左加右减，上加下减. 描点法： 性质：最值、增减性 分a>0,a<0两种情况处理 一般式 配方 顶点式 配方：确定对称轴、顶点坐标 对称轴: ，顶点坐标：　　　　　.　 x= 感谢聆听! $