《第三章圆第五节点与圆、直线与圆的位置关系》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第五节点与圆、直线与圆的位置关系》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解点、直线和圆位置关系的本质，会用数量关系（距离与半径）刻画几何位置，建立数形转化模型。 2.掌握切线判定与性质定理，能规范完成几何推理证明，分清判定与性质的条件与结论。 3.能画出点、直线与圆不同位置的图形，依托图形分析动态问题，提升圆相关几何识图能力。 4.会计算点到圆心距离、圆心到直线距离，结合勾股定理求解线段长度，解决圆与直角三角形综合计算。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.点与圆的三种位置关系：点在圆内、圆上、圆外，利用d与r的大小关系判断。 2.直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交，用圆心到直线距离d和半径r比较判断。 3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4.切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5.三角形的外接圆、外心概念；外心的位置特点。 （二） 难点 1.切线证明两类模型区分：连半径，证垂直；作垂直，证半径，两种辅助线的选用场景。 2.外心的位置辨析：锐角、直角、钝角三角形外心位置差异，利用外心性质解题。 3.动态情境下点、直线与圆位置关系分类讨论，不漏解。 4.切线性质综合题，构造直角三角形，结合勾股定理进行线段计算与几何推理。 )三．知识梳理 （一）点与圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. 2.圆的集合定义（静态定义）的拓展 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）圆内是所有d<r点的集合， （2）圆上是d=r点的集合， （3）圆外是d>r点的集合。 3.核心： 点和圆的位置，转化为点到圆心距离和半径大小比较 （二）直线与圆的位置关系 如图,直线l与☉O有什么位置关系、它们的公共点的个数分别是多少? 1.相关概念： （1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交; （2）相切：直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点; （3）相离：直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离. 2.直线与圆的位置关系的判断 设☉O半径r，圆心到直线垂线段距离d（必须是垂线，斜线段无效），直线与圆的位置关系如下表 位置关系 公共点个数 数量关系 直线名称 相交 2个 d ＜ r 割线 相切 1个 d = r 切线，唯一公共点叫切点 相离 0个 d ＞r 无专用名称 （三）切线判定与性质 生活中，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮 上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的。 1.切线判定（2种） （1）定义：直线与圆有唯一公共点； 如图，在⊙0中，经过半径OA的外端点A作直线l10A, 则圆心0到直线l的距离是多 少 ? 直 线I和⊙0有什么位置关系? （2）切线的判定定理： ①定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆切线（两个条件缺一不可）。 ②文字语言： 经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ③符号语言： 如图，在⊙0中0C是⊙0的半径，直线AB过点C,且 0C⊥AB于点C. ∵ 0C是⊙0的半径，且 0C⊥AB于点C , (注：两个条件缺一不可) ∴ AB是⊙0的切线. 2.切线性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径； l 已知:直线l是⊙0的切线，点A为切点 求证:0A⊥l 【讨论】条件中“经过切点”能否去掉? （2）过圆心且垂直切线的直线必经过切点； （3）过切点且垂直切线的直线必经过圆心。 3.切线证明两大辅助线模型： （1）已知点在圆上（有公共点）：连半径，证垂直，连接圆心和该公共点，证明连线与已知直线垂直。 （2）不知公共点（无明确交点）：作垂直，证半径，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆半径。 （四）基础拓展--切线长定理 1.切线的画法 用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 2.切线长 （1）定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． 【注意】：切线是直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. （2）切线长定理： ①内容： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. ②几何语言: PA，PB分别切☉O于点A，B ③推理： 推论1：圆心与圆外一点的连线OP垂直平分切点弦AB。 说明：∵PA=PB，OA=OB，→ P、O都在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB 推论2：切线夹角与两切点圆心角互补。 如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，那么∠APB+∠AOB=180o。 依据：OA⊥PA，OB⊥PB，四边形OAPB内角和360o，两个直角之和180o，剩余两角互补 推论3：圆外切四边形的两组对边之和相等（定理，圆外切四边形性质） 若四边形ABCD是☉O的外切四边形，则AB+CD=AD+BC，这是切线长定理最重要的拓展推论，中考高频考点 推论4：PA，PB分别切☉O于点A，B，那么△PAB是等腰三角形（PA=PB），∠ PAB=∠ PBA。 【补充说明】教材正文没有单独把这几条标注成“推论”，属于由切线长定理推导出来的常用二级结论，中考填空选择可以直接使用，解答大题如果直接用，最好简单书写推导过程。 （五）三角形内切圆 1.定义： 与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心内心，是三条角平分线交点，永远在三角形内部。 2.性质： （1）点O到三角形三边的距离相等; （2）AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA; （3）内心O一定在三角形的内部 3.核心公式： （1）通用面积公式：S△=(a+b+c)·r（a、b、c三边长，r内切圆半径）； （2）Rt△简化公式：直角边a、b，斜边c，r=； （六）圆外切四边形 1.定义： 圆外切四边形是指四边都与同一个圆相切的四边形，这个圆叫做四边形的内切圆。 2.性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等。 3.推论： （1）圆外切平行四边形一定是菱形. （2）圆外切梯形的两腰之和等于上下底之和。 4.判定： （1）判定1：四边都与同一个圆相切的四边形是圆外切四边形 （2）数量关系判定（考试最常用，计算类题型核心） 凸四边形两组对边之和相等四边形有内切圆（圆外切四边形） （3）特殊四边形专属判定（推论，快速判断） ①平行四边形 平行四边形为圆外切四边形该平行四边形是菱形 ②梯形 梯形为圆外切四边形梯形两腰长度之和 = 上下底长度之和 （4）角平分线判定（证明大题专用） 凸四边形四个内角的角平分线交于同一点，则该四边形是圆外切四边形 ①原理：角平分线交点到四条边距离相等，以该距离为半径、交点为圆心作圆，四边均与圆相切； ②辅助证明套路： a作四边形四个内角平分线，交于一点I； b过I向四条边作垂线段，证四条垂线段长度相等； c以I为圆心、垂线段长为半径作圆，四边均切于圆，判定为外切四边形 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·江苏南京中考真题改编）已知☉O半径r=5，点P到圆心距离OP=3，则点P在（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 2.（2025·无锡锡山区一模）☉O直径为8，圆心O到直线l距离d=4，则直线l与☉O位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 3.（2025·泰州姜堰期末）PA、PB切⊙O于A、B，OA=4，OP=8，切线长PA为（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 4.（2026·苏州九年级月考）2026航天科普展，模型圆☉O半径为6，直线AB是☉O切线，切点为C，则下列结论正确的是（ ） A.OC⊥AB B.OC平分AB C.OC=AB D.AB=2OC 5.（2025·扬州九年级期末）已知☉O半径r=7，圆心到直线距离d=6，则直线与圆（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无公共点 6. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5 7.如图P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为(　　) A.3 B.3 C.6 D.9 8．已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 9．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2， 若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P的坐标为(　　) A．(3，2) B．(3，3) C．(3，4) D．(3，5) 10．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，M和N分别是直线l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，则下列结论错误的是(　　) A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝ C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2间的距离为2 二．填空题（共30分） 11.（2025·南通九年级期末）⊙O半径是4，点A到圆心距离OA=5，则点A在⊙O______（填圆内/圆上/圆外）。 12.（2026·徐州九年级期中）直线与O⊙相切，圆心到直线距离是3cm，则⊙O半径r=__cm。 13.（2025·扬州九年级期中）⊙O半径r=10，圆心到直线距离d=12，直线与圆位置关系是 ___________。 14.（2025·泰州九年级期末）过圆上一点可以作⊙O的切线有______条。 15.（2026·盐城滨海二模）直角三角形直角边5、12，内切圆半径r=________ 16.如图,☉M的圆心为M(-2,2),半径为2,直线AB过点A(0,-2),B(2,0),则☉M关于y轴对称的☉M'与直线AB的位置关系是　　　　.   17．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2 cm为半径作☉M，当OM＝__________ cm时，☉M与OA相切. 18．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得PA＝5cm，则铁环的半径为__________． 19.．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 20．如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 三．解答题（共60分） 21．如图，已知，以点C为圆心作，半径为r. (1)当r取什么值时，点在外; (2)当r在什么范围时，在内，点B在外. 22.已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P． （1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系； （2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足条件． 23．如图所示，是的一条弦，切于点B，过点D作于点C，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求的大小．    24．如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 25．如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 26. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 27．阅读材料：如图①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r.连结OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r， ∴r＝. 类比推理：(1)若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图②，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r. 理解应用： (2)如图③，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·扬州中考二模）已知⊙O半径为5，直线l上有一点P，OP=5，则直线l与⊙O位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相离 2.（2025·连云港九年级期中）已知⊙O半径r=4，圆心到直线距离d，若直线与圆相交，则d可以是（ ） A.5 B.4 C.3 D.6 3．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 4．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 5.已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 6. 如图,在平面直角坐标系中, ⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴的正半轴夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x值的范围是(　　) A. -1≤x≤1 B. -≤x≤ C. -<x< D. 0≤x≤ 7.如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　） A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P 8. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A. 40° B. 55° C. 65° D. 70° 9．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是(　　) A．1 cm B．2 cm C．8 cm D．2 cm或8 cm 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　) A. B. C. D．2 二．填空题（共30分） 11.（2025·南通九年级二模）⊙O半径r=6，点P在圆外，则OP取值范围是______。 12.（2025·无锡九年级期末）PA切⊙O于A，OA=3，OP=5，则PA=______。 13.（2026·扬州九年级月考）直线l与⊙O相离，⊙O半径r=7，圆心距d的取值范围是 _____。 14.如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=2.8,☉O是以AB为直径的圆,则直线CD与☉O的位置关系是　　　　.  15．如图，AB与⊙O相切于点C．点D，E分别在OA，OB上，四边形ODCE为正方形．若OA＝2，则DE＝__________． 16.如图,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是　　　　.  17.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=　.  18．如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心P在射线OA上，点P与点O的距离为8 cm，如果⊙P以2 cm/s的速度由A向B匀速运动，那么________s时⊙P与直线CD相切． 19．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________． 20. 射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值_____（单位：秒） 三．解答题（共60分） 21．如图,在正方形网格图中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,点O为坐标原点.(网格中小正方形的边长为1) (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据(1)中的条件填空： ①的半径为______；(结果保留根号) ②点在______；(填“上”、“内”或“外”) ③连接、,则的度数为______. 22．如图，是直径，C为上一点，连接． (1)尺规作图：在上找一点D，使得点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，已知于点E，求证：是的切线． 23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,与AC,BC分别交于点M,N,与AB的另一个交点为E,过点N作NF⊥AB,垂足为F. (1)求证:NF是☉O的切线; (2)若NF=2,DF=1,求弦ED的长. 24.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （l）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 25.已知:在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,D是边AB上的一点,过C,D两点的☉O分别与边AC,BC交于点E,F. (1)如图(a)(b),若D是AB的中点: ①在(a)中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法); ②如图(b),连接EF,若EF∥AB,求线段EF的长; ③请写出求线段EF长度最小值的思路. (2)如图(c),当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是　　　　.  26．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d. 图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3 (1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有___________个； (2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______________个； (3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a. 27．如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第五节点与圆、直线与圆的位置关系》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解点、直线和圆位置关系的本质，会用数量关系（距离与半径）刻画几何位置，建立数形转化模型。 2.掌握切线判定与性质定理，能规范完成几何推理证明，分清判定与性质的条件与结论。 3.能画出点、直线与圆不同位置的图形，依托图形分析动态问题，提升圆相关几何识图能力。 4.会计算点到圆心距离、圆心到直线距离，结合勾股定理求解线段长度，解决圆与直角三角形综合计算。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.点与圆的三种位置关系：点在圆内、圆上、圆外，利用d与r的大小关系判断。 2.直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交，用圆心到直线距离d和半径r比较判断。 3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4.切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5.三角形的外接圆、外心概念；外心的位置特点。 （二） 难点 1.切线证明两类模型区分：连半径，证垂直；作垂直，证半径，两种辅助线的选用场景。 2.外心的位置辨析：锐角、直角、钝角三角形外心位置差异，利用外心性质解题。 3.动态情境下点、直线与圆位置关系分类讨论，不漏解。 4.切线性质综合题，构造直角三角形，结合勾股定理进行线段计算与几何推理。 )三．知识梳理 （一）点与圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. 2.圆的集合定义（静态定义）的拓展 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）圆内是所有d<r点的集合， （2）圆上是d=r点的集合， （3）圆外是d>r点的集合。 3.核心： 点和圆的位置，转化为点到圆心距离和半径大小比较 （二）直线与圆的位置关系 如图,直线l与☉O有什么位置关系、它们的公共点的个数分别是多少? 【解析】图中,直线l与☉O的位置关系分别是相交，相切，相离。它们公共点的个数分别是2,1,0. 1.相关概念： （1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交; （2）相切：直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点; （3）相离：直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离. 2.直线与圆的位置关系的判断 设☉O半径r，圆心到直线垂线段距离d（必须是垂线，斜线段无效），直线与圆的位置关系如下表 位置关系 公共点个数 数量关系 直线名称 相交 2个 d ＜ r 割线 相切 1个 d = r 切线，唯一公共点叫切点 相离 0个 d ＞r 无专用名称 （三）切线判定与性质 生活中，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮 上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的。 1.切线判定（2种） （1）定义：直线与圆有唯一公共点； 如图，在⊙0中，经过半径OA的外端点A作直线l10A, 则圆心0到直线l的距离是多 少 ? 直 线I和⊙0有什么位置关系? 【解析】圆心0到直线I的距离是⊙0的半径，直线l是⊙0的切线。 （2）切线的判定定理： ①定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆切线（两个条件缺一不可）。 ②文字语言： 经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ③符号语言： 如图，在⊙0中0C是⊙0的半径，直线AB过点C,且 0C⊥AB于点C. ∵ 0C是⊙0的半径，且 0C⊥AB于点C , (注：两个条件缺一不可) ∴ AB是⊙0的切线. 2.切线性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径； l 已知:直线l是⊙0的切线，点A为切点 求证:0A⊥l l 证明:假设OA不垂直于I.过点O作OA’1于点A，∴0A>0A',又点A为切点,OA为半径， 直线1与圆相交，与已知条件“直线1是00的切线"相矛盾，假设不成立，原命题成立。 【讨论】条件中“经过切点”能否去掉? 【解析】不能.例如图中不垂直于半径OA. （2）过圆心且垂直切线的直线必经过切点； （3）过切点且垂直切线的直线必经过圆心。 3.切线证明两大辅助线模型： （1）已知点在圆上（有公共点）：连半径，证垂直，连接圆心和该公共点，证明连线与已知直线垂直。 （2）不知公共点（无明确交点）：作垂直，证半径，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆半径。 （四）基础拓展--切线长定理 1.切线的画法 用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 2.切线长 （1）定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． 【注意】：切线是直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. （2）切线长定理： ①内容： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. ②几何语言: PA，PB分别切☉O于点A，B ③推理： 推论1：圆心与圆外一点的连线OP垂直平分切点弦AB。 说明：∵PA=PB，OA=OB，→ P、O都在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB 推论2：切线夹角与两切点圆心角互补。 如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，那么∠APB+∠AOB=180o。 依据：OA⊥PA，OB⊥PB，四边形OAPB内角和360o，两个直角之和180o，剩余两角互补 推论3：圆外切四边形的两组对边之和相等（定理，圆外切四边形性质） 若四边形ABCD是☉O的外切四边形，则AB+CD=AD+BC，这是切线长定理最重要的拓展推论，中考高频考点 推论4：PA，PB分别切☉O于点A，B，那么△PAB是等腰三角形（PA=PB），∠ PAB=∠ PBA。 【补充说明】教材正文没有单独把这几条标注成“推论”，属于由切线长定理推导出来的常用二级结论，中考填空选择可以直接使用，解答大题如果直接用，最好简单书写推导过程。 （五）三角形内切圆 1.定义： 与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心内心，是三条角平分线交点，永远在三角形内部。 2.性质： （1）点O到三角形三边的距离相等; （2）AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA; （3）内心O一定在三角形的内部 3.核心公式： （1）通用面积公式：S△=(a+b+c)·r（a、b、c三边长，r内切圆半径）； （2）Rt△简化公式：直角边a、b，斜边c，r=； （六）圆外切四边形 1.定义： 圆外切四边形是指四边都与同一个圆相切的四边形，这个圆叫做四边形的内切圆。 2.性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等。 3.推论： （1）圆外切平行四边形一定是菱形. （2）圆外切梯形的两腰之和等于上下底之和。 4.判定： （1）判定1：四边都与同一个圆相切的四边形是圆外切四边形 （2）数量关系判定（考试最常用，计算类题型核心） 凸四边形两组对边之和相等四边形有内切圆（圆外切四边形） （3）特殊四边形专属判定（推论，快速判断） ①平行四边形 平行四边形为圆外切四边形该平行四边形是菱形 ②梯形 梯形为圆外切四边形梯形两腰长度之和 = 上下底长度之和 （4）角平分线判定（证明大题专用） 凸四边形四个内角的角平分线交于同一点，则该四边形是圆外切四边形 ①原理：角平分线交点到四条边距离相等，以该距离为半径、交点为圆心作圆，四边均与圆相切； ②辅助证明套路： a作四边形四个内角平分线，交于一点I； b过I向四条边作垂线段，证四条垂线段长度相等； c以I为圆心、垂线段长为半径作圆，四边均切于圆，判定为外切四边形 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·江苏南京中考真题改编）已知☉O半径r=5，点P到圆心距离OP=3，则点P在（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 【答案】：A 【解析】：点与圆位置判定：d<r时点在圆内，本题OP=3<5，所以点P在圆内。 2.（2025·无锡锡山区一模）☉O直径为8，圆心O到直线l距离d=4，则直线l与☉O位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 【答案】：B 【解析】：直径8，则半径r=4，d=r，直线与圆相切。 3.（2025·泰州姜堰期末）PA、PB切⊙O于A、B，OA=4，OP=8，切线长PA为（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 【答案】：B 【解析】：切线垂直半径，Rt△OAP中，PA2=OP2-OA2=64-16=48，PA=4 。 4.（2026·苏州九年级月考）2026航天科普展，模型圆☉O半径为6，直线AB是☉O切线，切点为C，则下列结论正确的是（ ） A.OC⊥AB B.OC平分AB C.OC=AB D.AB=2OC 【答案】：A 【解析】：切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，即OC⊥AB。 5.（2025·扬州九年级期末）已知☉O半径r=7，圆心到直线距离d=6，则直线与圆（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无公共点 【答案】：A 【解析】：d=6<r=7，直线与圆相交，有两个公共点。 6. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5 【答案】：D 【解析】：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选D． 7.如图P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为(　　) A.3 B.3 C.6 D.9 【答案】：A 【解析】：如图,连接OA.∵PA为☉O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.∵OB=3,∴OA=3.∵∠P=30°,∴OP=6,∴BP=6-3=3.故选A. 8．已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【解析】∵圆心A的坐标是，点P的坐标是，∴，∵的半径为5，，∴点P与的位置关系是点P在外．故选：C． 9．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2， 若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P的坐标为(　　) A．(3，2) B．(3，3) C．(3，4) D．(3，5) 【答案】A　 【解析】：如图，当P移到P′点时，⊙P与x轴相切，过P作直径MN⊥AB于D，连接AP.由垂径定理得AD＝BD＝AB＝.∵DP＝|－1|＝1，∴AP＝＝2，∴PP′＝2＋1＝3.∵点P的坐标为(3，－1)，∴P′的坐标为(3，2)．故选A. 10．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，M和N分别是直线l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，则下列结论错误的是(　　) A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝ C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2间的距离为2 【答案】：B 【解析】： A项，平移MN使点N与点B重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得MN＝，正确；B项，当MN与圆相切时，分两种情况：①当MN在圆的左边时，AM＝，正确；②当MN在圆的右边时，AM＝.故错误；C项，若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，连接MO，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，则△MON≌△MOC，因为MC上的高OA＝1，故MN上的高为1，即点O到MN的距离等于半径，正确；D项，因为l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确．故选B. 二．填空题（共30分） 11.（2025·南通九年级期末）⊙O半径是4，点A到圆心距离OA=5，则点A在⊙O______（填圆内/圆上/圆外）。 【答案】：圆外 【解析】：OA=5>4=r，点在圆外。 12.（2026·徐州九年级期中）直线与O⊙相切，圆心到直线距离是3cm，则⊙O半径r=__cm。 【答案】：3 【解析】：相切时d=r，所以r=3。 13.（2025·扬州九年级期中）⊙O半径r=10，圆心到直线距离d=12，直线与圆位置关系是 ___________。 【答案】：相离 【解析】：d=12>10=r，相离。 14.（2025·泰州九年级期末）过圆上一点可以作⊙O的切线有______条。 【答案】：1 【解析】：圆上一点有且仅有一条切线。 15.（2026·盐城滨海二模）直角三角形直角边5、12，内切圆半径r=________ 【答案】：2 【解析】：斜边13，r==2。 16.如图,☉M的圆心为M(-2,2),半径为2,直线AB过点A(0,-2),B(2,0),则☉M关于y轴对称的☉M'与直线AB的位置关系是　　　　.   【答案】相交　 【解析】因为☉M的圆心为M(-2,2),所以☉M关于y轴对称的☉M'的圆心为M'(2,2).因为M'B=2,所以点M'到直线AB的距离为,2>,所以直线AB与☉M'相交. 17．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2 cm为半径作☉M，当OM＝__________ cm时，☉M与OA相切. 【答案】4 【解析】作MH⊥OA于点H，如图，当MH＝2 cm时，☉M与OA相切，因为∠O＝30°，所以此时OM＝2MH＝4(cm)，即OM＝4 cm时，☉M与OA相切. 18．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得PA＝5cm，则铁环的半径为__________． 【答案】cm 【解析】过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA，∵AP为⊙O的切线，AQ也为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO，又∠BAC＝60°，∠PAO+∠QAO+∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°，在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝（cm）， 即铁环的半径为cm．故答案为：cm． 19.．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在外 【解析】 ，，解得，点到圆心的距离，的半径是4， 在外，故答案为：在外． 20．如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【解析】当第一次点在圆上时，秒，当第二次点在圆上时，秒，综上所述，经过或秒，点P在上，故答案为：或． 三．解答题（共60分） 21．如图，已知，以点C为圆心作，半径为r. (1)当r取什么值时，点在外; (2)当r在什么范围时，在内，点B在外. 解：(1)由，结合点与圆的位置关系的知识，可得当时，点A，点B都在外. (2)由，结合点与圆的位置关系的知识，可得当时，点A在内，点B在外. 22.已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P． （1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系； （2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足条件． 解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．（1）∵PC =r=12cm，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB位置关系是相切． （2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm． 23．如图所示，是的一条弦，切于点B，过点D作于点C，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求的大小．    解：（1）证明：∵，∴，∵为切线，∴， ∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴． （2）∵，∴，∵为切线，∴，∴，∴，∵，∴． 24．如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 解（1）证明：连接，∵点在上，是的切线，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴ ∴，∵，∴，∴，∴平分． （2）作于点，则，又∵，， ∴四边形是矩形，∴，，∵是的直径，C在上， ∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的长为． 25．如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 解：（1）证明：如图，连接， ∵为的切线，∴，∵平分， ∴，∴，在和中，， ∴，∴，∴是的切线； （2）∵，∴，∴，， ，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，． 26. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 解：（1）BC所在直线与小圆相切.理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD=BC.理由如下：连接OD，∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∴Rt△OAD≌Rt△OEB，∴EB=AD； ∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD; （3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm；∵BC=AC+AD，∴AD=BC-AC=4cm，∵圆环的面积为：S=π（OD）2-π（OA）2=π（OD2-OA2），又∵OD2-OA2=AD2，∴S=42π=16π（cm2）． 27．阅读材料：如图①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r.连结OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r， ∴r＝. 类比推理：(1)若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图②，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r. 理解应用： (2)如图③，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值． 解：(1)如解图①，连结OA，OB，OC，OD.∵S＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD＝ar＋br＋cr＋dr＝(a＋b＋c＋d)r，∴r＝. (2)如解图②，过点D作DE⊥AB于点E.∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AE＝(AB－CD)＝×(21－11)＝5，∴EB＝AB－AE＝21－5＝16.在Rt△AED中，∵AD＝13，AE＝5，∴DE＝＝＝12，∴在Rt△DEB中，DB＝＝＝20. ∵S△ABD＝AB·DE＝×21×12＝126，S△CDB＝CD·DE＝×11×12＝66， ∴＝＝＝. B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·扬州中考二模）已知⊙O半径为5，直线l上有一点P，OP=5，则直线l与⊙O位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相离 【答案：C 【解析】：OP是斜线段，不是圆心到直线垂距。若OP⊥l，d=5=r相切；若OP不垂直，垂距d<5，相交。 2.（2025·连云港九年级期中）已知⊙O半径r=4，圆心到直线距离d，若直线与圆相交，则d可以是（ ） A.5 B.4 C.3 D.6 【答案】：C 【解析】：相交要求d<r=4，只有3满足。 3．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【解析】点A在内，，点B在外，，，只有符合题意．故选：B． 4．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵B在外，∴AB＞2，∴＞2，∴b＞或b＜，∴b可能是-1.故选A． 5.已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解析】本题解题的关键是要了解直线与圆的位置关系中d与r的数量关系．根据直线与圆的位置关系、直线与圆的交点个数，分析命题中的数据即可得到答案．①若d＞5，则直线与圆相离，m＝0，故命题①正确；②若d＝5，则直线与圆相离，m＝1，故命题②正确；③若1＜d＜5，则m＝2，故命题③错误；④若d＝1，则直线与圆相交，m＝3，故命题④错误；⑤若d＜1，则直线与圆相交，m＝4，故命题⑤正确． 6. 如图,在平面直角坐标系中, ⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴的正半轴夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x值的范围是(　　) A. -1≤x≤1 B. -≤x≤ C. -<x< D. 0≤x≤ 【答案】：B 【解析】：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∵⊙O的半径为1，△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0），∴-≤x≤． 故选B 7.如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　） A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P 【答案】：B 【解析】：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB，即有∠PAB＝∠PBA，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴∠AFD＝∠EDB，∵∠FAD+∠FDA+∠AFD＝180°，∠FDA+∠FDE+∠EDB＝180°，∴∠EDF＝∠PAB，∵∠PAB+∠PBA+∠P＝180°，且∠PBA＝∠PAB，∴∠EDF＝∠PAB＝．故选：B． 8. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A. 40° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】：B 【解析】：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA=∠OFA=90°，∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°，∴∠EDF=∠EOF=55°．故选B． 9．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是(　D　) A．1 cm B．2 cm C．8 cm D．2 cm或8 cm 【答案】：D 【解析】： 如图，连接OB.∵AB⊥OC，AB＝8 cm，∴AH＝BH＝AB＝×8＝4(cm)．在Rt△BOH中，OB＝OC＝5 cm，∴OH＝＝3(cm)．∵直线l通过平移与⊙O相切，∴直线l垂直于过点C的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5－3＝2(cm)；当向上平移时，直线l平移的距离＝5＋3＝8(cm)． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　) A. B. C. D．2 【答案】：A 【解析】：由题意可知，AF＝AE＝BF＝BG＝2，DE＝DN＝3，设GM＝x，则MN＝x，DM＝3＋x，CM＝3－x.在Rt△DMC中，∵DM2＝CM2＋CD2，∴(3＋x)2＝(3－x)2＋42，解得x＝，∴DM＝DN＋MN＝3＋＝.故选A. 二．填空题（共30分） 11.（2025·南通九年级二模）⊙O半径r=6，点P在圆外，则OP取值范围是______。 【答案】：OP>6 【解析】：点在圆外等价于点到圆心距离大于半径。 12.（2025·无锡九年级期末）PA切⊙O于A，OA=3，OP=5，则PA=______。 【答案】：4 【解析】：Rt△OAP，勾股定理PA2=OP2-OA2=25-9=16。→PA=4. 13.（2026·扬州九年级月考）直线l与⊙O相离，⊙O半径r=7，圆心距d的取值范围是______。 【答案】：d>7 【解析】：相离d>r。 14.如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=2.8,☉O是以AB为直径的圆,则直线CD与☉O的位置关系是　　　　.  【答案】相交　 【解析】设AB的中点为O,则点O到CD的距离为2.8.因为☉O的半径为3,3>2.8,所以直线CD与☉O的位置关系是相交. 15．如图，AB与⊙O相切于点C．点D，E分别在OA，OB上，四边形ODCE为正方形．若OA＝2，则DE＝__________． 【答案】 【解析】∵四边形ODCE为正方形，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∠AOB＝90°，OF＝CF，OC⊥DE，∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝∠BCO＝90°，∴DE∥AB，∴AD＝OD，BE＝OE，∴DE是△OAB的中位线，∴DE＝AB，∴∠A＝∠AOC＝45°，∠B＝∠BOC＝45°，∴∠A＝∠B， ∴OA＝OB＝2，在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝8，∴AB＝2，∴DE＝．故答案为：． 16.如图,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是　　　　.  【答案】25° 【解析】∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∴∠AOC=90°-∠C=90°-40°=50°. ∴∠B=∠AOD=25°,即∠B的度数为25°. 17.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=　.  【答案】219° 【解析】连接AB.∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB.∵∠P=102°,∴∠PAB=∠PBA=(180° -102°)=39°.又∵∠DAB+∠C=180°,∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=39°+180°=219°.故答案为219. 18．如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心P在射线OA上，点P与点O的距离为8 cm，如果⊙P以2 cm/s的速度由A向B匀速运动，那么________s时⊙P与直线CD相切． 【答案】3或5　 【解析】 当⊙P在点O左侧与直线CD相切时，设圆心为P′，切点为E′，∵∠AOC＝30°，P′E′＝1 cm，∴OP′＝2 cm，PP′＝8－2＝6(cm)，运动时间为6÷2＝3(s)；当⊙P在点O右侧与直线CD相切时，同理可得PP″＝8＋2＝10(cm)，运动时间为10÷2＝5(s)． 19．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________． 【答案】50°或110°　 【解析】：如图，①当BA′与⊙O相切，BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°.在Rt△OPB中，∵OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°，∴∠ABA′＝50°；②当BA′与⊙O相切，BA′位于BC下方时，同①，可求得∠A′BO＝30°，此时∠ABA′＝80°＋30°＝110°.故旋转角的度数为50°或110°. 20. 射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值_____（单位：秒） 【答案】t=2或3≤t≤7或t=8 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°．∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点．∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°．分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，∵速度是每秒1cm，∴t=2．②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm．∵速度是每秒1cm，∴t=3．当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm．∵速度是每秒1cm，∴t=7．∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切．③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′，则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cmPN=2NN′=2cm．∴QP=4cm+2cm +2cm=8cm．∵速度是每秒1cm，∴t=8．综上所述，t可取一切值为：t=2或3≤t≤7或t=8． 三．解答题（共60分） 21．如图,在正方形网格图中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,点O为坐标原点.(网格中小正方形的边长为1) (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据(1)中的条件填空： ①的半径为______；(结果保留根号) ②点在______；(填“上”、“内”或“外”) ③连接、,则的度数为______. 解：(1)作弦和的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示： (2)①由题意得,,∵,∴, ∴的半径为,故答案为：； ②∵,,∴,∴在外,故答案为：外； ③如图所示,连接、、,∵,,∴, ∵,∴,∴是直角三角形,即,故答案为；. 22．如图，是直径，C为上一点，连接． (1)尺规作图：在上找一点D，使得点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，已知于点E，求证：是的切线． 解：（1）如图，点即为所求； （2）证明：连接，则：，∴，由作图可知：， ∴，∴，∵，∴，又∵是半径， ∴是的切线． 23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,与AC,BC分别交于点M,N,与AB的另一个交点为E,过点N作NF⊥AB,垂足为F. (1)求证:NF是☉O的切线; (2)若NF=2,DF=1,求弦ED的长. 解:(1)证明:连接ON,如图所示.∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.∵NF⊥AB,∴∠NFB=90°,∴∠ONF=∠NFB=90°,∴ON⊥NF.又∵NF过半径ON的外端,∴NF是☉O的切线. (2)过点O作OH⊥ED,垂足为H,如图所示.设☉O的半径为r.∵OH⊥ED,NF⊥AB,ON⊥NF, ∴∠OHD=∠NFH=∠ONF=90°,∴四边形ONFH为矩形,∴HF=ON=r,OH=NF=2,∴HD=HF-DF=r-1.在Rt△OHD中,∠OHD=90°,∴OH2+HD2=OD2,即22+(r-1)2=r2,解得r=,∴HD=.∵OH⊥ED,且OH过圆心O,∴HE=HD,∴ED=2HD=3. 24.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （l）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 解：（1）∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，∴AB⊥BM，∵BM//CD，∴AB⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝AC，∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD为等边三角形.（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，∴∠DAB＝30°，连结BD，∴BD⊥AD.∠EBD＝∠DAB＝30°，∵DE＝2，∴BE＝4，，，，在Rt△OBE中，． 25.已知:在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,D是边AB上的一点,过C,D两点的☉O分别与边AC,BC交于点E,F. (1)如图(a)(b),若D是AB的中点: ①在(a)中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法); ②如图(b),连接EF,若EF∥AB,求线段EF的长; ③请写出求线段EF长度最小值的思路. (2)如图(c),当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是　　　　.  解:(1)①答案不唯一,如图(a)所示.②如图(b),连接CD,FD.∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∴EF是☉O的直径.∵D是AB的中点,∴AD=BD=CD=5,∴∠B=∠DCB.∵EF∥AB,∴∠A=∠CEF.又∵∠CDF=∠CEF,∴∠A=∠CDF.∵∠A+∠B=90°,∴∠CDF+∠DCB=90°,∴∠CFD=90°,∴CD是☉O的直径,∴EF=CD=5.③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°,∴EF是☉O的直径.∵CD是☉O的弦,∴EF≥CD,∴当CD是☉O的直径时,EF的长度最小. （2）如图(c),由(1)③知,当CD是☉O的直径时,EF的长度最小,最小值为CD的长.当点D在边AB上运动时,只有当CD⊥AB时,CD的长最小.由(1)②知,△ABC是直角三角形,∴S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴AC·BC=AB·CD,∴CD===,∴线段EF长度的最小值为.故答案为. 26．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d. 图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3 (1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有___________个； (2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______________个； (3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a. 解：(1) d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a－r＜d＜a＋r 2 d＝a－r 1 d＜a－r 0 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个； (2) d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a≤d＜a＋r 2 d＜a 4 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个； (3)连接OC.则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.在Rt△OCF中，由勾股定理，得 OF2＋FC2＝OC2，即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，5a2＝4ar，5a＝4r. ∴r＝a. 27．如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 解：（1）是的直径，，，，， 在中，，在中，， ，，四边形是平行四边形，； （2）连接，与圆相切，，，在中，，，， ，是等边三角形，，在中，，，，， ，在中，； ， ，即， 在点运动过程中，始终有，点在一个定圆上运动，又是的一条弦，当点与点重合时，弦的最大，此时是定圆的直径，设定圆的圆心为， 当时，，，即， 的直径为，半径为，如图所示，连接，，的最短距离为，最大距离为，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $