精品解析：江苏省梁丰高级中学2024-2025学年高一提前批（春海创优部）上学期12月自主学习检测数学试题

梁丰高中2024-2025学年第一学期12月自主学习检测 数学学科试题卷（春海创优部） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.试卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号以及试卷代号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷上.注意核对自己的个人信息，以免填涂失误. 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后.再选涂其他答案.答非选择题必须写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效. 4.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 2. 对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）． A. B. C. D. 3. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A. 6 B. C. D. 6. 因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A. 甲方案 B. 乙方案 C. 一样 D. 无法确定 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有不止一个选项符合题目的要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10. 下图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 11. 设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 13. 已知集合，或，则______________. 14. 某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为______________. （2）当时，，的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出相应的文字说明以及演算步骤. 15. 已知，. （1）若不等式恒成立，求的最大值； （2）若，求的最小值. 16. 已知集合，非空集合． （1）若，求的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 17. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁丰高中2024-2025学年第一学期12月自主学习检测 数学学科试题卷（春海创优部） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.试卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号以及试卷代号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷上.注意核对自己的个人信息，以免填涂失误. 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后.再选涂其他答案.答非选择题必须写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效. 4.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义，写出否定形式. 【详解】原命题的否定为：，所以C正确. 故选：C. 2. 对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的全集是，，是全集的子集，是的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项． 【详解】解：集合，，的关系如图， 由图形看出，只有是空集． 故选：B． 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解． 3. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：取，满足，但，，不满足，故错误； 对B：取，满足， 但，，不满足，故错误； 对C：因为，又，故可得，故C正确； 对D：若，当时，；当时，， 故若，则，D正确. 故选：CD. 4. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 5. 若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 6. 因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A. 甲方案 B. 乙方案 C. 一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为， 则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：， 因为， 所以，即乙方案更经济． 故选：B． 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，， 当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式， 即 ，解得. 故选：C. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有不止一个选项符合题目的要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解. 【详解】当时，，满足条件， 当时，若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，得， 综上可知，或，只有AC符合条件. 故选：AC 10. 下图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 11. 设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A选项；由可判断B选项；利用可判断C选项；利用可判断D选项. 【详解】对于A选项，，且为半圆的直径，则， 由，可得， 所以，，，， ，由图可知，，即， 当点与点重合时，即当时，等号成立，A选项成立； 对于B选项，连接， 由于为半圆弧的中点，则， 当点与点不重合时，，，， 由勾股定理可得， 此时，，即. 当点与点重合，即当时，，即. 综上所述，，当且仅当时，等号成立，B选项成立； 对于C选项，，， 又，则，所以，， 所以，， 由图可知，，即，C选项不成立； 对于D选项，，可得，可得， 当且仅当点与点重合时，即当时，等号成立，D选项成立. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真， 所以当即时，恒成立，满足题意； 当即时，只需， 解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知集合，或，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】因为或，所以， 又， 所以. 故答案为：. 14. 某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为______________. （2）当时，，的最小值为______________. 【答案】 ①. －3 ②. 【解析】 【分析】（1）根据小明的解法，利用均值不等式求解； （2）转化条件，应用均值不等式求解. 【详解】（1）由知： ， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，知： 当且仅当时，取到最小值. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出相应的文字说明以及演算步骤. 15. 已知，. （1）若不等式恒成立，求的最大值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）12； （2）4. 【解析】 【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答. （2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答. 【小问1详解】 因为，，则， 而，当且仅当，即时取等号， 依题意，不等式恒成立，于是 所以m的最大值为12. 【小问2详解】 若，，，则， 当且仅当，即，时取等号， 于是，而，解得， 所以的最小值为4. 16. 已知集合，非空集合． （1）若，求的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据交集结果且，列不等式求参数范围； （2）由题设集合是集合的真子集，结合，求参数范围. 【小问1详解】 由题意，知， 又，且， 所以或，解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件， 集合是集合的真子集，且， ∴（等号不能同时成立），解得， 综上，的取值范围为． 17. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 18. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】（1） 当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. （2） 当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. （3）集合. 【解析】 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $