第二章 一元二次函数、方程和不等式测试卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一一元二次函数、方程和不等式培优测试，聚焦单元核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学运算、逻辑推理与模型意识，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|一元二次不等式解集、基本不等式、命题真假判断|多选设计考查思维严谨性，如第9题结合不等式性质判断取值范围| |填空题|3题/15分|含参命题、实际应用（球类喜好人数）、最值问题|第13题联系实际，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|5题/77分|不等式求解、恒成立问题、方程根分布、函数综合|分层设问，如18题三问从恒成立到最值再到解集，考查数学思维的逻辑性与系统性|

第二章 一元二次函数、方程和不等式测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 2．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 3．（25-26高二上·福建龙岩·期末）命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解即可得答案． 【详解】命题，使为真命题， 即，使成立，即能成立 设，则，当且仅当，即时，取等号，即，， 故的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键，属于中档题． 4．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【分析】先根据不等式的解集判断的符号和与的关系式，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 5．（25-26高一上·河北承德·期末）已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】令，则，化简，利用基本不等式即可 【详解】由，得． 令，则，解得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 故选：D． 6．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·广东湛江·期中）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】利用.不等式的性质依次判断选项即可 【详解】由，，得，，所以，，故A正确，B不正确. 因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确. 令，则解得因为，，所以，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD 10．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式计算可判断A错误，结合基本不等式中“1”的应用可得B正确，将代入并利用二次函数性质即可求得最小值，可得C正确，根据为定值，利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，由可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，因此A错误； 对于B，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由可得，所以； 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，即C正确； 对于D，易知，所以； 当且仅当，即时，等号成立，因此D正确. 故选：BCD 11．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【分析】根据已知得，结合各项的描述及一元二次不等式的解法依次分析各项的正误即可. 【详解】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 13．（25-26高一上·山西·阶段检测）某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为_________. 【答案】 【分析】设出该组学生中喜欢羽毛球、篮球、乒乓球的人数，然后根据已知条件得到喜欢三类运动的总人数不小于，再给出取到的例子即可. 【详解】设该组学生中喜欢羽毛球、篮球、乒乓球的人数分别为，则，且根据已知条件有 ，结合知，即. 由于每位学生只喜欢一种球类运动项目，故喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数为. 再由，知，从而. 故. 当，，时，有，且. 所以喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1). (2). (3)时解集为；时解集为； 时解集为； 【详解】（1）即为，故或， 故不等式的解集为. （2）即为，故或， 所以或， 故不等式的解集为. （3）即为， 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，不等式的解集为： 时解集为；时解集为； 时解集为； 16．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 17．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列不等式求解即可得实数的取值范围； （2）根据二次方程的根列不等式求解即可得实数的取值范围. 【详解】（1）关于关于的一元二次方程有两根， 可得，解得，且 又两根为正根，所以，，即，解得或 故实数的取值范围为； （2）由题意可知：， 若，解得，此时无实数根，满足题意； 若，解得，且， 设此时两实数根分别为，， 则由题意得，，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最大值； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)最大值为； (3) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）由（1）的结论，变形目标式并利用基本不等式求出最大值. （3）在的条件下，分类讨论求解一元二次不等式. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立， 当时，，对一切实数不恒成立； 因此，，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. （3）当时，不等式为，解得； 当时，不等式 ， 当时，，故不等式的解为或； 当时，，故不等式的解为； 当时，,故不等式的解为或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为 (3)或时，解集为 时，解集为 时，解集为 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）通过，，讨论函数单调性，进而可求解； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）时，， ； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 2．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 3．（25-26高二上·福建龙岩·期末）命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 5．（25-26高一上·河北承德·期末）已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·广东湛江·期中）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 13．（25-26高一上·山西·阶段检测）某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为_________. 14．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 16．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 17．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最大值； (3)求关于的不等式的解集. 19．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $