3.2确定圆的条件 提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第二节确定圆的条件》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握过一点、两点、三点作圆的规律，理解 “ 不在同一直线上的三点确定一个圆 ” ；掌握三角形外接圆、外心概念，会尺规作三角形外接圆，会利用外心性质计算求解。 2.经历作图探究过程，体会垂直平分线在找圆心中的作用，学会分类讨论，提升几何推理与作图能力。 3.能利用本节知识解决残破圆形找圆心等实际问题，体会数学在生活中的价值，养成严谨的几何语言表达习惯。 4.发展几何直观、逻辑推理素养，理解存在性与唯一性，区分外接圆相关易混概念。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.三角形外接圆、外心的概念；外心性质：外心到三角形三个顶点距离相等。 3.三类三角形（锐角、直角、钝角）外心的位置特点。 4.尺规作图：作三角形外接圆；残缺圆形实物找圆心的方法。 （二） 难点 1.理解三点共线不能确定圆的逻辑，不能省略 “ 不在同一直线上 ” 条件。 2.区分外心（三边垂直平分线交点）与内心（角平分线交点）。 3.直角三角形外接圆半径计算，注意分类讨论斜边、直角边。 4.综合题型：结合勾股定理求外接圆半径，坐标背景下找外心坐标。 )三．知识梳理 （一）过已知点作圆的探究 1.经过1个点作圆： 可以作无数个圆。圆心可以是除该点以外平面内任意一点，半径为圆心到该点距离。 【结论】：过一点的圆有无数个，圆心为除该点以外任意一点.半径为圆心到该定点距离。 2.经过2个点作圆： 可作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到A（或B）的距离。 【原理】：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等，满足OA=OB。 【结论】：经过2个点可以作无数个圆。圆心必须在该线段的垂直平分线上；垂直平分线上任意一点都可以作为圆心，圆心到该线段端点的距离为半径。 3.经过三个点作圆 （1）三点共线：无法作出同时经过三点的圆； 经过同一条直线上的三个点不能作圆.原因：两条垂直平分线互相平行，没有交点，找不到圆心，无法画圆。 （2）三点不在同一直线： 【作法】：①连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； ②连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； ③以O为圆心，OA为半径作圆． 所以⊙O就是所求作的圆． 通过刚刚的作图过程，∵直线MN和EF只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆. 【结论】：不在同一直线三点确定有1个圆（核心定理）。圆心：其中两条线段垂直平分线的交点；半径：交点到任意一个已知点的距离。 【点拨】：命题“三点确定一个圆”是错误，必须带上前提条件“不在同一直线上”。 （二）三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心 1.三角形的外接圆： 用直尺和圆规作一个圆，使它经过 △ABC的三个顶点。 【作法】: （1）作线段AB的垂直平分线MN; （2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O;（3）连接OB.（4）以O为圆心，OB为半径作圆. ⊙O就是所求作的圆. 【结论】：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.任意三角形有且只有1个外接圆； 2. 圆的内接三角形： （1）定义：如果三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形就叫做这个圆的内接三角形。 （2）一个圆，有无数个内接三角形。在圆周上任取3个不同的点，连接都可以得到该圆的内接三角形。 3.外心： （1）定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 （2）作图：只需作任意两条边的垂直平分线，交点就是外心，第三条垂直平分线一定经过该交点。 （3）性质：外心到三角形三个顶点距离相等，即OA=OB=OC，这三条线段都是外接圆半径R。 （4）不同类型三角形外心的位置 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形的外心与这个三角形的位置关系。 ①锐角三角形 三角形内部 普通计算，多用垂直平分线、勾股定理求  ②直角三角形 斜边中点  ，斜边就是外接圆直径 ③钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧 记忆口诀：锐内、直中、钝外。 （三）实际应用：残破圆形物件找圆心 瓷器碎片、破损圆盘复原整圆：在圆弧上任取三个不在同一直线上的点，连接两点作两条线段的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到点距离就是半径，即可补全整圆。 （四）拓展：反证法简单理解 证明“同一直线上三点不能作圆” 已知：点A、B、C在直线l上。 求证：过A、B、C三点不能作圆。 证明：假设过在同一直线上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为O。 因为OA=OB（都是圆的半径），所以点O在线段AB的垂直平分线上；同理，OB=OC，点O在线段BC的垂直平分线上。线段AB、BC都在直线l上，它们的垂直平分线都垂直于直线l。于是，过点O可以作出两条不同的直线同时垂直于直线l。与基本公理，过平面内一点，有且只有一条直线与已知直线垂直互相矛盾。∴假设不成立。故：过同一直线上的三点不能作圆。 【归纳】反证法简单步骤： ①假设：假设要证明的结论反过来是正确的； ②推理，推出和公理、定理矛盾； ③说明假设错误，原命题成立。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 过两点有且只有一个圆 C. 一个三角形有且只有一个外接圆 D. 三角形外心到三边距离相等 【答案】：C 【解析】：A缺少“不共线”条件；B过两点可作无数圆；D外心到顶点距离相等，内心到三边距离相等；只有C正确。 2.已知Rt△ABC，∠C=90o，AC=6，BC=8，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 5 B.10 C.6 D.8 【答案】：A 【解析】：由勾股定理得AB2=62+82=102，直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，R=5。 3.锐角三角形ABC的外心的位置在（ ） A.三角形外部 B.三角形内部 C.斜边中点 D.三角形边上 【答案】：B 【解析】：锐角三角形外心在三角形内部；直角在斜边中点；钝角在外部。 4.已知△ABC的外心为O，OA=4，则OB的长为（ ） A.2 B.4 C.8 D.不确定 【答案】：B 【解析】：外心到三角形三个顶点距离相等，OA=OB=OC=R，所以OB=4。 5．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B　 【解析】看所带的一块玻璃能不能通过作图画出原来的圆，任意作两条不平行的弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该玻璃所在圆的圆心，圆心与弦的一个端点的连线即为半径，故带第②块碎片，故选B. 6．下列图形不一定有外接圆的是(　　) A．三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】C　 【解析】任意三角形都有一个外接圆；正方形有一个外接圆，圆心是两条对角线的交点；矩形有一个外接圆，圆心是两条对角线的交点；在平面内不存在到平行四边形四个顶点的距离都相等的点，所以一般的平行四边形没有外接圆．故选C. 7．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出圆的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C　 【解析】根据题意，得点D，A，B；点D，A，C；点D，B，C均可以确定一个圆，故过这四点中的任意3个点，能画3个圆． 8．如图，△ABC内接于⊙O，射线AO交BC边于点D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，则⊙O的半径长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】如图，连接OB．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，设半径为r， 在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，即（8﹣r）2+42＝r2，解得r＝5故选：C． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．4 C．4 D．4 【答案】B 【解析】如图，连接OA，OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠CAB＝30°，CD＝2， ∴AC＝2CD＝4∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，∴∠CBA＝45°，∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，∵OA＝OC，∴OA＝AC＝4， ∴⊙O的半径为4，故选：B． 10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A． 二．填空题（共30分） 11.过同一直线上三点，能作____个圆。 【答案】：0 【解析】：三点共线，不存在同时经过三点的圆。 12.线段AB=8，过A、B两点作圆，圆心轨迹是线段AB的____。 【答案】：垂直平分线 【解析】：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上。 13.不在同一直线上的三点确定____个圆。 【答案】：1 【解析】：核心定理原文。 14．若△ABC的三边长分别为5、12、13，则其外接圆半径长为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以，所以△ABC是直角三角形，斜边为13，所以外接圆半径，故答案为：． 15.△ABC的外心是点O，若OC=6，则外接圆的半径等于________。 【答案】：6 【解析】：外心到顶点距离即为外接圆半径，R=OC=6。 16.在△ABC中，外心O满足OA=11，则线段OC=________。 【答案】：11 【解析】：外心到三顶点距离相等，OA=OC=11。 17.等边三角形外心在三角形____。 【答案】：内部 【解析】：等边属于特殊锐角三角形。 18.要复原破损圆形，碎片必须包含至少____条完整弦。 【答案】：2 【解析】：两条弦作垂直平分线找圆心。 19．如图方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为___． 【答案】(－1，－2) 【解析】 如答图，连结AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点，则圆心G的坐标为(－1，－2)． 20．如图3－1－18，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________个． 【答案】5　 【解析】如图，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，画出⊙O.根据几何直观即可得到⊙O除经过A，B，C三点外还能经过的格点数是5个． 三．解答题（共60分） 21．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮． (1)用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹） (2)求车轮的半径是多少？ 解:（1）如图，点即为所求的圆心； （2）如图，连接，，设车轮的半径为，∵点G为的中点，∴，∴，∵，∴、、三点共线，∴， 在直角中，，∴，解得，， 答：车轮的半径是． 22．如图小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积． 解：(1)如答图①，⊙O即为所求作的花坛的位置； (2)如答图②，∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，∴BC＝＝10(m)，∴△ABC外接圆的半径为5 m，∴小明家圆形花坛的面积为S＝πr2＝25π(m2)． 23.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为(3,0)． （1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为_________，⊙M的半径为________； （2）求△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标． 解：（1）如图，点M即为所求，M(5,5)；故答案为：(5,5)； 半径r=． （2）的外接圆与x轴的另一个交点E坐标是(7,0)．  25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 解：（1）圆心D如图所示；圆心D坐标为，故答案为：． （2）由勾股定理得，的半径为． （3）点在内．理由如下：，而，点在内． 26．锐角△ABC外接圆的圆心为O，线段OA，BC的中点分别为M、N，∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．设∠OMN＝θ． （1）请直接用θ表示∠BAC，∠MON； （2）判断△OMN的形状，并给出证明； （3）求∠OMN的大小． 解：（1）连接OC，∵∠OMN＝θ，∠ABC＝4θ，∠ACB＝6θ；∴∠BAC＝180°﹣10θ，∴∠BOC＝2∠BAC＝2（180°﹣10θ），∵N是BC的中点，∴ON垂直于BC， ∴∠NOC＝∠BON＝∠BOC＝∠BAC＝180°﹣10θ，∵∠ABC＝4θ，∴∠AOC＝8θ， ∴∠NOC＝180°﹣10θ，∠AOC＝8θ，∴∠AON＝∠NOC+∠AOC＝180°﹣10θ+8θ＝180°﹣2θ，∴∠MON＝180°﹣2θ； （2）∵∠OMN＝θ，由（1）知，∠MON＝180°﹣2θ，∴∠ONM＝180°﹣∠MON﹣∠OMN＝θ＝∠OMN，∴OM＝ON，∴△MON为等腰三角形， （3）∵OA＝OB，由 （2）知，△OMN是等腰三角形，∴ON＝OM＝OA＝OB；∵N是BC的中点，∴ON⊥BC，∴∠OBN＝30°，∴180°﹣10θ＝60°，∴θ＝12°，∴∠OMN＝12°． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列条件不能确定唯一圆的是（ ） A. 圆心、半径 B. 不在同一直线三点 C. 一条直径 D. 任意两点 【答案】：D 【解析】：过两点可作无数圆，无法唯一确定。 2.△ABC三边垂直平分线交点在三角形外，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】：C 【解析】：钝角三角形外心外部。 3.过平面内三点画圆，最多可画（ ） A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 3个 【答案】：B 【解析】：三点不共线时唯一1个，共线0个，最多1个。 4.平面直角坐标系中，A(0,3)，B(4,3)，C(4,0)，则△ABC外接圆的圆心坐标为（ ） A.(2,1.5) B.(2,3) C.(4,1.5) D.(0,0) 【答案】：A 【解析】：△ABC为直角三角形，斜边AC，斜边中点即为外心，A(0,3)，C(4,0)中点(2,1.5)。 5.已知△ABC的外心O，OA=5，下列线段长度一定等于5的是（ ） A.O到AB距离 B.OB C.AB D.BC 【答案】：B 【解析】：外心性质：到三个顶点距离相等，OA=OB=OC=5；到边距离不一定等于半径。 6.如图，0为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是(   )． A. D是△AEB的外心，O是△AED的外心  B.O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C. D不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D.O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 【答案】 D 【解析】连结OA、OB、OD，如图， ∵O为△ABC的外心， ∴OA=OB=OC， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OC=OE， ∴OA=OB=OE， ∴O为△ABE的外心， 又∵OA=OE≠OD， ∴O不是△ADE的外心. 故答案为：D. 7. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是( ) A. 当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B. 当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30° D. 当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 【答案】：C 【解析】：当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，判断A 正确；当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确；当PO⊥AC时，若点P在劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C错误；当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC是直角三角形，判断D正确．故选C． 8. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　C　) A. 2＋ B. C. 2＋或2－ D. 4＋2或2－ 【答案】：C 【解析】：由题意可得，如图所示，存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，∴CD=1，OD==，∴=BC•A1D==；当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，∴CD=1，OD==，∴=BC•A2D ==，由上可得，△ABC的面积为或，故选C． 9. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）. A.4 B. C. D. 2 【答案】：D 【解析】：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选：D． 10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　） A．3+4 B．12 C．6+3 D．6 【答案】：A 【解析】：如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x的正半轴于C，连接CA，CB，此时∠ACB＝∠ADB＝30°满足条件．过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，∵A（0，1），B（0，﹣5），∴AB＝6，∵DA＝DB＝AB＝6，DJ⊥AB，∴AJ＝JB＝3，∴DJ＝OK＝＝＝3，∴OJ＝DK＝2，在Rt△DCK中，CK＝＝＝4，∴OC＝OK+KC＝3+4，∴点C的横坐标为3+4，故选：A． 二．填空题（共30分） 11.三点(0,1)、(2,1)、(1,3)____（填能/不能）确定圆。 【答案】：能 【解析】：三点无共线，可确定唯一圆。 12.直角三角形两条边长分别为9和12，当12作为斜边时，外接圆半径等于________。 【答案】：6 【解析】：斜边为12，R=×12=6。 13.平面直角坐标系，已知A(0,0)，B(0,6)，C(8,0)，△ABC外接圆半径为________。 【答案】：5 【解析】：∠A=90o，斜边BC=10，R=×10=5。 14.等腰△ABC，AB=AC=10，底边BC=12，该三角形外接圆半径为________。 【答案】： 【解析】：底边高为8，设半径R，R2=62+(8-R)2，解得R=。 15.△ABC中，∠B=110o，O是它的外心，则OA、OB、OC三者数量关系写OA________OB。（填“=、>、<”） 【答案】：= 【解析】：无论锐角、直角、钝角三角形，外心到三顶点距离始终相等。 16．已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】10 【解析】直角三角形模具的两条直角边为和，由勾股定理得，斜边长为．∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，∴圆形纸片的最小直径为． 故答案为：10． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是 ． 【答案】 【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得： ∴与的交点即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是， 18.等边三角形边长6，外接圆外心到顶点距离为____。 【答案】：2 【解析】：等边三角形外接圆半径公式R=a=2。 19．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 　 　． 【答案】：4或5 【解析】：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4， ①当直角边分别为3，4时，斜边为：＝5，此时直角三角形外接圆的直径为5， ②当直角边为3，斜边为4时，此时直角三角形外接圆直径为4．故答案为4或5． 20.在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　 　． 【答案】 【解析】O作OJ⊥AB于J，过点B作BH⊥AC于H．∵△ABK是等边三角形，∴∠K＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠K+∠APB＝180°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠C＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠PAB+∠ABP＝∠PAB+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠ABD，∴△BAD≌△ACE（ASA），∴AD＝EC，∵AC＝BC，∴BE＝CD＝6，∵S△BCD＝•CD•BH＝12，∴BH＝4，∴AB＝8，∵OA＝OB，OJ⊥AB，∴AJ＝JB＝4，∵∠OAB＝30°，∴OA＝，∴△APB的外接圆的半径为．故答案为． 三．解答题（共60分） 21. 如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C. ①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)； ②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R. 解：①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； ②连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=BC= ×8=4， 在Rt△ABE中，AE==3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中， OB2=BE2+OE2 ， 即R2=42+（R-3）2 ， ∴R= (cm)，答：圆片的半径R为 cm 22．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若△ABC的外接圆为⊙O，判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：根据网格可知：AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形； （2）点D在⊙O上，理由如下：根据网格可知：△ABC的外接圆如图，∵OD＝OA，∴点D在⊙O上．则点D与⊙O的位置关系是：点D在⊙O上． 23．已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由． (1)AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1； (2)AB＝AC＝10，BC＝12. 解：(1)∵2＋1＋2－1＝4，∴AB＋AC＝BC，∴A，B，C三点共线，∴A，B，C三点不能确定一个圆； (2)∵10＋10＝20＞12，∴A，B，C三点不共线，∴A，B，C三点能确定一个圆．如图，过点A作AD⊥BC，设AD上的点O为圆心，连结BO，∵BC＝12，∴DB＝6，∵AB＝10， ∴AD＝＝8，在Rt△BOD中，设OB＝x，则DO＝8－x，由勾股定理，得x2－62＝(8－x)2，解得x＝.∴A，B，C三点能确定一个圆，该圆的半径为. 24．如图，△ABC内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 解：（1）证明：如图1，连接、，∵△ABC内接于，∴，∵，∴，∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）由（1）知，，，可得，，由勾股定理得，，∴，由勾股定理得，，∴的长为． 25．如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接， (1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）． (2)若，为直角三角形时，求的值． (3)点在的内部，直接写出的取值范围． (4)求半径的最小值． 解:（1）的外接圆的圆心是的外心（外心或内心）；如图，分别作的平分线交于点P， ∵和都是等边三角形，∴垂直平分，垂直平分，，∵外接，∴点O在和的垂直平分线上， ∴点O与点P重合，∴点的位置是不变；故答案为∶ 外心、不变； （2）∵和都是等边三角形，∴，， ∴，当时，，∴，即，∵， ∴，即；当时， ，∴，即，∵，∴，即； （3）当圆心O在边上时，，由（2）得：此时；当圆心O在边上时，，由（2）得：此时；∴点在的内部，的取值范围为； （4）如图, 连接， 由（1）得：当时，最小，∵，，∴，，∴，解得：，即半径的最小值为． 26．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD． （1）求证：△ACE≌△BCD． （2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径． （3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示） 解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）； （2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3，∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为； （3）法一：过O作OH⊥AD于H，如图：∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a， ∵F为DE的中点，∴CF＝DF＝DE＝a，∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝a+b，∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，∵AO＝OB，∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，在Rt△OHF中，FO＝＝b，∴CF+FO＝a+b． 法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH为等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝b，∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F为AH中点，∵O为AB中点，∴FO＝BD＝b，∴CF+FO＝a+b． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第二节确定圆的条件》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握过一点、两点、三点作圆的规律，理解 “ 不在同一直线上的三点确定一个圆 ” ；掌握三角形外接圆、外心概念，会尺规作三角形外接圆，会利用外心性质计算求解。 2.经历作图探究过程，体会垂直平分线在找圆心中的作用，学会分类讨论，提升几何推理与作图能力。 3.能利用本节知识解决残破圆形找圆心等实际问题，体会数学在生活中的价值，养成严谨的几何语言表达习惯。 4.发展几何直观、逻辑推理素养，理解存在性与唯一性，区分外接圆相关易混概念。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.三角形外接圆、外心的概念；外心性质：外心到三角形三个顶点距离相等。 3.三类三角形（锐角、直角、钝角）外心的位置特点。 4.尺规作图：作三角形外接圆；残缺圆形实物找圆心的方法。 （二） 难点 1.理解三点共线不能确定圆的逻辑，不能省略 “ 不在同一直线上 ” 条件。 2.区分外心（三边垂直平分线交点）与内心（角平分线交点）。 3.直角三角形外接圆半径计算，注意分类讨论斜边、直角边。 4.综合题型：结合勾股定理求外接圆半径，坐标背景下找外心坐标。 )三．知识梳理 （一）过已知点作圆的探究 1.经过1个点作圆： 可以作无数个圆。圆心可以是除该点以外平面内任意一点，半径为圆心到该点距离。 【结论】：过一点的圆有无数个，圆心为除该点以外任意一点.半径为圆心到该定点距离。 2.经过2个点作圆： 可作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到A（或B）的距离。 【原理】：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等，满足OA=OB。 【结论】：经过2个点可以作无数个圆。圆心必须在该线段的垂直平分线上；垂直平分线上任意一点都可以作为圆心，圆心到该线段端点的距离为半径。 3.经过三个点作圆 （1）三点共线：无法作出同时经过三点的圆； 经过同一条直线上的三个点不能作圆.原因：两条垂直平分线互相平行，没有交点，找不到圆心，无法画圆。 （2）三点不在同一直线： 【作法】：①连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； ②连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； ③以O为圆心，OA为半径作圆． 所以⊙O就是所求作的圆． 通过刚刚的作图过程，∵直线MN和EF只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆. 【结论】：不在同一直线三点确定有1个圆（核心定理）。圆心：其中两条线段垂直平分线的交点；半径：交点到任意一个已知点的距离。 【点拨】：命题“三点确定一个圆”是错误，必须带上前提条件“不在同一直线上”。 （二）三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心 1.三角形的外接圆： 用直尺和圆规作一个圆，使它经过 △ABC的三个顶点。 【作法】: （1）作线段AB的垂直平分线MN; （2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O;（3）连接OB.（4）以O为圆心，OB为半径作圆. ⊙O就是所求作的圆. 【结论】：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.任意三角形有且只有1个外接圆； 2. 圆的内接三角形： （1）定义：如果三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形就叫做这个圆的内接三角形。 （2）一个圆，有无数个内接三角形。在圆周上任取3个不同的点，连接都可以得到该圆的内接三角形。 3.外心： （1）定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 （2）作图：只需作任意两条边的垂直平分线，交点就是外心，第三条垂直平分线一定经过该交点。 （3）性质：外心到三角形三个顶点距离相等，即OA=OB=OC，这三条线段都是外接圆半径R。 （4）不同类型三角形外心的位置 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形的外心与这个三角形的位置关系。 ①锐角三角形 三角形内部 普通计算，多用垂直平分线、勾股定理求  ②直角三角形 斜边中点  ，斜边就是外接圆直径 ③钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧 记忆口诀：锐内、直中、钝外。 （三）实际应用：残破圆形物件找圆心 瓷器碎片、破损圆盘复原整圆：在圆弧上任取三个不在同一直线上的点，连接两点作两条线段的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到点距离就是半径，即可补全整圆。 （四）拓展：反证法简单理解 证明“同一直线上三点不能作圆” 已知：点A、B、C在直线l上。 求证：过A、B、C三点不能作圆。 证明：假设过在同一直线上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为O。 因为OA=OB（都是圆的半径），所以点O在线段AB的垂直平分线上；同理，OB=OC，点O在线段BC的垂直平分线上。线段AB、BC都在直线l上，它们的垂直平分线都垂直于直线l。于是，过点O可以作出两条不同的直线同时垂直于直线l。与基本公理，过平面内一点，有且只有一条直线与已知直线垂直互相矛盾。∴假设不成立。故：过同一直线上的三点不能作圆。 【归纳】反证法简单步骤： ①假设：假设要证明的结论反过来是正确的； ②推理，推出和公理、定理矛盾； ③说明假设错误，原命题成立。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 过两点有且只有一个圆 C. 一个三角形有且只有一个外接圆 D. 三角形外心到三边距离相等 2.已知Rt△ABC，∠C=90o，AC=6，BC=8，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 5 B.10 C.6 D.8 3.锐角三角形ABC的外心的位置在（ ） A.三角形外部 B.三角形内部 C.斜边中点 D.三角形边上 4.已知△ABC的外心为O，OA=4，则OB的长为（ ） A.2 B.4 C.8 D.不确定 5．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 6．下列图形不一定有外接圆的是(　　) A．三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 7．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出圆的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，△ABC内接于⊙O，射线AO交BC边于点D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，则⊙O的半径长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．4 C．4 D．4 10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 二．填空题（共30分） 11.过同一直线上三点，能作____个圆。 12.线段AB=8，过A、B两点作圆，圆心轨迹是线段AB的____。 13.不在同一直线上的三点确定____个圆。 14．若△ABC的三边长分别为5、12、13，则其外接圆半径长为 ． 15.△ABC的外心是点O，若OC=6，则外接圆的半径等于________。 16.在△ABC中，外心O满足OA=11，则线段OC=________。 17.等边三角形外心在三角形____。 18.要复原破损圆形，碎片必须包含至少____条完整弦。 19．如图方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为___． 20．如图3－1－18，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________个． 三．解答题（共60分） 21．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮． (1)用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹） (2)求车轮的半径是多少？ 22．如图小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积． 23.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为(3,0)． （1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为_________，⊙M的半径为________； （2）求△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标． 25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 26．锐角△ABC外接圆的圆心为O，线段OA，BC的中点分别为M、N，∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．设∠OMN＝θ． （1）请直接用θ表示∠BAC，∠MON； （2）判断△OMN的形状，并给出证明； （3）求∠OMN的大小． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列条件不能确定唯一圆的是（ ） A. 圆心、半径 B. 不在同一直线三点 C. 一条直径 D. 任意两点 2.△ABC三边垂直平分线交点在三角形外，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3.过平面内三点画圆，最多可画（ ） A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 3个 4.平面直角坐标系中，A(0,3)，B(4,3)，C(4,0)，则△ABC外接圆的圆心坐标为（ ） A.(2,1.5) B.(2,3) C.(4,1.5) D.(0,0) 5.已知△ABC的外心O，OA=5，下列线段长度一定等于5的是（ ） A.O到AB距离 B.OB C.AB D.BC 6.如图，0为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是(   )． A. D是△AEB的外心，O是△AED的外心  B.O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C. D不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D.O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 7. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是( ) A. 当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B. 当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30° D. 当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 8. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　C　) A. 2＋ B. C. 2＋或2－ D. 4＋2或2－ 9. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）. A.4 B. C. D. 2 10.在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　） A．3+4 B．12 C．6+3 D．6 二．填空题（共30分） 11.三点(0,1)、(2,1)、(1,3)____（填能/不能）确定圆。 12.直角三角形两条边长分别为9和12，当12作为斜边时，外接圆半径等于________。 13.平面直角坐标系，已知A(0,0)，B(0,6)，C(8,0)，△ABC外接圆半径为________。 14.等腰△ABC，AB=AC=10，底边BC=12，该三角形外接圆半径为________。 15.△ABC中，∠B=110o，O是它的外心，则OA、OB、OC三者数量关系写OA________OB。（填“=、>、<”） 16．已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是 ． 18.等边三角形边长6，外接圆外心到顶点距离为____。 19．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 　 　． 20.在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　 　． 三．解答题（共60分） 21. 如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C. ①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)； ②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R. 22．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若△ABC的外接圆为⊙O，判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由． 23．已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由． (1)AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1； (2)AB＝AC＝10，BC＝12. 24．如图，△ABC内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 25．如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接， (1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）． (2)若，为直角三角形时，求的值． (3)点在的内部，直接写出的取值范围． (4)求半径的最小值． 26．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD． （1）求证：△ACE≌△BCD． （2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径． （3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $