第8讲 三角形内切圆&正多边形与圆 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册

第8讲 三角形内切圆&正多边形与圆 优等生讲义 2026-2027 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形内切圆和内心的概念，能作出三角形的内切圆，识别内心、外心的区别 · 掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系（S＝Cr），能利用面积法计算内切圆半径 · 理解正多边形的概念，掌握正多边形各边相等、各角相等的性质及其判定 · 掌握正多边形与圆的关系：外接圆、内切圆同心，中心角＝，能计算半径、边心距与边长 · 能综合运用内切圆与正多边形的知识解决几何计算与实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的内切圆与内心 内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心 内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等（都等于内切圆半径r） 任意三角形都有且只有一个内切圆；内切圆与三边的切点分别在三边上 内心与外心的区别：内心是角平分线交点（到三边等距），外心是垂直平分线交点（到三顶点等距） 概念辨析例题：已知等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，求△ABC的边长。 解析：等边三角形的内切圆半径r＝×高。设边长a，则高＝a，所以r＝×a＝a。由r＝2得a＝2，解得a＝4。所以△ABC的边长为4。 ☆ 2.内切圆半径的计算与应用 面积法：设三角形三边为a、b、c，周长为C＝a+b+c，面积为S，则S＝Cr，所以r＝ 直角三角形内切圆半径：设直角边为a、b，斜边为c，则r＝ 内心与顶点的连线平分该内角，如∠BIC＝90°+（I为内心） 涉及内切圆的题目常用切线性质：切线垂直于过切点的半径，常连接内心与切点作辅助线 概念辨析例题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I是内心，∠BIC＝120°，AC＝2，求AB的长。 解析：因为I是内心，∠BIC＝90°+＝120°，所以＝30°，∠A＝60°。在Rt△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，所以∠B＝30°。由30°所对直角边等于斜边一半，AB＝2AC＝4。 ☆ 3.正多边形的概念与性质 正多边形的定义：各边都相等、各角也都相等的多边形叫做正多边形 正n边形每个内角＝，每个外角＝ 正多边形都是轴对称图形，正偶数边形还是中心对称图形，对称轴条数等于边数 正多边形任意一条边的垂直平分线都经过中心（外接圆圆心与内切圆圆心重合） 概念辨析例题：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，求这个正六边形的边心距OM的长。 解析：正六边形的中心角＝＝60°。连接OB，则∠BOM＝30°。在Rt△OBM中，OB＝6，∠BOM＝30°，所以OM＝OB×cos30°＝6×＝3。所以边心距OM的长为3。 ☆ 4.正多边形与圆 正多边形的外接圆：经过正多边形各顶点的圆，圆心叫正多边形的中心，半径是正多边形半径R 正多边形的内切圆：与正多边形各边都相切的圆，圆心也是中心，半径是边心距d 中心角：正多边形每条边所对的圆心角，中心角＝ 半径R、边长a、边心距d的关系：R2＝()2+d2（勾股关系） 概念辨析例题：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点Q是优弧AB上一点，连接AQ、BQ，求∠AQB的度数。 解析：正五边形的中心角＝＝72°，所以∠AOB＝72°。点Q在优弧AB上，∠AQB是圆周角，所对弧为劣弧AB。由圆周角定理，∠AQB＝∠AOB＝×72°＝36°。所以∠AQB＝36°。 📋 知识总结表 概念 定义/公式 关键点 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆 圆心是内心，半径为r 内心 三条角平分线的交点 到三边距离相等，都等于r 内切圆半径r r＝ 面积法，S为三角形面积 正多边形 各边相等、各角相等 有唯一外接圆和内切圆 中心角 正n边形每条边所对圆心角 半径与边心距 R2＝()2+d2 R半径、d边心距、a边长 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的内切圆与内心 · 内切圆判定：与三角形三边都相切的圆，圆心（内心）是三条角平分线的交点，到三边距离相等 · 面积法求半径：r＝，由三角形面积S和周长求内切圆半径 · 内心角公式：∠BIC＝90°+，∠BOC（外心）＝2∠A，注意区分 · 辅助线作法：连接内心与切点构造垂直（切线性质），或连接内心与顶点利用角平分线 1．（2025秋•梧州期末）如图，等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，则△ABC的边长为（　　） A． B．4 C． D． 2．（2026•英山县校级自主招生）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 3．（2026•城阳区一模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠BOC＝117°，则∠A的度数为（　　） A．54° B．55° C．56° D．60° 4．（2026•雨花区模拟）如图，点I为△ABC的内心，AB＝6，AC＝5，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026•广元）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，连接AF，若AC＝5，AF，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•长沙模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为8，面积为2，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C．0.5 D．2 7．（2026秋•同步）下列说法正确的是 ________ ． ①任意一个三角形有且只有一个内切圆； ②三角形的内心都在三角形的内部； ③三角形的内心到三角形各顶点的距离相等； ④三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分这个三角形的三个内角． 8．（2025秋•仁化县期末）如图是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长为 _____ cm． 9．（2025秋•盖州市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点．若AD＝1，BC＝5，则△ABC的周长为_______ ． 10．（2025秋•常州期末）已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 _____ ． 11．（2026秋•同步）三角形的内心是三角形三条_________ 的交点． 12．（2026•秦淮区二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，则∠EDF的度数为_______ °． 13．（2026•仪征市模拟）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为________ ． 14．（2025秋•武汉期末）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的三边上，若△ABC和△DEF的边长分别是6和4，则△ADF的周长是_______ ，△ADF的内切圆的半径是____________________ ． 15．（2026秋•同步）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I是内心，∠BIC＝120°，AC＝2，求AB的长． 16．（2026秋•同步）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AE＝1，CD＝2，BF＝3，求△ABC的面积． 17．（2026秋•同步）如图，在△ABC中，O是外心，I是内心，∠BIC＝130°，求∠BOC的度数． 18．（2026秋•同步）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？ 古希腊数学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了一种计算公式——海伦公式， 即S，其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积． 例如，在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5； 所以p6． 所以S6． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9． （1）求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆的半径r． 19．（2026秋•同步）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，求⊙O的半径长． 20．（2026秋•同步）如图，△ABC的内心为点I．若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠BIC的度数． 【考点2】正多边形与圆 · 中心角计算：正n边形中心角＝，等于每个外角 · 勾股关系：R2＝()2+d2，由任意两者求第三者 · 特殊正多边形：正六边形边长等于半径R，正三角形R＝×高，正方形R＝×边长 · 内接正多边形求角度：圆周角是所对圆心角的一半，结合中心角计算 21．（2025秋•沛县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点Q是优弧AB上一点，连接AQ，BQ，则∠AQB的度数为（　　） A．40° B．36° C．30° D．25° 22．（2025秋•无锡校级月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 23．（2026•山西模拟）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF以及六个等边三角形组成．以点C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若点P的横坐标为1，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 24．（2026•南通）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，⊙O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：∠BMC＝36°；小丽：1．下列关于两人结论的判断中，正确的是（　　） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 25．（2026•安徽模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是的中点，连接BF，BD，BF交AE于点G，则∠BGE的度数为（　　） A．108° B．117° C．126° D．135° 26．（2026•枣庄模拟）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 27．（2025秋•荔城区校级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的度数为 ________ ． 28．（2025秋•南沙区期末）图中的圆形方孔铜钱是我国古代的一种货币，铜钱外部圆的半径为r，内部正方形的边长为x，用含r、x的代数式表示铜钱的面积为___________ ． 29．（2026•镇江）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，连接EB并延长至点P，BP＝1．M是正六边形ABCDEF边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足PM+PN＝5．现有下列结论：①当点M，A重合时，；②2≤PN≤4；③BN的最小值为1．其中所有正确结论的序号是_______ ． 30．（2025秋•安阳月考）如图，⊙O内切于正六边形ABCDEF，已知对角线，则正六边形与⊙O的周长差为___________________ ．（结果保留π） 31．（2026秋•铁西区月考）如图，公园花坛是正多边形，小明在路边发现公园花坛被圆形装饰物遮住．若将正多边形的两边延长交于点C，测量出∠C＝100°，则正多边形的边数n＝_____ ． 32．（2026•渭滨区校级模拟）将六个全等的正五边形按照如图的方式摆放，则∠1的度数为________ ． 33．（2026秋•同步）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° _________ _____ _____ ________________ ________________ 4 ________ ________ _____ _____ _____ _____ 6 _________ ________ _____ _____ _______ ________________ 34．（2026•盐亭县二模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点F是弧AE上一点，连接BF，DF，则∠BFD的度数是________ ． 35．（2026秋•同步）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，求正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长比． 36．（2026秋•同步）已知一个正六边形的边心距为，求它的外接圆的面积． 37．（2026秋•同步）如图，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长． 38．（2026秋•同步）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF内接于⊙O，DE，FE分别与BC相交于点G，H．若⊙O的半径为R，求GH的长． 39．（2026秋•同步）如图，用扳手拧开一个正六边形螺帽时，扳手张开的开口宽度b为48mm，求正六边形螺帽的边长． 40．（2026秋•同步）一个正六边形花坛的半径为4m，求花坛的周长和面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记内切圆概念：内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等，注意与外心的区别 · 掌握面积法公式：r＝，直角三角形特例r＝ · 记牢中心角公式：正n边形中心角＝，等于每个外角 · 熟练勾股关系：R2＝()2+d2，用于半径、边心距、边长的互求 · 规范几何证明步骤：作图→已知→求证→证明，每一步推理都有定理依据，注意逻辑严密性 【作业1】（2026•东营区校级二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【作业2】（2026•汉阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC．I为△ABC的内心，连OI，AI．如果∠AIO＝45°，，则⊙O的直径是（　　） A．10 B．8 C． D． 【作业3】（2025秋•合肥期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．⊙O是△ABC的内切圆，DE是⊙O的切线，交AB，AC分别于点D，E．则△ADE的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 【作业4】（2026•细河区二模）如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【作业5】（2026春•海淀区校级期末）将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（　　）个这样的正五边形． A．7 B．6 C．5 D．4 【作业6】（2026•麦积区模拟）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（　　） A．15 B．12 C．10 D．8 【作业7】（2026•鼓楼区校级自主招生）在△ABC中，AB﹣AC＝6，BC＝10，∠ACB为钝角，且△ABC的面积为20，则△ABC内切圆半径r的值为____________________ ． 【作业8】（2026•长沙模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点．若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为_______ ． 【作业9】（2026•信都区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝50°，点D是AB边上一点（不与点A，B重合），点I是△BCD的内心，则∠CID＝_________ ． 【作业10】（2026•西安模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝56°，则∠BOC＝________ °． 【作业11】（2025秋•凉州区期末）圆的内接正五边形的中心角的度数为_______ °． 【作业12】（2026春•广陵区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加的一个条件是_________________ ，使四边形ABCD是平行四边形． 【作业13】（2026•天山区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 ________ ． 【作业14】（2026•香坊区校级开学）如图，正五边形ABCDE是⊙O的内接多边形，则∠BOC＝________ ． 【作业15】（2026秋•同步）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，OC，IA．若∠CAI＝35°，求∠OBC的度数． 【作业16】（2026秋•同步）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．已知⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．求⊙O的半径长． 【作业17】（2026秋•同步）如图，⊙O为△ABC的外接圆，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BI，BD．求证：DB＝DI． 【作业18】（2026秋•同步）一个正多边形的中心角是20°，求这个正多边形的每一个内角的度数． 【作业19】（2026秋•同步）如图，有一个亭子，它的底部基座的形状是半径为4m的正六边形，求底部基座的周长和面积（结果保留小数点后一位）． 【作业20】（2026•娄底一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上（不与A，B重合的一点），过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当D是OA的中点时，AB＝8，求BF的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 三角形内切圆&正多边形与圆 优等生讲义 2026-2027 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形内切圆和内心的概念，能作出三角形的内切圆，识别内心、外心的区别 · 掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系（S＝Cr），能利用面积法计算内切圆半径 · 理解正多边形的概念，掌握正多边形各边相等、各角相等的性质及其判定 · 掌握正多边形与圆的关系：外接圆、内切圆同心，中心角＝，能计算半径、边心距与边长 · 能综合运用内切圆与正多边形的知识解决几何计算与实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的内切圆与内心 内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心 内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等（都等于内切圆半径r） 任意三角形都有且只有一个内切圆；内切圆与三边的切点分别在三边上 内心与外心的区别：内心是角平分线交点（到三边等距），外心是垂直平分线交点（到三顶点等距） 概念辨析例题：已知等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，求△ABC的边长。 解析：等边三角形的内切圆半径r＝×高。设边长a，则高＝a，所以r＝×a＝a。由r＝2得a＝2，解得a＝4。所以△ABC的边长为4。 ☆ 2.内切圆半径的计算与应用 面积法：设三角形三边为a、b、c，周长为C＝a+b+c，面积为S，则S＝Cr，所以r＝ 直角三角形内切圆半径：设直角边为a、b，斜边为c，则r＝ 内心与顶点的连线平分该内角，如∠BIC＝90°+（I为内心） 涉及内切圆的题目常用切线性质：切线垂直于过切点的半径，常连接内心与切点作辅助线 概念辨析例题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I是内心，∠BIC＝120°，AC＝2，求AB的长。 解析：因为I是内心，∠BIC＝90°+＝120°，所以＝30°，∠A＝60°。在Rt△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，所以∠B＝30°。由30°所对直角边等于斜边一半，AB＝2AC＝4。 ☆ 3.正多边形的概念与性质 正多边形的定义：各边都相等、各角也都相等的多边形叫做正多边形 正n边形每个内角＝，每个外角＝ 正多边形都是轴对称图形，正偶数边形还是中心对称图形，对称轴条数等于边数 正多边形任意一条边的垂直平分线都经过中心（外接圆圆心与内切圆圆心重合） 概念辨析例题：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，求这个正六边形的边心距OM的长。 解析：正六边形的中心角＝＝60°。连接OB，则∠BOM＝30°。在Rt△OBM中，OB＝6，∠BOM＝30°，所以OM＝OB×cos30°＝6×＝3。所以边心距OM的长为3。 ☆ 4.正多边形与圆 正多边形的外接圆：经过正多边形各顶点的圆，圆心叫正多边形的中心，半径是正多边形半径R 正多边形的内切圆：与正多边形各边都相切的圆，圆心也是中心，半径是边心距d 中心角：正多边形每条边所对的圆心角，中心角＝ 半径R、边长a、边心距d的关系：R2＝()2+d2（勾股关系） 概念辨析例题：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点Q是优弧AB上一点，连接AQ、BQ，求∠AQB的度数。 解析：正五边形的中心角＝＝72°，所以∠AOB＝72°。点Q在优弧AB上，∠AQB是圆周角，所对弧为劣弧AB。由圆周角定理，∠AQB＝∠AOB＝×72°＝36°。所以∠AQB＝36°。 📋 知识总结表 概念 定义/公式 关键点 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆 圆心是内心，半径为r 内心 三条角平分线的交点 到三边距离相等，都等于r 内切圆半径r r＝ 面积法，S为三角形面积 正多边形 各边相等、各角相等 有唯一外接圆和内切圆 中心角 正n边形每条边所对圆心角 半径与边心距 R2＝()2+d2 R半径、d边心距、a边长 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的内切圆与内心 · 内切圆判定：与三角形三边都相切的圆，圆心（内心）是三条角平分线的交点，到三边距离相等 · 面积法求半径：r＝，由三角形面积S和周长求内切圆半径 · 内心角公式：∠BIC＝90°+，∠BOC（外心）＝2∠A，注意区分 · 辅助线作法：连接内心与切点构造垂直（切线性质），或连接内心与顶点利用角平分线 1．（2025秋•梧州期末）如图，等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，则△ABC的边长为（　　） A． B．4 C． D． 【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质． 【分析】连接OB，OC，OD，解直角三角形OBD求得BD，进而得出结果． 【解答】解：如图，等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，连接OB，OC，设BC与⊙O相切于点D，连接OD， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ，，OD⊥BC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 2．（2026•英山县校级自主招生）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理． 【分析】连接BD、CD、BI，由已知可得BD＝CD＝4，进而可证ID＝BD＝4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，利用OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2求x，再利用勾股定理求AC即可． 【解答】解：连接BD、CD、BI， ∵I为△ABC 内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∴， ∴BD＝CD＝4， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID， ∴ID＝BD＝4， ∵OI⊥AD， ∴AD＝2ID＝8， ∴AB， 连接OD交BC于点E，则OD⊥BC， 设DE＝x，则OEAB﹣x＝2x， ∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2， ∴（2）2﹣（2x）2＝42﹣x2， 解得：x， ∴BE， ∴BC＝2BE， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD＝2BD是解此题的关键，有一定的难度． 3．（2026•城阳区一模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠BOC＝117°，则∠A的度数为（　　） A．54° B．55° C．56° D．60° 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理． 【分析】根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠OCB＝63°，再由三角形内切圆的性质可得∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝126°，即可求解． 【解答】解：∵∠BOC＝117°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝63°， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ACB＝2∠OCB，∠ABC＝2∠OBC， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OCB+2∠OBC＝2（∠OBC+∠OCB）＝126°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣126°＝54°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2026•雨花区模拟）如图，点I为△ABC的内心，AB＝6，AC＝5，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】三角形的内切圆与内心；弧长的计算；平移的性质． 【分析】设AC的对应边交AB于点E，BC的对应边交AB于点F，连接AI、BI，由点I为△ABC的内心，得∠EAI＝∠CAI，∠FBI＝∠CBI，由平移得EI∥AC，FI∥BC，则∠EIA＝∠CAI，∠FIB＝∠CBI，推导出∠EAI＝∠EIA，∠FBI＝∠FIB，所以IE＝AE，IF＝BF，求得IE+EF+IF＝AB＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AC的对应边交AB于点E，BC的对应边交AB于点F，连接AI、BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠EAI＝∠CAI，∠FBI＝∠CBI， 由平移得EI∥AC，FI∥BC， ∴∠EIA＝∠CAI，∠FIB＝∠CBI， ∴∠EAI＝∠EIA，∠FBI＝∠FIB， ∴IE＝AE，IF＝BF， ∴IE+EF+IF＝AE+EF+BF＝AB＝6， ∴阴影部分的周长是6， 故选：D． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、平移的性质、等腰三角形的判定、三角形的周长等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5．（2026•广元）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，连接AF，若AC＝5，AF，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的内切圆与内心． 【分析】连接AE、BE、BF，由AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，得∠ACB＝∠AFB＝90°，CF平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF＝45°，推导出∠ABF＝∠BAF，则BF＝AF，求得ABAF＝13，因为AC＝5，所以BC12，作EH⊥AB于点H，EL⊥BC于点L，EI⊥AC于点I，则EH＝IL＝EI，由13EL12EL5EI12×5＝S△ABC，求得EL＝2，可证明∠LEC＝∠LCE＝45°，则CL＝EL＝2，求得CE2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AE、BE、BF， ∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F， ∴∠ACB＝∠AFB＝90°，CF平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF∠ACB＝45°， ∵∠ACF＝∠ABF，∠BCF＝∠BAF， ∴∠ABF＝∠BAF， ∴BF＝AF， ∴ABAF13， ∵AC＝5， ∴BC12， 作EH⊥AB于点H，EL⊥BC于点L，EI⊥AC于点I，则EH＝IL＝EI， ∵S△ABE+S△BCE+S△ACE＝S△ABC， ∴13EL12EL5EI12×5， ∴EL＝2， ∵∠ELC＝90°，∠LCE＝45°， ∴∠LEC＝∠LCE＝45°， ∴CL＝EL＝2， ∴CE2， 故选：B． 【点评】此题重点考查圆周角定理、三角形的内切圆与内心、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 6．（2026•长沙模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为8，面积为2，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C．0.5 D．2 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的面积． 【分析】连接圆心O与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中l为周长，r为内切圆半径）建立等量关系求解． 【解答】解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为8，面积为2，连接OA，OB，OC，设⊙O的半径为r， ∴点O到AB，BC，AC的距离都等于r， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC AB•rBC•rAC•r （AB+BC+AC）•r， ∴28•r， 解得：r＝0.5， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式． 7．（2026秋•同步）下列说法正确的是 　①②④　 ． ①任意一个三角形有且只有一个内切圆； ②三角形的内心都在三角形的内部； ③三角形的内心到三角形各顶点的距离相等； ④三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分这个三角形的三个内角． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理． 【分析】利用三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，则任何一个三角形有且仅有一个内切圆，从而可对①②④进行判断；然后利用角平分线的性质可对③进行判断． 【解答】解：任意一个三角形有且只有一个内切圆，所以①正确； 三角形的内心都在三角形的内部，所以②正确； 三角形的内心到三角形各边的距离相等，所以③错误； 三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分这个三角形的三个内角，所以④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 8．（2025秋•仁化县期末）如图是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长为 　7　 cm． 【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质． 【分析】设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G， 由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN， ∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm， ∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm）， ∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm）， 故答案为：7． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2025秋•盖州市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点．若AD＝1，BC＝5，则△ABC的周长为　12　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质． 【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，根据切线长定理得BD＝BF，CE＝CF，AD＝AE＝1，则BD+CE＝BF+CF＝BC＝5，求得AB+AC＝AD+BD+CE+AE＝7，所以AB+AC+BC＝12，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AD＝1，BC＝5， ∴BD＝BF，CE＝CF，AD＝AE＝1， ∴BD+CE＝BF+CF＝BC＝5， ∴AB+AC＝AD+BD+CE+AE＝1+5+1＝7， ∴AB+AC+BC＝7+5＝12， ∴△ABC的周长为12， 故答案为：12． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，AD＝AE＝1，BD+CE＝BC＝5是解题的关键． 10．（2025秋•常州期末）已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 　1　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质． 【分析】过O点作OD⊥AB，则ADAB，因为∠OAD＝30°，根据直角三角形中的三角函数可求OD＝tan30°•AD＝3． 【解答】解：如图，过O点作OD⊥AB，则ADAB， 因为∠OAD＝30°， 所以OD＝tan30°•AD1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角． 11．（2026秋•同步）三角形的内心是三角形三条　角平分线　 的交点． 【考点】三角形的内切圆与内心． 【分析】根据内心的定义直接得解． 【解答】解：由内心的定义可知三角形的内心是三角形三条角平分线的交点， 故答案为：角平分线． 【点评】本题主要考查了三角形的内心，数轴相关概念是解题的关键． 12．（2026•秦淮区二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，则∠EDF的度数为　70　 °． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；切线的性质． 【分析】连接OE、OF，因为⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，所以AC⊥OE与点E，AB⊥OF于点F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，而∠A＝40°，根据四边形的内角和等于360°，得∠EOF+90°+40°+90°＝360°，求得∠EOF＝140°，由圆周角定理得∠EDF∠EOF＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OE、OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴AC⊥OE与点E，AB⊥OF于点F， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°， ∵∠EOF+∠OEA+∠A+∠OFA＝360°，且∠A＝40°， ∴∠EOF+90°+40°+90°＝360°， ∴∠EOF＝140°， ∴∠EDF∠EOF＝70°， 故答案为：70． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于360°、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 13．（2026•仪征市模拟）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为　20°　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【分析】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°， ∵OB＝OC， ∴． 故答案为：20°． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（2025秋•武汉期末）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的三边上，若△ABC和△DEF的边长分别是6和4，则△ADF的周长是　10　 ，△ADF的内切圆的半径是　　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质． 【分析】证明△AFD≌△BDE，得到BD＝AF，进而得到△ADF的周长为AB+DF，设△ADF的内切圆为⊙O，切点分别为G，H，I，连接OA，OG，根据切线长定理，结合线段的和差关系求出AG的长，含30度角的直角三角形的性质，求出OG的长，即可得出结果． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴AB＝6，∠A＝∠B＝60°， ∵△DEF为等边三角形，边长为4， ∴∠FDE＝60°＝∠B，DF＝ED＝4， ∵∠ADE＝∠ADF+∠EDF＝∠B+∠BED， ∴∠ADF＝∠BED， 又∵∠A＝∠B＝60°， ∴△AFD≌△BDE（AAS）， ∴AF＝BD， ∴△ADF的周长＝AF+AD+DF＝BD+AD+DF＝AB+DF＝10； 设△ADF的内切圆为⊙O，切点分别为G，H，I，连接OA，OG，则AG＝AI，FI＝FH，DG＝DH，OG⊥AD，， ∴AG＝AB﹣BD﹣DG ＝AB﹣AF﹣DH ＝AB﹣AI﹣FI﹣DH ＝AB﹣AG﹣FH﹣DH ＝AB﹣AG﹣DF； ∴2AG＝AB﹣DF＝6﹣4＝2， ∴AG＝1， 在Rt△AOG中，∠OAG＝30°， ∴， ∴，即△ADF的内切圆的半径是； 故答案为：10，． 【点评】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15．（2026秋•同步）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I是内心，∠BIC＝120°，AC＝2，求AB的长． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理． 【分析】先利用三角形内心的性质得到∠IBC+∠ICB，进而得出∠ABC＝30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I是内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB， ∴，， ∴， ∵∠BIC＝120°， ∴∠IBC+∠ICB＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2×2＝4． 答：AB的长为4． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，正确进行计算是解题关键． 16．（2026秋•同步）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AE＝1，CD＝2，BF＝3，求△ABC的面积． 【考点】三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；切线的性质． 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【解答】解：由题意可得：AE＝AF＝1，CE＝CD＝2，BD＝BF＝3， ∴AB＝AF+BF＝1+3＝4，AC＝AE+CE＝1+2＝3，BC＝BD+DC＝3+2＝5， ∴AB2+AC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠A＝90°， ∴． 答：△ABC的面积为6． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，正确进行计算是解题关键． 17．（2026秋•同步）如图，在△ABC中，O是外心，I是内心，∠BIC＝130°，求∠BOC的度数． 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心． 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出∠A，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【解答】解：在△ABC中，O是外心，I是内心，∠BIC＝130°， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB， ∴，， ∴ ， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB） ， ∴， ∴∠A＝80°， ∵O是△ABC的外心， ∴∠BOC＝2∠A＝160°． 答：∠BOC的度数是160°． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，正确进行计算是解题关键． 18．（2026秋•同步）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？ 古希腊数学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了一种计算公式——海伦公式， 即S，其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积． 例如，在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5； 所以p6． 所以S6． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9． （1）求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆的半径r． 【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的乘除法． 【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S即可求得S的值； （2）根据公式S代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【解答】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9， ∴p10， ∴S10， 故∴△ABC的面积； （2）∵， ， 解得：； 故△ABC的内切圆半径为． 【点评】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 19．（2026秋•同步）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，求⊙O的半径长． 【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质． 【分析】BC与⊙O相切于点D，连接OB、OC、OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据等腰三角形的性质求出BD，解直角三角形求出OD． 【解答】解：设BC与⊙O相切于点D，连接OB、OC、OD， 则OD⊥BC， ∵△ABC是等边三角形，点O是内心， ∴OB＝OC，∠OBD∠ABC＝30°， ∵OB＝OC，OD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝2， ∴OD＝BD•tan∠OBD＝2． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，掌握切线长定理、等边三角形的性质是解题的关键． 20．（2026秋•同步）如图，△ABC的内心为点I．若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠BIC的度数． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理． 【分析】根据三角形的内心的概念分别求出∠IBC、∠ICB，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵△ABC的内心为点I， ∴∠IBC∠ABC70°＝35°，∠ICB∠ACB50°＝25°， ∴∠BIC＝180°﹣35°﹣25°＝120°． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，正确理解三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 【考点2】正多边形与圆 · 中心角计算：正n边形中心角＝，等于每个外角 · 勾股关系：R2＝()2+d2，由任意两者求第三者 · 特殊正多边形：正六边形边长等于半径R，正三角形R＝×高，正方形R＝×边长 · 内接正多边形求角度：圆周角是所对圆心角的一半，结合中心角计算 21．（2025秋•沛县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点Q是优弧AB上一点，连接AQ，BQ，则∠AQB的度数为（　　） A．40° B．36° C．30° D．25° 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】连接OA，OB，求得∠AOB，结合圆周角定理，计算求得∠AQB即可． 【解答】解：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OA，OB， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，解答本题的关键要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 22．（2025秋•无锡校级月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 【考点】正多边形和圆． 【分析】首先通过正六边形来构造辅助线形成等边三角形，进而可以利用垂直在直角三角形中求解OM的长度即可． 【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，如图，连接OB，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形，即BC＝OB＝6， ∵OM⊥BC， ∴， 在Rt△BOM中，， 故选：D． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点的应用，利用正六边形的性质求边长是解题的关键． 23．（2026•山西模拟）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF以及六个等边三角形组成．以点C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若点P的横坐标为1，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点】正多边形和圆；坐标确定位置；等边三角形的判定与性质． 【分析】过点P作PM⊥y轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，先求出PA＝2，得出CD＝DE＝2，再在等边三角形△DEH中求出DN和EN，即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PM⊥y轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N， ∵跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF以及六个等边三角形组成． ∴PA＝AF＝CD＝DE＝DH，∠PAF＝∠EDH＝60°，AF∥CD， ∴∠DEN＝90°﹣∠EDH＝30°，∠FAM＝∠ACD＝90°， ∴∠PAM＝30°， 由题意可得：PM＝1， ∴AP＝2PM＝2， ∴CD＝DE＝2， ∴，， ∴CN＝CD+DN＝2+1＝3， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，正确进行计算是解题关键． 24．（2026•南通）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，⊙O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：∠BMC＝36°；小丽：1．下列关于两人结论的判断中，正确的是（　　） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图，根据正多边形的性质∠BOC＝72°，则根据圆周角定理得到∠BMC∠BOC＝36°，从而可对小慧的结论进行判断；利用DM为正五边形ABCDE对称轴得到EM＝CM，∠AME＝∠BMC＝36°，∠AOM＝∠BOM∠AOB＝36°，接着证明∠MPA＝∠MAP得到AM＝PM，证明∠EPO＝∠EOP得到EP＝OE＝OM，所以1，从而可对小丽的结论进行判断． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠BOC72°， ∴∠BMC∠BOC＝36°，所以小慧的结论正确； ∵O点和D点都在AB的垂直平分线上， ∴DM垂直平分AB， 即DM为正五边形ABCDE对称轴， ∴EM＝CM，∠AME＝∠BMC＝36°，∠AOM＝∠BOM∠AOB＝36°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣36°）＝72°， ∴∠MPA＝180°﹣∠AMP﹣∠MAP＝72°， ∴∠MPA＝∠MAP， ∴AM＝PM， ∵∠EPO＝∠MPA＝72°，∠AOE＝72°， ∴∠EPO＝∠EOP， ∴EP＝OE＝OM， ∴1，所以小丽的结论正确． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形与圆，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．也考查了圆周角定理． 25．（2026•安徽模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是的中点，连接BF，BD，BF交AE于点G，则∠BGE的度数为（　　） A．108° B．117° C．126° D．135° 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】根据圆内接正五边形的性质，圆周角道理以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OE，OF， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠BAE108°，∠AOE72°， ∵点F是的中点， ∴∠AOF＝∠EOF∠AOE＝36°， ∴θABF∠AOF＝18°， ∴∠BGE＝∠ABF+∠BAE＝18°+108°＝126°， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角道理，掌握正五边形的性质，圆周角道理以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 26．（2026•枣庄模拟）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】如图所示，连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，由此即可求解． 【解答】解：如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，∠ADB＝18°，连接OA，OB， ∴∠AOB＝2∠ADB＝36°， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，合理添加辅助线是解答本题的关键． 27．（2025秋•荔城区校级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的度数为 　36°　 ． 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】连接OC，OB．求出∠COB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC，OB， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COB＝360°÷5＝72°， ∴∠BPC∠COD＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角∠COB的度数． 28．（2025秋•南沙区期末）图中的圆形方孔铜钱是我国古代的一种货币，铜钱外部圆的半径为r，内部正方形的边长为x，用含r、x的代数式表示铜钱的面积为　πr2﹣x2 ． 【考点】正多边形和圆；列代数式． 【分析】用圆的面积减去正方形面积即可得到答案． 【解答】解：含r、x的代数式表示铜钱的面积为：πr2﹣x2， 故答案为：πr2﹣x2． 【点评】本题主要考查了列代数式，正确进行计算是解题关键． 29．（2026•镇江）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，连接EB并延长至点P，BP＝1．M是正六边形ABCDEF边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足PM+PN＝5．现有下列结论：①当点M，A重合时，；②2≤PN≤4；③BN的最小值为1．其中所有正确结论的序号是　②③　 ． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系逐项进行判断即可． 【解答】解：①当点M，A重合时，如图1， ∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是中心， ∴∠AOB＝∠AOF60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∴OA＝OB＝AB＝1，∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵∠ABP＝180°﹣60°＝120°，BP＝AB＝1， ∴∠PAB30°， ∴∠OAP＝60°+30°＝90°， 在Rt△OAP中，OA＝1，OP＝1+1＝2， ∴PA， 即PM， 又∵PM+PN＝5， ∴PN＝5， 因此①不正确； ②∵点M是正六边形ABCDEF边上的一个动点， ∴当点M与点B重合时，PM最小，最小值为PM＝PB＝1，当点M与点E重合时，PM最大，最大值为PM＝PE＝1+2＝3， 即1≤PM≤3， ∵PM+PN＝5， ∴2≤PN≤4， 因此②正确； ③由②知，2≤PN≤4，如图2， 以点P为圆心、2为半径作⊙P， 当点N与正六边形的中心O重合时，BN的长最小， 此时BN的最小值为1， 因此结论③正确． 综上所述，所有正确结论的序号是②③． 故答案为：②③． 【点评】本题考查了正六边形的性质、解直角三角形、勾股定理，确定点N的运动轨迹是解题的关键． 30．（2025秋•安阳月考）如图，⊙O内切于正六边形ABCDEF，已知对角线，则正六边形与⊙O的周长差为　　 ．（结果保留π） 【考点】正多边形和圆；切线长定理． 【分析】首先根据对角线是外接圆的直径，得到外接圆半径的长，再根据正六边形的边长等于其外接圆半径，得到正六边形的周长，根据正六边形的内切圆半径（边心距）与边长的关系得到内切圆半径，进而得到内切圆的周长，再计算周长差即可． 【解答】解：正六边形ABCDEF的对角线AD经过圆心O， ∴AD是正六边形ABCDEF外接圆的直径， ∵， ∴外接圆半径， ∵正六边形的边长a等于外接圆半径，即， ∴正六边形周长， ∵正六边形的内切圆半径r等于边心距，对正六边形有， ∴内切圆周长， ∴周长差为． 故答案为：． 【点评】本题考查正六边形与其内切圆、外接圆的性质．熟悉正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，对角线是外接圆的直径，正六边形的内切圆半径（边心距）与边长的关系为，正六边形与内切圆、外接圆的位置关系：正六边形的中心与内切圆、外接圆的圆心重合是解题的关键． 31．（2026秋•铁西区月考）如图，公园花坛是正多边形，小明在路边发现公园花坛被圆形装饰物遮住．若将正多边形的两边延长交于点C，测量出∠C＝100°，则正多边形的边数n＝　9　 ． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据正多边形的性质求出每一个外角的度数，再根据外角和为360°解答即可． 【解答】解：∵公园花坛是正多边形， ∴∠CAB＝∠CBA， 在△ABC中，∵∠C＝100°， ∴∠CAB＝∠CBA40°， 即正n边形的外角是40°， ∴n9， 即这个正多边形是正九边形， 故答案为：9． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质以及多边形外角和是360°是正确解答的关键． 32．（2026•渭滨区校级模拟）将六个全等的正五边形按照如图的方式摆放，则∠1的度数为　36°　 ． 【考点】正多边形和圆． 【分析】先求出正五边形的一个内角度数为108°，然后求出结果即可． 【解答】解：∵正五边形每个内角的度数为（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠1＝360°﹣3×108°＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键． 33．（2026秋•同步）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 　120°　 　2　 　1　 　6　 　3　 4 　90°　 　90°　 　2　 　1　 　8　 　4　 6 　120°　 　60°　 　2　 　2　 　12　 　6　 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据正三角形、正方形、正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图1，正三角形ABC，因为内角∠ABC＝60°，AB＝2， 所以中心角∠BOC120°，BM＝CMBC， 所以半径OBBM×2＝2，边心距OMBM＝1， 周长为2，面积为21×3＝3； 如图2，正方形ABCD，半径OA， 所以内角∠ABC＝90°，中心角为90°，边长ABOA＝2，边心距OM＝AM＝BMAB＝1，周长为2×4＝8，面积为2×2＝4； 如图3，正六边形ABCDEF，边心距OM， 所以内角∠ABC120°，中心角∠AOB60°，半径OAOM×2＝2，边长AB＝OA＝2，周长为2×6＝12，面积为26； 故答案为：第一行：120°，2，1，6，3；第二行：90°，90°，2，1，8，4；第三行：120°，60°，2，2，12，6． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正三角形、正方形，正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 34．（2026•盐亭县二模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点F是弧AE上一点，连接BF，DF，则∠BFD的度数是　72°　 ． 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】连接OC，OD，OB，根据正五边形的性质得出∠COD和∠COB的度数，从而得出∠BFD的度数． 【解答】解：如图，连接OC，OD，OB， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠COD＝∠BOC72°， ∴∠BOD＝144°， ∴∠BFD∠BOD＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠COD的度数是解题的关键． 35．（2026秋•同步）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，求正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长比． 【考点】正多边形和圆；正方形的性质． 【分析】求出⊙O的内接正方形和内接正六边形的边长之比，即可得出结论． 【解答】解：连接OA、OB．OE，如图所示： 设此圆的半径为R， 则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R：1， ∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3． 【点评】本题考查了正多边形和圆，求出内接正方形与内接正六边形的边长关系是解决问题的关键． 36．（2026秋•同步）已知一个正六边形的边心距为，求它的外接圆的面积． 【考点】正多边形和圆． 【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB，证△OAB是等边三角形，得∠OAB＝60°，再由锐角三角函数定义求出OA＝2，然后由圆的面积公式求解即可． 【解答】解：如图，O为正六边形ABCDEF的中心，过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB 则OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距， 即OH＝3， ∵∠AOB60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∵OH⊥AB， ∴sin∠OAH， ∴OA6， ∴它的外接圆的面积＝π•62＝36π． 【点评】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数定义以及圆面积公式等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 37．（2026秋•同步）如图，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长． 【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；正方形的性质． 【分析】根据题意构建直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长可得： ⊙O的外切正三角形ABC如图，⊙O和AB相切于点D， ∵⊙O的半径为R， ∴OD＝R， ∵， ∴OB＝2OD＝2R， ∴， ∴； ⊙O的外切正方形HLKF如图，⊙O和HF、LK分别相切于点E，G， ∵⊙O的半径为R， ∴EG＝2R， ∴⊙O的外切正方形边长为2R； ⊙O的外切正六边形如图，⊙O和AB相切于点D， ∵⊙O的半径为R， ∴OD＝R，∠AOD＝360°÷12＝30°， ， ∴， 答：它们边长分别为、2R、． 【点评】本题考查正多边形和圆，正确进行计算是解题关键． 38．（2026秋•同步）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF内接于⊙O，DE，FE分别与BC相交于点G，H．若⊙O的半径为R，求GH的长． 【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；正方形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【分析】连接AE交BC于点M，连接BE，CE，证明直线AE是线段BC的垂直平分线，求得，，据此求解即可． 【解答】解：如图，连接AE交BC于点M，连接BE，CE， ∵AE是⊙O的直径，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ABE＝∠ACE＝90°，∠EBM＝∠ECM＝30°， ∴BE＝CE， ∴直线AE是线段BC的垂直平分线， ∴∠BME＝90°，∠EGM＝45°， ∴EM＝GM，∠BAE＝30°， ∴，， ∴， ∵△EGH是等腰直角三角形， ∴GH＝2GM＝R． 答：GH的长为R． 【点评】本题考查正多边形和圆，三角形的外接圆与外心，正确记忆相关知识点是解题关键． 39．（2026秋•同步）如图，用扳手拧开一个正六边形螺帽时，扳手张开的开口宽度b为48mm，求正六边形螺帽的边长． 【考点】正多边形和圆． 【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可． 【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H． ∵∠COD60°，OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠COH＝90°﹣60°＝30°， ∵OH⊥CD， ∴CH＝DHCD，OHb， ∴CH＝24×tan30°＝248， ∴CD＝2CH＝16（mm）， 故正六边形螺帽的边长为16mm． 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 40．（2026秋•同步）一个正六边形花坛的半径为4m，求花坛的周长和面积． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据正六边形的周长、面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：边长为4m的正六边形的花坛的周长为4×6＝24（m）， 边长为4m的正六边形的花坛的面积为4×（4）×6＝24（m2）， 答：花坛的周长为24m，面积为24m2． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的周长、面积的计算方法是正确解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记内切圆概念：内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等，注意与外心的区别 · 掌握面积法公式：r＝，直角三角形特例r＝ · 记牢中心角公式：正n边形中心角＝，等于每个外角 · 熟练勾股关系：R2＝()2+d2，用于半径、边心距、边长的互求 · 规范几何证明步骤：作图→已知→求证→证明，每一步推理都有定理依据，注意逻辑严密性 【作业1】（2026•东营区校级二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【分析】连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H，证明，得到OG⊥AC，AG＝CGAC，∠BFC＝90°，证明△CEF是等腰直角三角形，得到CF＝EFCE，则BF，利用等积法得到FH＝CG＝2，即可得到答案． 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，三角形内心的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 【作业2】（2026•汉阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC．I为△ABC的内心，连OI，AI．如果∠AIO＝45°，，则⊙O的直径是（　　） A．10 B．8 C． D． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理． 【分析】连接并延长BI交AC于点E，作AD⊥IO交AO的延长线于点D，则∠D＝90°，所以∠DAI＝∠AIO＝45°，则AD＝ID，由AB为⊙O的直径，得∠C＝90°，因为I为△ABC的内心，所以∠BAI＝∠CAI∠BAC，∠ABI＝∠CBI∠ABC，求得∠AIE＝∠BAI+∠ABI＝45°，则∠AIE＝∠AIO，∠BIO＝90°，可证明△BOI≌△AOD，得OI＝OD，则BI＝ID＝2OI，再证明△AIE≌△AIO，得EI＝OI，设EI＝OI＝m，则BI＝2m，所以BE＝3m，OBm，由tan∠CBI＝tan∠ABI，且BC＝3，求得CEBC，则BE，由3m，求得m，则OB，所以⊙O的直径是5，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接并延长BI交AC于点E，作AD⊥IO交AO的延长线于点D，则∠D＝90°， ∵∠AIO＝45°， ∴∠DAI＝∠AIO＝45°， ∴AD＝ID， ∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， ∴∠C＝90°，OB＝OA， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵I为△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠BAI＝∠CAI∠BAC，∠ABI＝∠CBI∠ABC， ∴∠AIE＝∠BAI+∠ABI（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠AIE＝∠AIO，∠BIO＝180°﹣∠AIO﹣∠AIE＝90°， ∴∠BIO＝∠D， 在△BOI和△AOD中， ， ∴△BOI≌△AOD（AAS）， ∴BI＝AD＝ID，OI＝OD， ∴BI＝ID＝2OI， 在△AIE和△AIO中， ， ∴△AIE≌△AIO（ASA）， ∴EI＝OI， 设EI＝OI＝m，则BI＝2m， ∴BE＝EI+BI＝3m，OBm， ∵tan∠CBI＝tan∠ABI，且BC＝3， ∴CEBC3， ∴BE， ∴3m， ∴m， ∴OB， ∴AB＝2OB＝25， ∴⊙O的直径是5， 故选：C． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、直角所对的圆周角是直角、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【作业3】（2025秋•合肥期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．⊙O是△ABC的内切圆，DE是⊙O的切线，交AB，AC分别于点D，E．则△ADE的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；切线的性质． 【分析】先求AB＝10，再利用切线长定理可得△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AB+AC﹣BC，即可求解． 【解答】解：如图，记切点分别为M、N、P、Q， 在Rt△ABC中，AB10， 由切线长定理可得DP＝DQ，BQ＝BM，CM＝CN，EP＝EN， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝AD+DP+PE+AE ＝AD+DQ+AE+EN ＝AQ+AN ＝AB﹣BQ+AC﹣CN ＝AB+AC﹣（BM+CM） ＝AB+AC﹣BC ＝10+8﹣6 ＝12． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业4】（2026•细河区二模）如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【考点】正多边形和圆． 【分析】构造弧所对的圆心角后，即可求解． 【解答】解：连接AO，CO， ∵∠ABC＝20°， ∴∠AOC＝2ABC＝40°， ∴， ∴AC是正九边形的一条边． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握构造同弧所对的圆心角是解题的关键． 【作业5】（2026春•海淀区校级期末）将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（　　）个这样的正五边形． A．7 B．6 C．5 D．4 【考点】正多边形和圆． 【分析】求出正五边形的内角的度数，进而求出所形成的正多边形的内角的度数，进而求出边数即可． 【解答】解：由于正五边形的每一个内角的度数为108°， 由题意可知在圆环内部所形成的多边形是正多边形，且每一个内角的度数为360°﹣108°﹣108°＝144°， ∴这个正多边形的每一个外角的度数为180°﹣144°＝36°， ∴这个正多边形的边数为360°÷36°＝10（条）， ∴还需要正五边形的个数为10﹣4＝6， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质是正确解答的关键． 【作业6】（2026•麦积区模拟）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（　　） A．15 B．12 C．10 D．8 【考点】正多边形和圆；全等图形． 【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解． 【解答】解：∵多边形是正五边形， ∴正五边形的每一个内角为：180°×（5﹣2）＝108°， ∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°， ∴正五边形的个数是360°÷36°＝10． 故选：C． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【作业7】（2026•鼓楼区校级自主招生）在△ABC中，AB﹣AC＝6，BC＝10，∠ACB为钝角，且△ABC的面积为20，则△ABC内切圆半径r的值为　　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心． 【分析】设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由题 c﹣b＝6，a＝10，C为钝角 S＝20，过点A作AD⊥BC交BC延长线于D．根据三角形的面积公式得到AD＝4，根据勾股定理得到CD，根据题意列方程得到b＝7（负值舍去），求得c＝7+6＝13，于是得到结论． 【解答】解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 由题 c﹣b＝6，a＝10，C为钝角，S＝20， 过点A作AD⊥BC交BC延长线于D． ∴Sa•AD＝20， ∴AD＝4， ∴CD，BD， ∴10＝BC＝BD﹣CD， 整理得16b2+96b﹣1456＝0， 解得b＝7（负值舍去）， ∴c＝7+6＝13， ∴r． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【作业8】（2026•长沙模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点．若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为　16　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质． 【分析】设BF＝x，则CF＝6﹣x，由切线长定理可得AE＝AD＝2，BD＝BF＝x，CE＝CF＝6﹣x，进而即可求解． 【解答】解：设BF＝x，则CF＝6﹣x， ∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点， ∴AE＝AD＝2，BD＝BF＝x，CE＝CF＝6﹣x， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AD+BF+CF）＝2×（2+x+6﹣x）＝16， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业9】（2026•信都区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝50°，点D是AB边上一点（不与点A，B重合），点I是△BCD的内心，则∠CID＝　115°　 ． 【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；圆周角定理． 【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，再结合三角形内心的性质，求出∠IDC+∠ICD的度数，进而求出∠CID的度数． 【解答】∵AC＝BC，∠A＝50°， ∴∠B＝50°； ∵I是△BCD的内心， ∴DI平分∠BDC，CI平分∠BCD， ∴∠BDC＝2∠IDC，∠BCD＝2∠ICD； ∵∠B+∠BDC+∠BCD＝180°， ∴∠B+2∠IDC+2∠ICD＝180°， ∴50°+2（∠IDC+∠ICD）＝180°， ∴∠IDC+∠ICD＝65°； ∵∠CID+∠IDC+∠ICD＝180°， ∴∠CID＝115°， 故答案为：115°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 【作业10】（2026•西安模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝56°，则∠BOC＝　118　 °． 【考点】三角形的内切圆与内心． 【分析】由∠A＝56°，求得∠ABC+∠ACB＝124°，因为⊙O是△ABC的内切圆，所以BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，则∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，求得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝62°，则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝118°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝56°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣56°＝124°， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）124°＝62°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣62°＝118°， 故答案为：118． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，推导出∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，并且求得∠OBC+∠OCB＝62°是解题的关键． 【作业11】（2025秋•凉州区期末）圆的内接正五边形的中心角的度数为　72　 °． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据圆的内接正五边形的中心角的定义列式计算即可． 【解答】解：圆的内接正五边形的中心角的度数为． 故答案为：72． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，掌握圆的内接正n边形的中心角的度数等于360°除以n是解题的关键． 【作业12】（2026春•广陵区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加的一个条件是AD∥BC（答案不唯一）　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 【考点】平行四边形的判定． 【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可． 【解答】解：添加条件：AD∥BC， 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO， ∵∠AOD＝∠COB，DO＝BO， ∴△DAO≌△BCO（AAS）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：AD∥BC（答案不唯一）． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 【作业13】（2026•天山区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　45°　 ． 【考点】正多边形和圆；正方形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC90°， ∴∠BPC∠BOC＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查正多边形和圆，正方形的性质以及圆周角定理，掌握正方形的性质，圆周角定理是正确解答的关键． 【作业14】（2026•香坊区校级开学）如图，正五边形ABCDE是⊙O的内接多边形，则∠BOC＝　72°　 ． 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】由题意可知∠BOC是边BC所对的中心角，而正五边形每条边所对的中心角都相等，所以∠BOC360°＝72°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵正五边形ABCDE是⊙O的内接多边形， ∴∠BOC是边BC所对的中心角， ∵正五边形每条边所对的中心角都相等， ∴∠BOC360°＝72°， 故答案为：72°． 【点评】此题重点考查正多边形的性质、正多边形的中心角的定义等知识，正确理解和应用“正五边形每条边所对的中心角都相等”这一性质是解题的关键． 【作业15】（2026秋•同步）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，OC，IA．若∠CAI＝35°，求∠OBC的度数． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【分析】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°， ∵OB＝OC， ∴． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【作业16】（2026秋•同步）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．已知⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．求⊙O的半径长． 【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质． 【分析】连接OE、OF，根据勾股定理求出AC，根据切线长定理得到CE+CE＝4，证明四边形OFCE为正方形，根据正方形的性质解答． 【解答】解：如图，连接OE、OF， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12， 由勾股定理得：AC5， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF， ∴CE+CE＝AC+BC﹣AB＝5+12﹣13＝4， 又∠C＝90°， ∴四边形OFCE为矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OFCE为正方形， ∴OE＝CE4＝2， 答：⊙O的半径长为2． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理、正方形的判定和性质是解题的关键． 【作业17】（2026秋•同步）如图，⊙O为△ABC的外接圆，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BI，BD．求证：DB＝DI． 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心． 【分析】由点I为△ABC的内心，得∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，因为⊙O为△ABC的外接圆，连接AI并延长交⊙O于点D，所以∠CBD＝∠CAI，推导出∠BAI＝∠CBD，则∠DIB＝∠ABI+∠BAI＝∠CBI+∠CBD＝∠DBI，即可根据“等角对等边”证明DB＝DI． 【解答】证明：∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI， ∵⊙O为△ABC的外接圆，连接AI并延长交⊙O于点D， ∴∠CBD＝∠CAI， ∴∠BAI＝∠CBD， ∴∠ABI+∠BAI＝∠CBI+∠CBD， ∵∠DIB＝∠ABI+∠BAI，∠DBI＝∠CBI+∠CBD， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴DB＝DI． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定等知识，推导出∠ABI＝∠CBI，∠BAI＝∠CBD，进而证明∠DIB＝∠DBI是解题的关键． 【作业18】（2026秋•同步）一个正多边形的中心角是20°，求这个正多边形的每一个内角的度数． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据中心角的计算方法求出正多边形的边数，再根据正多边形内角和的计算方法即可求出正多边形每一个内角的度数． 【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得， 20°， 解得n＝18， 经检验，n＝18是原方程的解， 即这个正多边形是正十八边形， 所以正十八边形的每一个内角的度数为160°， 答：这个正多边形的每一个内角的度数为160°． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正十八边形的性质是正确解答的关键． 【作业19】（2026秋•同步）如图，有一个亭子，它的底部基座的形状是半径为4m的正六边形，求底部基座的周长和面积（结果保留小数点后一位）． 【考点】正多边形和圆． 【分析】连接OB、OC求出圆心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：连接OB、OC； ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝4m， ∴正六边形ABCDEF的周长＝6×4＝24m． 过O作OG⊥BC于G， ∵△OBC是等边三角形，OB＝4m， ∴∠OBC＝60°， ∴OG＝OB•sin∠OBC＝42（m）， ∴S△OBCBC•OG4×24（m2）， ∴S六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×42441.6（m2）． 【点评】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 【作业20】（2026•娄底一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上（不与A，B重合的一点），过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当D是OA的中点时，AB＝8，求BF的长． 【考点】圆的综合_基本型． 【分析】（1）连接OF，由垂直得∠DBC+∠C＝90°，同圆半径相等推∠OBC＝∠OFB，再由已知条件EF＝EC推∠C＝∠EFC，等量代换得90°的角从而证出EF是⊙O的切线； （2）由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出BF的长． 【解答】（1）证明：连接OF，如图所示： ∵AB⊥CD， ∴∠C+∠BDC＝90°， ∵OF＝OB， ∴∠OFB＝∠OBC， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠C， ∴∠OFB+∠EFC＝90°， ∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°， ∴OE⊥EF， ∵OF为⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：连接AF，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵D是OA的中点， ∴DA＝ODOAAB8＝2， ∴BD＝3OD＝6， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵CD＝AB＝8， ∴， ∵∠FBA＝∠DBC，∠AFB＝∠CDB＝90°， ∴△FBA∽△DBC， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $