精品解析：江苏省梁丰高级中学2026-2027学年高一上学期数学10月练习试卷

江苏省梁丰高级中学高一数学 10 月练习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组函数，表示同一函数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 5. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 8. 矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 10. 已知关于 的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数 的定义域是，、都有 ，且当时，，且，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，集合，若，则实数的取值范围是________． 13. 若x，y是正实数，，则的最小值为________. 14. 已知函数 ，若关于 的不等式 的解集中有且仅有 2 个整数，则实数的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合 ，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 17. 已知命题：“，使等式成立”是真命题， （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 18. 已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 19. 已知二次函数的最小值为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梁丰高级中学高一数学 10 月练习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组函数，表示同一函数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】同一函数要求定义域和对应关系都相同，逐项比对定义域或对应法则即可． 【解答】A：的定义域是 ，的定义域是，两者不同； B：的定义域是 ，的定义域是，两者不同； C： 的定义域是 ， 的定义域是，两者不同； D：（）的定义域是 ， 的定义域也是 ，且两者的对应法则也相同，故两者相同. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 4. 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ，且 ， 对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 5. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件. 故选：C. 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 8. 矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】引入变量再设参量，根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得的面积的最大值. 【详解】 设，其中，则， 在直角中，由勾股定理得：， 解得：, . 当且仅当，即时等号成立. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； B选项，，求出； C选项，平方，结合B选项，得到，求出C正确； D选项，举出反例即可. 【详解】A选项，正实数，满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由基本不等式得，解得， 当且仅当，时等号成立， 故有最大值，B正确； C选项，， 由B选项知，，故， 当且仅当，时等号成立， 所以，C正确； D选项，若，满足，但，D错误. 故选：ABC 10. 已知关于 的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 的解集是区间 ，， 方程两根为 和，，． ，所以A正确； 不满足，所以B错误； ，不大于，所以C错误； ，不满足，所以D错误． 11. 已知函数 的定义域是，、都有 ，且当时，，且，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【详解】令可求出的值，可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；令，可求出的值，进而可判断C选项；求得，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之可判断D选项. 【解答】对于A选项，令，可得，解得，A选项正确； 对于B选项，任取、且，则，所以， 所以，故函数在上单调递增，B对； 对于C选项，令，则， 所以，C选项错误； 对于D选项，因为，所以， ， 由可得， 因为函数是定义在上的增函数，所以，解得， 故不等式的解集为，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，集合，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据列出不等式求解即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， ，则或， 解得或（舍） 综上：的取值范围是. 13. 若x，y是正实数，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 14. 已知函数 ，若关于 的不等式 的解集中有且仅有 2 个整数，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件得到不等式，通过参变分离得到，画出函数的图象，结合图象分析判断有两个整数解时参数的范围. 【详解】 即, 化简得， 令． 如图所示： 可知，，，，，， 由图知，要使解集中恰有 个整数，即只能取 、，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合 ，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 或 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）由（1）中信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由，得，即，则，解得，即， 当时，，则， 所以. 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，因此； 当时，则，解得， 所以实数的取值范围是或. 16. 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【解析】 【分析】（1）先设月产量为台，写出总成本进而得出利润函数的解析式； （2）分两段求出函数的最大值：当时和当时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可. 【小问1详解】 设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 17. 已知命题：“，使等式成立”是真命题， （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由二次函数的性质计算在区间上的值域即可求解； （2）根据已知条件可得，讨论，，时集合，再根据包含关系列不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由可得， 因为，所以时，， 当时，， 所以， 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 方程的两根分别为，， ①当即时，， 由可得，解得：， ②当即时，， 由可得，解得：， ③当即时，，此时不符合题意， 综上可得：或. 18. 已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）2； （3）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得最值. （2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果. （3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 由都是正数，得，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 19. 已知二次函数的最小值为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知二次函数的对称轴为直线，设，根据求出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据题意得出，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）分、、三种情况讨论，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为二次函数的最小值为，且，则二次函数的对称轴为直线， 设，其中， 因为，解得，则. 【小问2详解】 因为在区间上单调，则，解得. ①若函数在区间上单调递增，则，解得，此时； ②若函数在区间上单调递减，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，即，可得， 当时，可得， 因为函数在上单调递减，故， 此时，解得； 当时，则有，符合题意； 当时，可得， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 此时，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $