重难点专题18 圆的基础概念与简单计算（7大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题18 圆的基础概念及简单计算 重难点一 圆中基础概念辨析 ①熟记圆、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧的定义，标记概念中的限定词。 ②抓住核心特例判断：直径属于弦，但弦不一定是直径；等弧必须在同圆或等圆中。 ③逐项核对选项语句，识别偷换前提、省略条件的错误表述。 ④排除干扰说法，选出正确描述。 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 3．下列圆中的线段是该圆的直径的是（　　） A． B． C． D． 4．石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 5．下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 6．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 7．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 8．如图，圆的四条半径OA，OB，OC，OD把圆分为四部分，图中有________条弧． 9．在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 重难点二 圆的周长及面积问题 ①审题，区分已知条件是半径r还是直径d。 ②选择对应公式：周长，面积。 ③若是组合图形，拆分图形，把所求部分转化为圆相关基础图形。 ④计算周长时，留意边界线段，不要只算圆弧而漏掉直线边。 ⑤代入数值计算，规范书写结果。 1．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 2．一个圆和一个正方形的周长相等，它们的面积比较（    ） A．正方形的面积大 B．圆的面积大 C．一样大 3．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 4．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 5．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 6．如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 7．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示.其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间.请用含的代数式表示图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 9．周长为的圆，面积为_______．（取）． 10．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 11．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 12．请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（接头和损耗都忽略不计）（(取 (1)你选择型号（       ）和（       ）的铁皮搭配， (2)用你选的型号制成的水桶容积是多少升？ (3)若用一张平方分米的铁皮制作这个水桶，铁皮的利用率是百分之几？ 13．小华与丁丁在探究圆柱表面积计算方法时，将圆柱模型展开（如图1），发现圆柱表面积的计算方法：圆柱的侧面积＋2个底面积=圆柱的表面积． 图1 图2 在此基础上，他们又进行了进一步探究：把圆柱的两个底面分别平均分成若干个小扇形，拼接成一个近似的长方形，然后将其与侧面展开后的长方形拼成一个大长方形（如图2）． 【探索发现】大长方形与圆柱的表面积存在这样的关系：拼成的大长方形的长等于原来圆柱的底面周长，大长方形的宽等于原来圆柱的底面半径与高的和．因为圆柱的表面积等于拼成的大长方形的面积，那么圆柱的表面积也可以用底面周长×(底面半径＋高)来计算． 【规律应用】已知圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，请你用推导出的表面积公式计算这个圆柱的表面积，取3． 14．金秋研学季，阳光小学六年级120名学生在老师带领下乘坐3辆大巴车前往森林公园开展“数学与自然”实践活动．活动相关信息如下： 大巴车从学校到森林公园总共要行驶18千米，其中上坡路占全程的，平路与下坡路的路程比是2∶1，大巴车上坡的速度是30千米/时，平路速度比上坡快． 森林公园的中心是一个圆形小广场，半径为10米，广场外边紧贴有一圈宽2米的彩色环形跑道，广场周围种植有各种花卉，其中茶花和菊花的株数比是5∶3，茶花的株数占花卉总株数的． 研学活动中，六年级学生被分成人数相同的小组开展植物观察，每个小组的男生人数都是女生人数的，活动中同学们分工明确，合作积极． 为了整个活动顺利进行，学校还为全体同学准备了矿泉水，购买的矿泉水数量比学生总人数的少15瓶．矿泉水的零售价是每瓶2元，批发价是零售价的． 请根据以上信息，完成下列探究： (1)大巴车驶完上坡路需要多少小时？下坡路的路程是多少千米？ (2)彩色环形跑道的面积是多少平方米？ (3)六年级参加研学的男生和女生各有多少人？最多被分成了多少个相同的小组？ (4)学校批发采购矿泉水总共节省了多少元？ 重难点三 点与圆的位置关系 ①找到圆心，计算点到圆心的距离。②提取圆的半径。③比较与大小：点在圆外；点在圆上；点在圆内。④根据大小关系判定位置。 1．已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 2．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 3．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 4．如图，以正方形顶点A为圆心，长为半径画圆，下列说法正确的是（   ） A．点A在圆内 B．点B在圆内 C．点C在圆上 D．点D在圆外 5．已知点A不在半径为的内，则点A与点O之间的距离d的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 7．已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 8．已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________． 重难点四 利用点与圆的位置关系求半径 ①算出每个点到圆心的距离。 ②根据题干给出的点的位置，列出等式或者不等式。 ③求解，得到半径或者半径取值范围。 ④存在多个点时，取所有条件的公共解集。 ⑤检验结果是否符合题意。 1．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 3．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 4．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 重难点五 与外接圆有关的概念辨析 ①牢记三角形外接圆、外心定义，外心是三边垂直平分线交点。 ②熟记性质：外心到三角形三个顶点距离相等。 ③区分外接圆、外心和内切圆、内心，不要混淆。 ④逐句阅读选项，识别概念混淆类错误。 1．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 2．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 4．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 5．下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 6．三角形的外心是______的交点． 7．以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 重难点六 与外心有关的计算 ①判断三角形类型，直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边一半。 ②普通三角形，利用垂直平分线的性质，找到相等线段。 ③构造直角三角形，借助勾股定理建立方程。 ④解方程求出边长或者外接圆半径。 ⑤带回题目验证。 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 3．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2） 5．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 8．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（     ） A．5 B．5或4 C． D．5或 9．如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 10．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（    ） A．100° B．120° C．125° D．135° 11．在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 15．如图，，是的直径，弦与交于点F，下列三角形，，，中，外心不是点O的是____________．    16．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 19．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 20．在中，，，则的重心和外心的距离为______． 21．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 22．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 23．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 重难点七 与圆有关的尺规作图 ①选取三角形任意两条边。 ②分别作两条边的垂直平分线，两条平分线交点即为外心。 ③以交点为圆心，圆心到任意顶点的长度作为半径画圆。 ④保留全部作图痕迹。 ⑤书写作图结论。 1．如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 4．四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ） A．  B．  C．D．   5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于____________； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的__________________________． 6．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接） 7．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 8．如图，已知． （1）尺规作图作的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)： （2）是等腰三角形，且腰，底边，求圆的半径． 9．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 10．请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间有什么关系． 74．用尺规作过三角形三个顶点的圆． 已知：如图，． 求作：，使它过三点A，B，C． 11．阅读材料： 已知：如图，为锐角三角形，，． 求作：线段，使得点P在直线上，且． 作法：①以点A为圆心，长为半径画圆，交直线于C，P两点；     ②连接，线段就是所求作的线段． 完成下面的证明． 证明：∵，     ∴_________， ∵，     ∴点B在上， 又∵点C，P都在上， ∴（___________________________） ∴（__________________）． 12．如图，在中，，的平分线交于点，请用无刻度直尺和圆规作图，并回答下列问题． (1)在边上确定点，以点为圆心作，且经过，两点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，求证：直线为的切线． (3)若，，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题18 圆的基础概念及简单计算 重难点一 圆中基础概念辨析 ①熟记圆、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧的定义，标记概念中的限定词。 ②抓住核心特例判断：直径属于弦，但弦不一定是直径；等弧必须在同圆或等圆中。 ③逐项核对选项语句，识别偷换前提、省略条件的错误表述。 ④排除干扰说法，选出正确描述。 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 3．下列圆中的线段是该圆的直径的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，掌握直径的概念以及圆周角定理是解题的关键． 根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，且直径所对的圆周角是直角，进行分析，即可作答． 【详解】解：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，且直径所对的圆周角是直角， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 4．石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，“方圆”通常指的是以某点为中心的圆形区域，“十里”描述的是这个圆形区域的某种域长度特征． 【详解】解：“方圆十里”意思是以某个中心为圆心，半径为十里的圆形范围， 所以这里的“十里’指的是圆的半径． 故选：A． 5．下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 6．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 7．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 8．如图，圆的四条半径OA，OB，OC，OD把圆分为四部分，图中有________条弧． 【答案】12 【分析】本题侧重考查圆弧的条数，了解圆弧的定义是解题关键． 圆弧是圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；本题要求的弧没有规定是优弧还是劣弧，所以两种都可以考虑，据此解答． 【详解】解：由于题目没有明确限定是优弧还是劣弧，，，，，，，优弧，优弧，优弧，优弧，优弧，优弧，共有12条弧． 故答案为：． 9．在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【答案】 ，， ，，   ， 【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 【详解】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 重难点二 圆的周长及面积问题 ①审题，区分已知条件是半径r还是直径d。 ②选择对应公式：周长，面积。 ③若是组合图形，拆分图形，把所求部分转化为圆相关基础图形。 ④计算周长时，留意边界线段，不要只算圆弧而漏掉直线边。 ⑤代入数值计算，规范书写结果。 1．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵ 底面直径为， ∴ 底面半径为： ， ∴ 底面积 为：， ∵ 圆柱体积 ， ∴ ． 2．一个圆和一个正方形的周长相等，它们的面积比较（    ） A．正方形的面积大 B．圆的面积大 C．一样大 【答案】B 【分析】本题可设周长为定值，分别计算正方形和圆的面积，再比较大小即可得到结论． 【详解】解：设圆和正方形的周长都为， ∴正方形边长为，圆的半径为， ∴正方形面积为，圆的面积为， ∵两个面积的分子均为，且， ∴ ，即， 因此周长相等时圆的面积更大． 3．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 4．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 【答案】B 【分析】圆规两脚间的距离是所画圆的半径，根据圆的周长公式计算半径即可得到答案，π取3.14． 【详解】解：∵圆规两脚间的距离等于 厘米． 5．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长，有理数除法的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题关键．由图可知这个圆片的周长大约是，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知这个圆片的周长大约是， ∴这个圆片的直径大约是． 故选：B． 6．如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，圆的面积的计算，理解数量关系是关键． 根据圆的面积的计算方法列式求解即可． 【详解】解：， 故选：C ． 7．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示.其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间.请用含的代数式表示图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据图形列代数式，正确列出代数式是解题的关键．阴影部分的面积等于最大圆面积减去五个小圆的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，阴影面积为： 故选：B． 8．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 9．周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 10．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 11．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 12．请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（接头和损耗都忽略不计）（(取 (1)你选择型号（       ）和（       ）的铁皮搭配， (2)用你选的型号制成的水桶容积是多少升？ (3)若用一张平方分米的铁皮制作这个水桶，铁皮的利用率是百分之几？ 【答案】(1)和或和（答案不唯一） (2)方案①：升，方案②：升 (3)方案①：，方案②： 【详解】（1）解：圆的周长：（分米）；圆的周长：（分米）， 根据圆柱的侧面展开后的长方形的长等于底面周长，可选择型号和或和； （2）解：方案①：选择和， 图的长方形宽：分米，图的圆的底面半径：分米， 圆柱体积列式：（立方分米），立方分米＝升， 方案②：选择和， 图的长方形宽：分米，图的圆的底面半径：（分米）， 圆柱体积列式：（立方分米），立方分米＝升， 答：由和制成的水桶容积是升，由和制成的水桶容积是升； （3）解：方案①：选择和， 图的长方形面积：（平方分米）， 图圆面积：（平方分米）， 铁皮的利用率：， 方案②：选择和， 图的长方形面积：（平方分米）， 图圆面积：（平方分米）， 铁皮的利用率：， 答：方案①：铁皮的利用率是，方案②：铁皮的利用率是． 13．小华与丁丁在探究圆柱表面积计算方法时，将圆柱模型展开（如图1），发现圆柱表面积的计算方法：圆柱的侧面积＋2个底面积=圆柱的表面积． 图1 图2 在此基础上，他们又进行了进一步探究：把圆柱的两个底面分别平均分成若干个小扇形，拼接成一个近似的长方形，然后将其与侧面展开后的长方形拼成一个大长方形（如图2）． 【探索发现】大长方形与圆柱的表面积存在这样的关系：拼成的大长方形的长等于原来圆柱的底面周长，大长方形的宽等于原来圆柱的底面半径与高的和．因为圆柱的表面积等于拼成的大长方形的面积，那么圆柱的表面积也可以用底面周长×(底面半径＋高)来计算． 【规律应用】已知圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，请你用推导出的表面积公式计算这个圆柱的表面积，取3． 【答案】126平方厘米 【分析】根据题目推导的圆柱表面积公式，结合已知条件厘米、厘米、取3，进行计算即可． 【详解】解：底面周长（厘米）， 大长方形的宽（厘米）， 计算表面积（平方厘米）． 14．金秋研学季，阳光小学六年级120名学生在老师带领下乘坐3辆大巴车前往森林公园开展“数学与自然”实践活动．活动相关信息如下： 大巴车从学校到森林公园总共要行驶18千米，其中上坡路占全程的，平路与下坡路的路程比是2∶1，大巴车上坡的速度是30千米/时，平路速度比上坡快． 森林公园的中心是一个圆形小广场，半径为10米，广场外边紧贴有一圈宽2米的彩色环形跑道，广场周围种植有各种花卉，其中茶花和菊花的株数比是5∶3，茶花的株数占花卉总株数的． 研学活动中，六年级学生被分成人数相同的小组开展植物观察，每个小组的男生人数都是女生人数的，活动中同学们分工明确，合作积极． 为了整个活动顺利进行，学校还为全体同学准备了矿泉水，购买的矿泉水数量比学生总人数的少15瓶．矿泉水的零售价是每瓶2元，批发价是零售价的． 请根据以上信息，完成下列探究： (1)大巴车驶完上坡路需要多少小时？下坡路的路程是多少千米？ (2)彩色环形跑道的面积是多少平方米？ (3)六年级参加研学的男生和女生各有多少人？最多被分成了多少个相同的小组？ (4)学校批发采购矿泉水总共节省了多少元？ 【答案】(1)小时；4千米 (2)平方米 (3)男生50人；女生70人；10个 (4)66元 【分析】（1）先求出上坡路程，利用“时间=路程÷速度”计算上坡时间；再求出剩余路程，按比例分配求出下坡路程； （2）明确内圆半径，加上环宽得出外圆半径，利用圆环面积公式 计算； （3）根据男女生比例及总人数，按比例分配求出具体人数；求最多分组数即求男女生人数的最大公因数； （4）先算出购买总瓶数，再计算单瓶节省的金额（零售价与批发价之差），最后乘以总瓶数得出总节省金额． 【详解】（1）解：（千米），（小时） （千米），（份），（千米） 答：大巴车驶完上坡路需要小时，下坡路的路程是千米． （2）（米），（平方米） 答：彩色环形跑道的面积是平方米． （3）解：，（份），（人），（人），（个） 答：六年级参加研学的男生有50人，女生有70人，最多被分成了10个相同的小组． （4）（瓶） （元），（元） 答：学校批发采购矿泉水总共节省了66元． 重难点三 点与圆的位置关系 ①找到圆心，计算点到圆心的距离。 ②提取圆的半径。 ③比较与大小：点在圆外；点在圆上；点在圆内。 ④根据大小关系判定位置。 1．已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 2．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 3．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 4．如图，以正方形顶点A为圆心，长为半径画圆，下列说法正确的是（   ） A．点A在圆内 B．点B在圆内 C．点C在圆上 D．点D在圆外 【答案】A 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系， 根据正方形的性质可知，进而得出四个点和圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴点A在圆内，点B，D在圆上，点C在圆外． 故选：A． 5．已知点A不在半径为的内，则点A与点O之间的距离d的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：∵点不在半径为的内， ∴点在上或外， 当点在上时，， 当点在外时，， 综上所述，点A与点O之间的距离d的取值范围是． 6．已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 【答案】 外 上 【分析】先求出的半径，再比较与半径的大小，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的直径为， 的半径， 当时， ， 点在外； 当时， ， ∴点在上； 当点在内时，根据点与圆的位置关系可得． 7．已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 【答案】外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，一个圆的圆心到一个点的距离为d，圆的半径为，则当时，该点在圆外；当时，该点在圆上，当时，该点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外， 故答案为：外． 8．已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系确定的取值范围，再找出范围内符合要求的正整数即可． 【详解】解：∵ 的半径为，，点在外， ∴， ∵点是上不含端点的点，， ∴可得， ∴点在外的正整数的值为：． 故答案为：． 重难点四 利用点与圆的位置关系求半径 ①算出每个点到圆心的距离。 ②根据题干给出的点的位置，列出等式或者不等式。 ③求解，得到半径或者半径取值范围。 ④存在多个点时，取所有条件的公共解集。 ⑤检验结果是否符合题意。 1．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解： 的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 3．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】 7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 4．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 重难点五 与外接圆有关的概念辨析 ①牢记三角形外接圆、外心定义，外心是三边垂直平分线交点。 ②熟记性质：外心到三角形三个顶点距离相等。 ③区分外接圆、外心和内切圆、内心，不要混淆。 ④逐句阅读选项，识别概念混淆类错误。 1．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 2．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 3．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 4．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 5．下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 6．三角形的外心是______的交点． 【答案】三角形三条边的线段垂直平分线 【详解】解：∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相同， ∴三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点， 故答案为：三角形三条边的线段垂直平分线． 7．以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 重难点六 与外心有关的计算 ①判断三角形类型，直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边一半。 ②普通三角形，利用垂直平分线的性质，找到相等线段。 ③构造直角三角形，借助勾股定理建立方程。 ④解方程求出边长或者外接圆半径。 ⑤带回题目验证。 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 2．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 3．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一、如图，连接，    ∵点是的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法二、如图，    ∵点是的外心， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2） 【答案】B 【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P， 则点P为△ABC外接圆的圆心， 由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 5．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心， ∴是四点共圆， ∴ ∴， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为． 7．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键． 设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵抛物线关于y轴对称， ∴的外心在y轴上， 设的外心P的坐标为，连接，则有， 对于二次函数，当时，， 当时， ∴ ∴， 则，， 在中，，即 解得：， ∴的外心P的坐标为， 故选：A． 8．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（     ） A．5 B．5或4 C． D．5或 【答案】A 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8． ∴斜边长． ∴外接圆半径． 9．如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 10．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（    ） A．100° B．120° C．125° D．135° 【答案】C 【分析】利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案． 【详解】解：点为的外心，， ， ， 点为的内心， ， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键． 11．在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据公式求出R，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 则， ∴， 即， 解得：， ∴的外接圆面积为：． 12．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 【答案】 【分析】的外接圆圆心是其三边的垂直平分线所在直线的交点，因此分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心， ∴的外接圆圆心的坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 15．如图，，是的直径，弦与交于点F，下列三角形，，，中，外心不是点O的是____________．    【答案】 【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可． 【详解】解：只有的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键． 16．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 19．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 20．在中，，，则的重心和外心的距离为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：．    21．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 22．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 23．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 重难点七 与圆有关的尺规作图 ①选取三角形任意两条边。 ②分别作两条边的垂直平分线，两条平分线交点即为外心。 ③以交点为圆心，圆心到任意顶点的长度作为半径画圆。 ④保留全部作图痕迹。 ⑤书写作图结论。 1．如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 3．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 4．四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可． 【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，A不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，B不符合题意； C．根据作图痕迹可知，令的角平分线与交于点，如图，则，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点为圆心，画弧，与边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点，延长交于点，故为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，C不符合题意；    D．作图痕迹没有依据，D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断． 5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于____________； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的__________________________． 【答案】 根据以点和点为顶点的的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心；连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即为的平分线 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据的圆周角所对的弦为直径，找到两条直径的交点即为圆心；根据垂径定理和弧、圆周角的关系即可作出的平分线． 【详解】解：（1）， ∴线段的长度等于； （2）如图，分别以点和点为顶点构造和， ∵， ∴和都是的直径， ∴和的交点是圆心，即为所要求作的点， 如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接， 通过证明三角形全等易得点为小正方形一边的中点， ， 又∵ ∴ ， ， ， ， 平分， 点就是所要求作的点． 6．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接） 【答案】r2＜r1＜r3 【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可. 【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径 ∴r2＜r1＜r3 故答案为：r2＜r1＜r3 7．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆； （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 8．如图，已知． （1）尺规作图作的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)： （2）是等腰三角形，且腰，底边，求圆的半径． 【答案】（1）图见解析；（2）圆的半径为． 【详解】（1）三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，三角形三边垂直平分线必交于一点 则先作出AB、BC的垂直平分线，交于点O，即为三角形外接圆的圆心；再以为半径画圆即可得，作图结果如图1所示： （2）如图2，连接AO，并延长交BC于点D 由等腰三角形的三线合一性和三角形外接圆的性质得：AD为底边BC的中线和高线 则 在中，，即 解得 因此，圆的半径为． 【点睛】本题考查了圆的尺规作图、三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 9．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 【答案】如图，即为所求， 不经过点D 【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D． 【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点， 由图形可知，到圆心的距离不等于半径， ∴不经过点D． 10．请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间有什么关系． 【答案】如图， 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外部． 【详解】略 74．用尺规作过三角形三个顶点的圆． 已知：如图，． 求作：，使它过三点A，B，C． 【答案】 【分析】作的垂直平分线；作的垂直平分线，交于O；连接，以O为圆心，为半径作；则即为所求． 【详解】略． 11．阅读材料： 已知：如图，为锐角三角形，，． 求作：线段，使得点P在直线上，且． 作法：①以点A为圆心，长为半径画圆，交直线于C，P两点；     ②连接，线段就是所求作的线段． 完成下面的证明． 证明：∵，     ∴_________， ∵，     ∴点B在上， 又∵点C，P都在上， ∴（___________________________） ∴（__________________）． 【答案】如图，线段即为所求． ；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；等量代换 12．如图，在中，，的平分线交于点，请用无刻度直尺和圆规作图，并回答下列问题． (1)在边上确定点，以点为圆心作，且经过，两点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，求证：直线为的切线． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为3 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点即为点； （2）连接，可证明，再由，即可证明结论； （3）设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （3）解：设，则， 由（2）可知，， ∴在中，， ∴， 解得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $