4.3.2对数的运算（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.3对数 4.3.2对数的运算 学 习 目 标 1 2 3 掌握对数的运算法则，能利用法则、换底公式进行对数化简与求值运算. 经历对数运算法则的推导过程，体会指数与对数的互化思想，提升逻辑推理能力. 感受指数、对数内在的统一联系，养成严谨运算、规范书写的学习习惯. 新课引入 新课引入 4.1时我们学习了指数幂运算的性质： 从对数定义知道，对数式与指数式是可以相互转化的，那么对数的运算是否存在类似的性质与法则呢？这节课我们就从指数与对数的关系及指数幂的运算性质，来研究相应的对数的运算性质. 探究一：对数的运算性质 新知探究 思考：计算：=______，=______，=______. =______，=______，=______. 观察上题中数值之间的关系，你有何猜想？ （1）即，则 即，则 探究一：对数的运算性质 新知探究 思考：计算：=______，=______，=______. =______，=______，=______. 观察上题中数值之间的关系，你有何猜想？ （2）即 即 （3）即 即 探究一：对数的运算性质 新知探究 问题1：你能根据指数与对数的关系以及指数运算性质，证明以上对数运算性质吗？ （1）； 证明：设，于是，由对数的定义得到 ， ， ∴，其中且，，0. 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘. 探究一：对数的运算性质 新知探究 （2）； 证明：设，于是， 由对数的定义得到 ， ， ∴，其中且，，0. 即：同底对数相减，底数不变，真数相除. 探究一：对数的运算性质 新知探究 证明设 ∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： ∴. （3）. 探究一：对数的运算性质 新知探究 如果，且，，，那么 ① 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘. ② 即：同底对数相减，底数不变，真数相除. ③ 即：真数的次数可以提到对数前作为系数. 典例精讲 例3：求下列各式的值：(1) (2). 【分析】① ② ③ 解： 5219. 典例精讲 例4：写出用表示 【分析】① ② ③ 解： 探究二：对数的换底公式 新知探究 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数. 你能根据对数的定义推导出下面的公式吗？ （ ，且；；，且 ） 设，两边同时取以为底的对数，得 则，，即 对数换底公式 探究二：对数的换底公式 新知探究 问题2：通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论. (1)；(2)；(3). 证明(1)： 证明(2)：∵∴ 证明(3)： 对数换底公式的重要推论 技巧点拨 换底公式：（ ，且；；，且 ） 对数换底公式的重要推论： ，且；，且 . ，且；,, . ，，，，且 . 特别地， . 即时训练 题型1 对数的运算性质及应用 1、计算下列各式： ①② 解：①原式 ②原式 2、求下列各式的值： （1）； （2）. 解：（1） （2）原式 . 即时训练 题型1 对数的运算性质及应用 3、化简下列各式 ； ； 解：（1）原式 （2）原式 4、若则 等于（ ）. . . . . 即时训练 题型1 对数的运算性质及应用 5、设，则 . . . . 【答案】： 6、已知，，请用表示下列各式： ① ②； ③ ； ④ 【答案】：① ② ③ ④ 即时训练 题型1 对数的运算性质及应用 7、已知，，且.用，及表示下列各式： (1) ； (2) ；(3) 解：(1) (2) . 即时训练 题型2 换底公式及其应用 1、求值： ； 解：（1）原式 （2）原式 2、计算的值. 解：原式 即时训练 题型2 换底公式及其应用 3、若则的值为_______. 解：由已知可得即， ∴即 4、计算 解：原式 即时训练 题型3 对数与指数的综合运用 1、已知用表示的值. 解：∵∴ 于是 即时训练 题型3 对数与指数的综合运用 2、若，且， 解：设，则且， 所以 ，， ，则 ， 即，所以 . 课堂小结 感谢聆听! $