精品解析：江苏徐州市第一中学2026-2027学年高一上学期10月考数学试题

高一数学练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合B，再根据交集的运算规则求出，统计其元素个数即可得到结果 【详解】 解方程，可得或，所以， 因为， 所以，共包含2个元素. 2. 已知命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定规则，变换量词并否定结论即可得出结果 【详解】原命题为：，， 按规则否定：量词替换：将改为；取值范围保留：仍为； 结论否定：的否定为， 因此的否定为，. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以原不等式等价于， 因为二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解为或，对应区间为. 4. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素特征判断两集合关系． 【详解】由可知，当，为偶数时， ，此时，与中元素相同， 当，为奇数时，与不相等，故． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差法、特殊值代入法逐一验证各选项即可. 【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，所以，故A错误； 对于B：因为，由，所以，所以，即，故B正确； 对于C：因为，由，所以，所以，即，故C错误； 对于D：取特殊值满足，此时，显然，与选项矛盾，故D错误. 7. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【详解】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 8. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的一元二次不等式的解集为，则关于x的一元二次方程的两个根为，即，，，利用基本不等式求解. 【详解】关于x的一元二次不等式的解集为， 则关于x的一元二次方程的两个根为， 即，，， 则， 当且仅当即时等号成立，故的最小值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 不存在实数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的交并运算、集合包含关系，结合开区间的长度和范围即可求解. 【详解】对于A：当时，，则，故A正确； 对于B：若，则或，即或，所以当时，可以推出，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若，则，即，故不存在实数，使得，故D正确. 10. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据仅有两个整数的条件列出不等式可判断D． 【详解】对于A，由于不等式的解集为或， 则，且和是方程的两个根，故A正确， 由韦达定理得，解得， 对于B，可变为，故， 解得或，故B错误， 对于C，， 当，即时等号成立，所以的最大值为，故C正确， 对于D，不等式可化为，即， 因为，所以， 显然在上述范围中，要使原不等式只有两个整数解， 则只可能是或， 若整数解为，则，此时，故不止这两个整数解，矛盾， 因此整数解为，则，解得，故D正确． 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项根据求解；B选项根据求解；C选项将代入配方求解；D选项利用进行求解. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为； 而， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为； 而， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为； 而，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为4. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用分离参数法将参数与变量分离，根据有解问题转化即可． 【详解】由可得，，因为不等式在上有解， 故，因为，故； 综上，实数a的取值范围是． 13. 已知实数a，b，满足，，则的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法将表示为与的线性组合，结合不等式的基本性质求解取值范围． 【详解】设，其中为常数， 则， 可得：，解得， 即， 又，则， 所以，， 即． 14. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤． 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. 【小问1详解】 由于或，， 故，， ， 【小问2详解】 ∵，∴ 16. 已知，命题，；命题，使得． （1）若p是真命题，求a的最大值； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全称命题为真的约束，求在上的最小值即可得到的最大值； （2）先通过一元二次方程有实根的条件求出为真时的取值范围，再分类讨论真假、假真两种情况，合并解集得到结果． 【小问1详解】 记，由得，， 要使命题，为真命题，只需， 所以a的最大值为1． 【小问2详解】 命题，使得为真命题， 则或， ①当真假时，只需； ②当假真时，只需或，所以； 综上，． 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 18. 已知关于x的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于x的不等式； （3），恒成立，求实数a的范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 因式分解可得：， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，对任意，定义集合：． （1）若，求； （2）若对于任意实数，恒有，求证：对于任意的，都有； （3）已知函数满足以下限定条件：对任意实数且，恒有，若，，，，，求证：． 【答案】（1） （2）任取，． 当时，，故． 当时，，由已知条件，得，即，故． 因此，对于任意，均有． （3）反设． 由，可知，故． 令，，，并记，． 由，得． 设，． 由于，有；由于，有． 于是存在，使得 因为，，可以取正整数，满足 从而，且． 结合、，可得 记此不等式为①． 下面利用题设条件得到与①相反的结论． 把区间分成个小段，把分成个小段，且使全部个小段的长度依次严格递减． 这样的分法可以实现：取充分小的，令 由于，当足够小时，这些长度均为正，且； 前个长度之和为，后个长度之和为． 按上述长度依次取分点，并记． 由于，有，由题设条件得 所以前个增量均小于后个增量，进而这与①矛盾． 因此． 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义列出一元二次不等式；（2）分别讨论和；（3）反设，将两段区间细分为长度递减的小段，利用题设条件比较函数值的增量，得到矛盾． 【小问1详解】 由，得，． 由集合的定义，等价于，即，解得或． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 8. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 不存在实数，使得 10. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是__________． 13. 已知实数a，b，满足，，则的范围是__________． 14. 设，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤． 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知，命题，；命题，使得． （1）若p是真命题，求a的最大值； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围． 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18. 已知关于x的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于x的不等式； （3），恒成立，求实数a的范围． 19. 已知函数的定义域为，对任意，定义集合：． （1）若，求； （2）若对于任意实数，恒有，求证：对于任意的，都有； （3）已知函数满足以下限定条件：对任意实数且，恒有，若，，，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $