15.3.2　等边三角形的性质（第1课时）教学课件2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3　等腰三角形 15.3.2　等边三角形 第1课时　等腰三角形的性质 第十五章 轴对称 笔下勤耕作 胸中有丘壑 1 情境提问 等边三角形与等腰三角形关系密切．那么，怎样的等腰三角形才能变成等边三角形呢？ 日日勤为径 久久自成蹊 2 (1)∠A＝∠B＝∠C＝60° 这个结论，你能证明吗？ 问题列举 探究推进 (2)该从哪里下手证明？这样做有没有依据？ (3)等边三角形是否属于轴对称图形？若是，则共有几条对称轴，各是什么？ (4)综合起来看，等边三角形有哪些性质？ 比一比 等边三角形也可看作特殊的等腰三角形，那么把等腰三角形那些特性移过来用，能得到哪些结论？ 1. 若把着眼点放在边上，等边三角形这三条边之间存在着怎样的数量关系？ A B C 等边三角形里，三条边的长度彼此相等 如图，∵△ABC 为等边三角形， ∴ AB = BC = AC . 写成符号： 等边三角形的性质 2. 换到角来看，等边三角形中三个内角的数量关系又是怎样？ A B C AB = AC AB = BC = AC ∠B =∠C ？ ∵AB = BC，∴∠B =∠C (等边对等角). 同理∠A =∠C，∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 等边三角形的每个角都等于 60°，而且三个角彼此相等. 如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 符号语言： 提炼一 3. 若以“三线合一”为准来比较，等边三角形里的“三线”之间有着怎样的关系？ A B C 在等边三角形里，“三线合一”对每一条边都成立：该边的中线、高与所对角的平分线互相重合. 等边三角形共有三条对称轴. 性质对照一览（等腰三角形 · 等边三角形） 等腰三角形 等边三角形 图形 性质 有两条边相等 两个底角彼此相等 顶角的平分线与底边上的中线、底边上的高互相重合 对称轴有1条 三个角彼此相等，并且都等于60° 无论取哪条边，它上面的中线、高与它所对角的平分线都互相重合 对称轴有3条 三条边彼此相等 继续追问 (1)若∠A＝∠B＝∠C，△ABC 便是等边三角形吗？ (2)若AB＝AC 且∠B＝60°，△ABC 是否也成为等边三角形？ (3)若AB＝AC 且∠A＝60°，△ABC 也是等边三角形吗？ (4)判定等边三角形，一共能归纳出几条途径？ 等边三角形的判定 探一探 想让它成为等边三角形，一个三角形必须满足哪些条件？ 先看边： A B C 三条边彼此相等，这样的三角形就是等边三角形 如图，∵AB = BC = AC， ∴△ABC 是等边三角形. 用符号表示： 再看角： A B C 内角全都相等的三角形，只能是等边三角形 如图，∵∠A =∠B =∠C， ∴△ABC 是等边三角形. 符号写法： 这个结论你能否证明？ 已知：如图，△ABC 中∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 为等边三角形. A B C 证明：∵∠B =∠C ， 同理 AB = BC ， ∴△ABC 是等边三角形. ∴AB = AC (等角对等边). ∴AB = BC = AC. 如果等腰三角形中已有一个角是 60°，它能不能就变成等边三角形？ A B C 60° 如图，当 AB = BC 时，∠B =∠C = 60°. ∴∠A = 180° –∠B –∠C = 60°. ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 当 AC = BC 时，∠A =∠B = (180° – 60°)÷2 = 60° ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 判定方法归纳 A B C 60° 等腰三角形中只要有一个角是 60°，它就是等边三角形. 如图，∵AB = AC，∠C(或∠A，∠B) = 60°， 符号表达： 提炼二 ∴△ABC 是等边三角形. 判定依据对照（等腰三角形 · 等边三角形） 等腰三角形 等边三角形 图形 判定 两边相等的三角形 有两个角彼此相等的三角形 三个角彼此相等的三角形 含一个60°角的等腰三角形 三条边相等的三角形 要点回顾 三边彼此相等的三角形，必定是等边三角形． 它的性质有这几条： (1)等腰三角形具备的性质，它全都具备； (2)三个角彼此相等，每个角都是60° ； (3)它是轴对称图形，对称轴共有3条． 判定等边三角形的几种方法： (1)若一个三角形的三内角彼此相等，它就是等边三角形； (2)含60°角的等腰三角形，一定是等边三角形． 例题讲析 课本P82 例题 例1 如图，△ABC 为等边三角形，DE // BC，它与 AB，AC 的交点依次为 D，E. 求证：△ADE 也是等边三角形. 证明： ∵△ABC 为等边三角形， A B C D E ∴∠A =∠B =∠C . ∵DE // BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 例2　如图，△ABC 与△BDE 同为等边三角形，点E 则在线段AD 上． 求证：BD＋CD＝AD. 证明：∵△ABC 与△BDE 都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD＝ED，∠ABC＝∠EBD. ∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC，即∠ABE＝∠CBD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)， ∴AE＝CD. 又∵BD＝ED， ∴AD＝AE＋ED＝CD＋BD，即BD＋CD＝AD. 例3　如图，等腰三角形ABC 中AB＝AC，AD 平分△ABC 的顶角，点E 位于AC 边延长线上一 点，且CE＝CD，AD＝DE. (1)求证：△ABC 为等边三角形； 解：(1)∵CE＝CD， ∴∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2∠E. ∴∠E＝∠DAC. 又∵AD＝DE， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴BA＝BC. 又∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形； ∴∠E＝∠CDE， (2)无论AD 是△ABC 的中线还是高，该结论都成立． (2)若把AD 换成△ABC 的高，或换成中线（其余条件保持不动），(1)里的结论还成立吗？（无需证明） 当堂小测 1．判断下面给出的四种三角形：①有两个角是60°；②是等腰三角形且其中一个角为60°；③把三个顶点处的外角各取一个，这三个外角全都相等；④一腰上的中线与该腰上的高恰好重合．其 中，属于等边三角形的有 ( ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ D 2．如图，等边三角形ABC 中，AD⊥BC，垂足是D；E 位于线段AD 上，且∠EBC＝45°，那么∠ACE 的度数是多少 ( ) 　A．15° B．30° C．45° D．60° A 3．如图，等边三角形ABC 中，D 是边BC 的中点，那么∠BAD＝　　. 30° 4．如图，△ABC 是等边三角形，在边AB 上取一点D．接着把CD 当作一边，在直线DC 的同旁补出等边三角形CDE（点E 与点A 都在该直线同旁），随后连接AE.求证：AE∥BC. 证明：∵△ABC 与△EDC 都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，EC＝DC， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)， ∴∠DBC＝∠EAC. 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠EAC， ∴AE∥BC. 课堂盘点 它的三个内角彼此相等，每个内角都是60°. 若等腰三角形中已经出现60°的角，这个三角形便是等边三角形. 由此可知，若三角形的三个角全相等，它便是等边三角形. 01 02 03 课本P85　习题15.3的第10、11题； 学生用书上的本课时习题请自行完成 作业内容 $