4.3 二次函数的表达式的求法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.3 二次函数的表达式的求法 旧知回顾 1．什么是待定系数法？ 先设含有未知系数的函数表达式，再根据题目条件求出未知系数从而得到函数表达式的过程叫待定系数法． 2．过点(1，4)，(0，3)的一次函数为 __________． 3．顶点为(2，－3)，且过另一点(1，5)的二次函数表达式为___________________． y＝x＋3 y＝8x2－32x＋29 自学互研 知识模块一　利用顶点式y＝a(x－h)² ＋k求二次函数的表达式 思 考 前面已经知道，只要求出k和b的值，就可以确定一次函数的表达式y=k+b.那么如何才能确定一个二次函数的表达式? 二次函数y=ax²+bx+c通过配方可化成y=a(x-h) ²+k，图象的顶点坐标是(h，k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 例1 已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，－6)，并且图象经过点(2，3)、求这个二次函数的表达式. 解： 因为二次函数图象的顶点坐标是(－1， －6)， 所以可设该二次函数的表达式为 y＝a(x + 1)²－6(a 为常数，a≠0)， 又因为图象经过点 (2，3)，将该点的坐标代人上式，得3＝a(2＋1)²－6. 解得 a＝1. 因此，所求二次函数的表达式是y＝(x＋1)²－6. 与一次函数类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，将它们代人函数表达式，列出一个关于待定系数a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，就可以确定二次函数的表达式. 【例1】若二次函数图象的顶点坐标为(1，－2)，且经过点(2，－3)，求该二次函数的关系式． 解：设该二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－2， 代入点(2，－3)，得－3＝a(2－1)2－2， 解得a＝－1. ∴y＝－(x－1)2－2(或y＝－x2＋2x－3). 【变例1】下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的横坐标x和纵坐标y. x … －1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 －1 0 m 8 … (1)观察表格，直接写出m＝________； (2)求这个二次函数的表达式． 解：(1)3 (2)由表格可知，二次函数图象顶点为(2，－1)， ∴设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－1. 把(0，3)代入，得3＝4a－1，解得a＝1. ∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3. x … －1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 －1 0 m 8 … 【变例2】二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝3，最小值为－2，且过(0，1)，求此函数的表达式． 解：由题意可知：该抛物线的顶点坐标为(3，－2)，则可设二次函数的表达式为y＝a(x－3)2－2， ∴把点(0，1)代入，得9a－2＝1，解得a＝. ∴该二次函数的表达式为y＝(x－3)2－2， 即y＝x2－2x＋1. 归纳总结 顶点法求二次函数表达式的方法 这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是 y = a(x - h)2 + k； ②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 知识模块二　利用一般式y＝ax²＋bx＋c求二次函数的表达式 根据三点坐标确定二次函数表达式，这三点应满足什么条件？ 三点在同一直线上不能确定二次函数； 三点不在同一直线上且三点的横坐标两两不相等，能确定唯一一个二次函数． 例 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ （1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）； （2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）. 解 （1）设二次函数 y = ax2+bx+c(a, b, c为常数，a) 的图象经过 P，Q，R三点， 解得 a = 2，b = -4，c = -3. 因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. 则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c= -5， a - b+ c = 3， 4a + 2b+c = -3， (2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P， Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组： 解得 a =0，b = -4，c = -1. 由于a =0， 因而不存在一个二次函数，其图象经过P，Q，M 三点. a + b + c = -5， a - b + c = 3， 4a + 2b + c = -9， 归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点. 【例1】已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)； (2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4). 解：(1)三点不在同一直线上， ∴确定函数表达式为y＝2x2＋x－1. (2)三点在同一直线上，不能确定一个二次函数． 【变例】已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点． (1)试确定此二次函数的表达式． (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由． 解：(1)二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)∵当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3， ∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．令－x2－2x＋3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1. ∴二次函数的图象与x轴的交点为(－3，0)，(1，0). ∴AB＝4. ∴S△PAB＝×4×3＝6. 已知三点求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 一般式法求二次函数表达式的方法 归纳总结 其步骤是： ①设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到 a，b，c 的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 知识模块三　利用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)求二次函数的表达式 解：因为 ( -3，0)、( -1，0) 是抛物线 y = ax2+bx+c 与 x 轴的交点. 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 所以可设这个二次函数的表达式是 y = a(x - x1)(x - x2). (其中x1、x2为交点的横坐标) 因此得y = a(x + 3)( x + 1). 解得 a = -1， 再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 3)(x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3. 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是 y = a(x - x1)(x - x2)； ②先把两交点的横坐标 x1，x2 代入，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一坐标的点代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 归纳总结 【例3】已知二次函数图象与x轴的交点是(1，0)，(3，0)，与y轴交于(0，3). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)判断点P(－1，8)是否在此抛物线上． 解：(1)二次函数图象与x轴的交点是(1，0)，(3，0). 设二次函数的表达式为y＝a(x－1)(x－3). 把(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)， 得3＝a×(0－1)×(0－3)， 解得a＝1， ∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. (2)由(1)，得y＝x2－4x＋3， 当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8， ∴点P(－1，8)在此抛物线上． 随堂检测 1.已知二次函数图象的顶点坐标为(1，2)，且图象过原点，求这个二次函数的表达式. 解:因为二次函数图象的顶点坐标为(1,2), 所以可设二次函数表达式为y=a(x-1) 2+2. 由函数图象过原点,将x=0,y=0代入,得0=a(0-1) 2+2， 解得a=-2. 所以这个二次函数的表达式为y=-2(x-1) 2+2, 化为一般式,得y=-2x2+4x. 2 .已知二次函数y=a x2 +bx+c的图象经过A(0,2)，B(1，3)，C(-1，-1)三点，求这个二次函数的表达式. 解:将三个点A(0,2),B(1,3),C(-1,-1)的坐标分别代入y=a x2 +bx+ c中,得到关于a,b,c的三元一次方程组: c = 2， a + b + c = 3， a - b + c = -1， 所以这个二次函数的表达式为y=- x2 +2x+2. 解得 a =-1， b =2， c =2 3.已知对于二次函数y= a x2 +bx+c ，当x分别取-4， - 3， - 2时，其函数值依次为3，5，3.求当x = 1时y的值. 解::把自变量x与所对应的函数值y分别代入y=a x2 +bx+ c中,得到关于a,b,c的三元一次方程组: 16a -4 b + c = 3， 9a -3 b + c = 5， 4a - 2b + c = 3， 解得 a =-2， b =-12， c =-13 所以二次函数的表达式为y=-2 x2 -12x-13. 当x=1时,y=-2 × 12-12×1-13=-27. 课堂小结 ① 已知三点坐标 ② 已知顶点坐标或对称轴或最值 ③ 已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x - h)2 +k 用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2 为与 x 轴交点的横坐标) $