精品解析：四川成都市棕北中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

棕北教育集团2026—2027学年度（上期）学月质量练习九年级数学 A卷（100分） 一、选择题（本题共8个小题，每题4分，共计32分） 1. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 5. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 7. 如图，在中，，D、E分别是、的中点，的平分线交的延长线于点F，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每题4分，共计20分） 9. 已知，则代数式的值为_________． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比．已知这本书的长为，则它的宽为_________． 12. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 三、解答题（本题共5个小题，共计48分） 14. 用适当的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． （2）判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 16. 【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明 说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 17. 已知：中，，F、G为、边上的点，且，． （1）求证：； （2），，，，求的长． 18. 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点． （1）求直线的解析式及点坐标． （2）已知点是轴上一动点，若以点为顶点的三角形与相似，试求点的坐标． （3）若点是直线下方的一点，且点的横，纵坐标乘积为，若的面积为12．求点的坐标． B卷（50分） 一、填空题（本题共5个小题，每题4分，共计20分） 19. 已知，则的值为__________． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值____________ 21. 如图，在中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为_________． 22. 如图，在中，，平分交于点D，过D作交于点E，将沿折叠得到，交于点G．若，则_________． 23. 在梯形中，，，，，，点是四边形内部一动点． （1）如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，若，则点P到对角线的距离为_________． （2）如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是_________． 二、解答题（24题8分，25题10分，26题12分，共计30分） 24. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 25. 完成下列小题． （1）如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． （2）如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； （3）如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明： 【拓展运用】 （3）如图3，连接，设的中点为M．若，直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 棕北教育集团2026—2027学年度（上期）学月质量练习九年级数学 A卷（100分） 一、选择题（本题共8个小题，每题4分，共计32分） 1. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 即， 解得． 2. 已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵四条线段，，和是成比例线段， ∴， ∴， ∴． 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】借助菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，结合勾股定理求边长，进而计算周长． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，且对角线互相垂直平分， ∴两条对角线的一半长分别为3和4， 由勾股定理得，菱形的边长为， ∴菱形的周长为 5. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 先由推出，再根据相似三角形的判定定理，分别分析四个条件是否能使． 【详解】解：因为．所以，即． ①，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ②，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ③，仅这组边成比例，不能结合判定； ④，即，结合，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得． 综上，能使的条件是①②④， 故选：B 7. 如图，在中，，D、E分别是、的中点，的平分线交的延长线于点F，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得出平行关系，结合角平分线的定义证得等腰三角形，从而求出线段长度． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ，且， ． 平分， ， ， ． 是的中点，， ， ． 在的延长线上，， ， ． 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 二、填空题（本题共5个小题，每题4分，共计20分） 9. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式拆分为含的形式，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， 原式． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则”是解答本题的关键． 由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比．已知这本书的长为，则它的宽为_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知书的宽与长的比为黄金分割比，长为，代入黄金分割比的值计算即可得到宽． 【详解】解：书的宽与长之比为黄金分割比，黄金分割比为，长为， 宽． 12. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本题共5个小题，共计48分） 14. 用适当的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】  解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． （2）判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 【答案】（1）① ② （2）是位似图形， 【解析】 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：如图，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点M， ∴点M的坐标为． 16. 【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明 说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 【答案】 【解析】 【分析】过点D作交于点H，交于点G，则，，由题意得到，从而有，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作交于点H，交于点G， ∵，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴旗杆的长度． 17. 已知：中，，F、G为、边上的点，且，． （1）求证：； （2），，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵中，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明． （2）设，，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：设，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，即， 解得∶． 即． 18. 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点． （1）求直线的解析式及点坐标． （2）已知点是轴上一动点，若以点为顶点的三角形与相似，试求点的坐标． （3）若点是直线下方的一点，且点的横，纵坐标乘积为，若的面积为12．求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标的交点，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）把B、C的坐标代入，求出k、b的值，然后令，求出对应的x的值，即可求解； （2）分；两种情况讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可； （3）设，过Q作轴，交直线于M，则，然后根据“的面积为12”构建关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，，， ∵，即， ∴要使与相似，则点P在点A的右侧， 当时， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ∴点P的坐标为； 当时， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， 过Q作轴，交直线于M，则 ∵的面积为12， ∴， 解得，， 当时，； 当时，； ∴点Q的坐标为或． B卷（50分） 一、填空题（本题共5个小题，每题4分，共计20分） 19. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将，变形后得出，再利用完全平方公式得出，再通过整体代入简化计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得， 展开得， 整理得， 将代入得原式． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到，确定，利用一元二次方程根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∵该方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形计算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 21. 如图，在中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为_________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方以及共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设 ∴，， ∵ ∴， 解得 ∴的面积为． 22. 如图，在中，，平分交于点D，过D作交于点E，将沿折叠得到，交于点G．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，再由平行得到求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得 ∴， 则 ∵ ∴ ∴ ∴． 23. 在梯形中，，，，，，点是四边形内部一动点． （1）如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，若，则点P到对角线的距离为_________． （2）如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离； （2）通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为. （2）解：如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 即的取值范围是. 二、解答题（24题8分，25题10分，26题12分，共计30分） 24. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 【答案】（1）商场对商品平均每次每次降价的百分率为 （2）这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元 【解析】 【分析】（1）设商场对商品平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设商场对商品平均每次降价的百分率为， 由题意得： 解得：，（舍去）， ， 答：商场对商品平均每次每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设这天商场在每件150元的基础上降价元， 由题意得：， 解得：， 为了尽快销售完这批商品， ， 答：这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 25. 完成下列小题． （1）如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． （2）如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； （3）如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 【答案】（1） （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形列比例式求解即可； （2）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （3）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，． ∴ ， 即正方形的边长为. 【小问2详解】 解：如图2，排列第一层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即： 解得． 因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即：， 解得． 因为，所以第二层最多排列个；， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； 【小问3详解】 解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图4，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个. 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明： 【拓展运用】 （3）如图3，连接，设的中点为M．若，直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图，连接， 当时，， ， ，，， ，，， 即， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）线段之间的数量关系为： 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，， 是的中点， ∴， ， ∴， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； （3）点M运动的路径长为 【解析】 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，交于点，取的中点，连接，证明，然后确定点的运动轨迹，再确定点的运动路径长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，交于点，取的中点，连接 ∵， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若点重合时，则重合，点在点的位置， ∴点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径即为的长， ∵， ∴ ∵在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， 当点从点运动到点时，此时点运动的路径长为， ∴点运动的路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $