4.3.2对数的运算 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数的运算 第四章　4.3　4.3.2　对数的运算 索引 课时精练 一、对数的运算性质 二、对数运算性质的运用 三、利用对数的运算性质化简、求值 课堂达标 内容索引 对数的运算性质 一 探究1 将指数式M=ap,N=aq(a>0且a≠1)化为对数式,由MN=ap·aq=ap+q,能得到什么结论呢? 提示　由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN,且由MN=ap+q得p+q=loga(MN), 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0). 4 探究2 结合探究1,由==ap-q,又能得到什么结论? 提示　将指数式=ap-q化为对数式,得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0). 探究3 结合探究1,由M n=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结论? 提示　由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM,即logaMn=nlogaM(a>0,且a≠1,M>0,n∈R). 5 对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)=____________________________; (2)loga=____________________________; (3)logaMn=____________________________. 知识梳理 logaM+logaN logaM-logaN nlogaM(n∈R) 6 (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0,N>0. (3)性质(1)可以推广为: loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N*. 温馨提示 7 (链接教材P124例3)求下列各式的值. (1)ln e2;(2)log3e+log3 ;(3)lg 50-lg 5. 例1 (1)ln e2=2ln e=2. (2)log3e+log3=log3=log33=1. (3)lg 50-lg 5=lg =lg 10=1. 8 对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. 思维升华 9 (1)log2的值为 A.- B. C.- D. 训练1 √ log2=log2=. 10 √ (2)2log510+log50.25= A.0 B.1 C.2 D.4 2log510+log50.25=log5102+log50.25=log525=2. -1 (3)log515-log575=____________.  原式=log5=log5=log55-1=-1. 12 对数运算性质的运用 二 13 (链接教材P125例4)用lg x,lg y,lg z表示下列各式: (1)lg;(2)lg;(3)lg. 例2 (1)lg=lg(xy2)-lg z=lg x+lg y2-lg z=lg x+2lg y-lg z. (2)lg=lg(xy3)-lg=lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. (3)lg=lg-lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z)=lg x-2lg y-lg z. 14 思维升华 用对数值表示对数式时,要利用对数的运算性质分解对数式,然后代入即可,同时注意把对数式分解彻底. 15 (链接教材P127T5)已知lg 2=a,lg 3=b,则用含a,b的式子表示=____________.  训练2 　 ====. 16 利用对数的运算性质化简、求值 三 17 计算下列式子的值: (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;(2). 例3 (1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1. (2)原式===. 思维升华 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用; (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简. 　 化简并求值:log3+lg 25+lg 4-log2(log2 16)=____________.  训练3 原式=log33+lg(25×4)-log24=+lg 100-log222=+2-2=. 20 【课堂达标】 1.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg的值为 A.a-b2 B.a-2b C. D. √ ∵lg 3=a,lg 7=b,∴lg=lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 2 3 4 1 2.已知x,y为正实数,则 A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y √ 2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y. 2 3 4 1 3.2lg +lg 5=____________.  2lg+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1. 1 2 3 4 1 4.-lo+lg+ln =____________.  -lo+lg+ln=-lo+lg 10-2+ln =2-2+=. 　 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.计算lg 2-lg -eln 2等于 A.-1 B. C.3 D.-5 原式=lg-2=-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.2log6+3log6= A.log6 B.2 C.0 D.1 2log6+3log6=log6[()2×()3]=log66=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.已知x·log32=1,则4x= A.4 B.6 C. D.9 因为x·log32=1,所以x=log23, 所以4x===9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.已知3a=2,那么log38-2log36用a表示是 A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2 因为3a=2,所以a=log32, 所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.(多选)下列各式(各式均有意义)正确的是 A.loga(MN)=logaM+logaN B.loga(M-N)= C.logab=-loga D.lob=-nlogab √ 由对数的运算性质,A正确,B错; 又lob=logab,知D不正确; logab=loga=-loga,C正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.下列计算正确的是 A.log2[(-2)·(-3)]=log2(-2)+log2(-3) B.log26-log23=log23 C.ln e-ln =2 D.log3(-4)2=2log3(-4) √ 由题意,log2[(-2)·(-3)]=log26,而选项A中等式右侧无意义,所以A错误; 由对数的运算性质,可得log26-log23=log2=log22=1,所以B错误; ln e-ln =ln e2=2,所以C正确; 根据对数的化简,可得log3(-4)2=2log3(-4),而log3(-4)无意义,所以D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.已知3x=2,log3=y,则x+y= A.1 B.2 C.3 D.4 √ ∵log3=y,∴3y=,∴=, ∴=3x·=2×=3, ∴x+y=1,故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.(链接教材P126练习T1)(lg 5+lg 2)·=____________.  0 原式=lg 10×ln 1=1×0=0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.3log72-log79+2log7=____________.  0 原式=log78-log79+log7=log7=log71=0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知3a=2,3b=,则32a-b=____________.  20 ∵3a=2,3b=, 两边取对数得a=log32, b=log3=-log35, ∴2a-b=2log32+log35=log320,∴32a-b=20. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.计算下列各式的值: (1)log3+lg 25+lg 4+;(2)2log32-log3 +log38-. (1)原式=log3 +lg(25×4)+2=log3 +lg 102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.如果方程(lg x)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两根为α,β,则α·β的值是 A. B.lg 35 C.lg 7·lg 5 D.35 √ 由题意知,lg α,lg β是一元二次方程x2+(lg 7+lg 5)x+lg 7·lg 5=0的两根, 依据根与系数的关系得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5),则lg(α·β)=lg(7×5)-1,∴α·β=. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.若logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且a,b,c,x≠1),则logx(abc)=____________.  　 x=a2=b=c4,所以(abc)4=x7, 所以abc=,即logx(abc)=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知lg 2=a,lg 3=b. (1)求lg 72,lg 4.5; (2)若lg x=a+b-2,求x的值. (1)lg 72=lg(23×32)=3lg 2+2lg 3=3a+2b; lg 4.5=lg =2lg 3-lg 2=2b-a. (2)lg x=a+b-2=lg 2+lg 3-2=lg 2+lg 3+lg =lg ,所以x==0.06. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.已知实数x,y,正实数a,b满足ax=by=2,且+=-3,则a2+b的最小值为____________.  由题意得x=loga2,y=logb2, 所以+=2log2a+log2b=log2(a2b)=-3,所以a2b=,a2+b≥2=, 当且仅当a2=b,即a=,b=时等号成立. 故a2+b的最小值为. 　 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.267-1这个数的位数是多少?(参考数据:lg 2≈0.301) 由题意,得lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167, ∴267-1≈1020.167, ∴267-1这个数的位数为21. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $