精品解析：四川成都石室双楠实验学校2026-2027学年 九年级上学期10月学情自测数学试题

成都石室双楠实验学校 九年级（上）数学十月定时练习 A卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，不是成比例线段的是（　　） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，，2 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 5. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个菱形都相似 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 7. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（　　） A. B. C. 20 D. 10 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若，且，则_____． 10. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则k值为______． 11. 一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．（结果保留根号） 13. 如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点，若，，则长为_________． 三、解答题（共48分） 14. （1）解方程：； （2）解方程：． 15. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 16. 如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点，若，，，求的长． 17. 元通塔位于四川崇州市元通镇，塔体高大、宏伟，高八层，耸立江中特别耀眼，特别引人注目．构造精美，独特，外观特别雄伟、壮观，且修建于1000多年以前，文井江、味江、泊江等三条河流在塔下交汇，景观美不胜收，是四川古建筑的标志性景观之一．暑假期间小张同学所在的实践小组到此进行了一次实践活动，欲测量该古塔的高度，测量过程见下表． 主题 元通古塔高度估测 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移22米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米（以上数据均为近似值）． 依据小张实践小组方法所得到的相关数据，请求出元通塔的大致高度． 18. 在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图①，当时，若，求正方形的边长； （3）如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 20. 如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 21. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 22. 如图所示，、、…都是正三角形，点A、、、…在同一条直线上，按图示方式构造的一列阴影三角形中，把顶点中含有的三角形面积记为，含的三角形面积记为，以此类推，若，则______（用含a、n的代数式表示）． 23. 如图所示，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，连接，，在整个运动过程中，的最小值为______  ． 二、解答题（本大题共计3题，共30分） 24. 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 25. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D． （1）如图1，连接BC，求BCD的面积； （2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标． 26. 数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室双楠实验学校 九年级（上）数学十月定时练习 A卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为： 故选：B． 2. 下列各组线段中，不是成比例线段的是（　　） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，，2 【答案】B 【解析】 【分析】只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】解：A、6×2=3×4，成比例线段，故本选项不符合题意； B、4×10≠5×6，不是成比例线段，故本选项符合题意； C、1×=×，成比例线段，故本选项不符合题意； D、2×=×2，成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 4. 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】D 【解析】 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根． ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26． 故选D． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根． 5. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可，掌握三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个菱形都相似 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 7. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（　　） A. B. C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形为矩形是解题关键．结合题意及菱形的性质，证明四边形为矩形，再在中利用勾股定理解得，然后根据矩形的性质“矩形的对角线相等”，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴平行四边形为矩形， ∴． 故选：B． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若，且，则_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是关键．由已知比例关系可得各分子与分母的对应关系，代入所求式子即可化简得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，，， 则， 故． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则k值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义、常数项概念可得，求解即可求得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 11. 一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查直四棱柱侧面积的计算，掌握先由三视图确定底面菱形的边长，再利用侧面积公式计算是解题的关键． 先根据三视图确定直四棱柱的底面菱形的边长，再结合直四棱柱的高，计算侧面积． 【详解】解：由主视图、左视图和俯视图可知，底面菱形的对角线长分别为和， 根据菱形的性质，边长为， 直四棱柱的高为，侧面积为底面周长乘以高，即． 故答案为：80． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，直接利用其建立等式求解即可． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点，若，，则长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）先将一元二次方程变为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：（1）， 变为一般形式为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）， 因式分解得：， 即， ∴或， 解得：，． 15. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）10 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 16. 如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，证明，先证明四边形是平行四边形，结合已知证明四边形是菱形即可； （2）根据菱形的性质，结合已知证明，利用勾股定理，求得，利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，． ． ． ． ， ， 解得． ． ， ． ． ． ． 17. 元通塔位于四川崇州市元通镇，塔体高大、宏伟，高八层，耸立江中特别耀眼，特别引人注目．构造精美，独特，外观特别雄伟、壮观，且修建于1000多年以前，文井江、味江、泊江等三条河流在塔下交汇，景观美不胜收，是四川古建筑的标志性景观之一．暑假期间小张同学所在的实践小组到此进行了一次实践活动，欲测量该古塔的高度，测量过程见下表． 主题 元通古塔高度估测 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移22米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米（以上数据均为近似值）． 依据小张实践小组方法所得到的相关数据，请求出元通塔的大致高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． 由题意得， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：元通塔的高度为米． 18. 在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图①，当时，若，求正方形的边长； （3）如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿折叠，得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，，结合相似三角形的判定即可求证； （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，由（1）中，，可得，则有，由此可求出，在中，运用勾股定理可得的值，由此得到的值，根据即可求解； （3）根据题意可证，可得，，则有，，，，即点是的中点，设，，则，，，在中，由勾股定理可得，由此可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据折叠可得，，， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； 【小问3详解】 解：根据题意，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点，则， 设，，则，，， 在中，， ∴，整理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理求线段长等知识的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 20. 如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 21. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点，且， ∴． 22. 如图所示，、、…都是正三角形，点A、、、…在同一条直线上，按图示方式构造的一列阴影三角形中，把顶点中含有的三角形面积记为，含的三角形面积记为，以此类推，若，则______（用含a、n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】 观察图形可知， 表示  的面积，其中  是线段  与  的交点（规定 ）. 利用  构造相似三角形 ，求出  与  的比值，进而利用面积比求解. 【详解】解：由题意可知， 均为边长为  的正三角形  点  到直线  的距离均为  ，且   设  与  交于点    又 ，且  与  同高（以  为底）  23. 如图所示，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，连接，，在整个运动过程中，的最小值为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】在右侧构造，并截取，使，连接、，可证明，可得，从而得到其最小值为，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：如下图所示，在右侧构造，并截取，使，连接、， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 如下图所示，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ， ， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例找边之间的关系． 二、解答题（本大题共计3题，共30分） 24. 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】（1）该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【小问1详解】 解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 ∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 25. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D． （1）如图1，连接BC，求BCD的面积； （2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）11；（2）E（2，）；（3）（，− ）或（，2）或（−，−2）． 【解析】 【分析】（1）对于直线y＝﹣3x﹣，令x＝0，则y＝−，故点B（0，−），同理可得点D（0，3）、（4，0），△BCD的面积＝×BD×OC，即可求解； （2）证明△EHB≌△RGE（AAS），则RG＝EH，BH＝GE，即可求解； （3）分点P在点Q的下方、点P在点Q的上方两种情况，利用平移的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）对于直线y＝−3x−，令x＝0，则y＝−，故点B（0，−）； 对于y＝−x＋3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即−x＋3＝0， 解得：x＝4，故点D（0，3）、（4，0）， 则BD＝3＋＝ ，OC＝4， △BCD的面积＝×BD×OC＝××4＝11； （2）由题意，∠ABE＝45°，观察图像可知，点E只能直线在AB的右侧，过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H， 设点E（m，−m＋3），点R（n，−3n−）， ∵∠ABE＝45°，故ER＝EB， ∵∠REG＋∠BEH＝90°，∠BEH＋∠EBH＝90°， ∴∠REG＝∠EBH， ∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER， ∴△EHB≌△RGE（AAS）， ∴RG＝EH，BH＝GE， 即m＝−3n−＋m−3，−m＋3＋＝m−n， 解得 ， 故点E（2，）； （3）由（1）知 ，由（2）知 ， ∴ ， ∵点F在y轴上，设 ， ∴ ， ∵ ， ∴△DEF为直角三角形， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∴ ， 设EF所在直线解析式为： ，代入，， ， 解得： ， 故直线EF的表达式为y＝x−， 设点P（a，a−），点Q（s，t）， 点O向右平移2个单位向上平移个单位得到E， 同样点P（Q）向右平移2个单位向上平移个单位得到Q（P）， 当点P在点Q的下方时， 则a＋2＝s且a−＋＝t①， OE＝OP，即②， 联立①②并解得：a＝2或−， 故点Q的坐标为（，− ）（不合题意的值已舍去）； 当点P在点Q的上方时， 同理可得，点Q的坐标为（，2）或（−，−2）． 综上，点Q的坐标为（，− ）或（，2）或（−，−2）． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 26. 数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）延长相交于点M，证明，则，解得，，由勾股定理得到，，，得到，证明，则，进一步得到，则； （3）分两种情况：当点P在C的左边和当点P在B的右边，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长相交于点M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由勾股定理得到，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当点P在C的左边时，如图， 过点P作于点G， ∵， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得， 由勾股定理可得，， ∴ 解得， ∴ 当点P在B的右边时，如图，过点O作于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $