甘肃平凉市名校大联盟2027届高三上学期月考(二) 数学试题

2027届名校大联盟·高三月考卷（二）·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C由已知CA={xx<2},故(CwA)UB={xx≤4}.故选C 2.A由题意2x=4×1→x=2,所以b=(2,1),所以a·b=4×2+2×1=10.故选A. 3.B设f(x)的最小正周期为T,由函数f(x)=tan(ox十需)(w>0)的图象的相邻两个对称中心之间的 距离为号，所以号-合，解得T=子，由日=平解得仙=4故选卫 4DG-公-=ksA公+4-子：因为A长(0a):所以A=要，所以S=rhA=号 2bc X1x5-尽.故选D. 24 5.B当角a的终边不在坐标轴上时，-1<sina<1,(-1,1)∈(-受，受)，所以cos(sina)>0,所以只需 sin cos a)<0, 又因为一1<cosa<1,要使sin(cosa)<0,所以只需cosa<0,所以角a的终边在第二象限或第三象限.故 选B. 6.C过点O作OH⊥AB于H,由折叠性质可得OH=OB,AB∥CD,所以∠OBH=若，所 以∠BOD=吾，所以∠BOC-晋，所以劣弧BC的长是×2=，故选C 7.A因为f(x)=lnx十a(x>0),设切点坐标为(，ln1+a)>0),了(x)=是，直线l的 斜率为=寸()=-。，解得：1=e,所以直线1的方程为y一1-a=名(x-c),将点(0,1)代入直线1的 方程得1-1-a=。(0-c),解得a=1.故选A 8.D由y任意性可得f(xy)=f(x)=xf0),当≠0，y≠0时，2=f2,故巴是常函数，所 以当x≠0时，f(x)=cx,其中c为常数，由2f(2)=f(1)+6,得4c=c+6,解得c=2,所以f(x)=2x,所 以f(2027)=2×2027=4054. 9.BC因为|a=|b|=2,|a+b|=2W3,所以|a+b|2=12→a2+2a·b+b2=12→4+2a·b+4=12→a·b =2,故A错误：因为osa:b=1a:中一2灵2=宁，所a,b=子，故B正确：因为a-b1=0-2a·b a·b 2 +b2=4-4十4=4，所以|a-b|=2,所以1a-b|<|a+b|成立，故C正确：因为(a-b)·b=a·b 。=2-4仁一2所以ab在b上的投影向量为：8少·合=号×号-号0，放D错头放选C 10.AB因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0,当x<0时，则-x>0,可得f(x)=一f(-x) =--x)-3=(3-x2)e,故A正确：当x<0时，f(x)=(3-x)e,则广(x)=（-x-2x+3)e= e (x+3)(1-x)e,令f(x)>0,解得-3<x<0;令f(x)<0,解得x<-3;可知f(x)在(-3,0)内单 调递增；在（一∞，一3）内单调递减，所以一3是f(x)的极小值点，故B正确；当x<0时，由选项B可知： f)在（-3,0)内单调递增：在(-0，-3)内单调递减，则(x)≥f(-3)=-急，且当x趋近于- 时，f(x)趋近于0，结合奇函数性质可得函数f(x)的图象，如图所示， 【高三月考卷（二）·数学卷参考答案第1页（共6页）】 -35 e y=f) 6033 由图象可知：当0<m<号时y=f(x)与y=m有3个不同的交点，即西数y=f(x)一m有3个零点，故C x<0 错误：由xf(x)<0可得 、或>0， 由图象可得：一√3<x<0或0<x<√3，所以不等式 1f(x)>0If(x)<0, xf(x)<0的解集为(-3,0)U(0w3),故D错误.故选AB. 11.ABC因为∠PAB=∠PBC,所以∠PAB+∠ABP=∠ABP+∠PBC=∠ABC,而∠PAB+∠ABP+ ∠APB=π，所以∠ABC+∠APB=元，即∠APB=元-∠ABC,所以sin∠APB=sin(π∠ABC)= sin∠ABC,A正确；因为△ABC为等边三角形，∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,所以∠PBA=∠PAC= ∠PCB=号-a,∠APB=∠BPC=∠CPA=三，在△ABP中，由正弦定理得，A” L=AB,在 sn(受-a)sn要 △APC中，由正弦定理得AD-AC m0出香所以（冬以04所以a专ao,面 确：在△ABP中，PB 'snas通(x乙Ac即P AB AC sin a sinABC在△APC中，asnCπBC方，即 知C所品之×品瓷由正孩定理阳器之×名因为P川-PB所以以一生即 PA b PB c PB c B=ac,C正确：由PA=3PB,可得b=3ac,在△ABC中，由余弦定理得os∠ABC=a+c-b= 2ac a+O22a6--a+25a,因为a+c=2,所以cos∠A0=4a-是-号，因为a+c=2≥ 2ac 2ac 2ac ac 2V瓜，所以a≤1，当且仅当a=6=1时等号成立，所以c0s∠ABC=品-号>≥2-号=-号，所以 cos∠ABC的最小值为-合，D错误.故选ABC. 12.- 因coscs+inn=cos(a-B)=号，则cos(2a-29)=2cos2(a-8)-1=2×(号）-1 7 91 13.函数f(x)=2c0s(2x+p)-1的-个零点是，所以f(）=0，os(受十）=，所以由余弦函 数性质可知，受+g=号+2元或号十g=-吾+2，∈Z解得p=一吾+2x或-日+26x,∈Z,所以 l=-若=晋 14.4+⑤ 2 以正方形的对角线AC,BD的交点O为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图.因为正方形ABCD 的边长为2√2，所以A(0,一2)，B(2,0),C(0,2),D(一2,0)，以BC为直径的圆的半径为√2，其圆心为 BC的中点E(1,1).设点P(Ecos9+1w反sn0+1),9∈[-子，3F] 【高三月考卷（二）·数学卷参考答案第2页（共6页）】 则Ai=(2,2),AD=(-2,2),A户=(W2cos9+1,2sin0+3).因为A产=入A方+uAD,A,4∈R,所以 2c0s9+1=2以-2'解得 [A=2(in9+cos9)+1, 4 所以A+24=2 (sin 0+cos 0)+1+ √2sin0+3=2λ+2μ， l以-号(g-w0)+安 号(ng-cas0)+1-3平n9- 4cos9+2=5 知0+g)+么（其巾，osg=s如g=-e。 10 tan = 不纺取一子<g<0,则一受<9叶g<平所以当0叶？=号时，以+红取得最大值 3 2 an(2m-x)sim(5-x）os(受- 15.解：(1)由f(x) ）_-tanx·(-cosx)·sinZ=tanx, c0s(5π-x)cos(号+x)】 cosx·(-sinx) 所以f(a)=tana= 12 ………………………3分 sin a(cossin a)-sin a(cos asin a)tan atan' ×+() 13 …6分 cosa十sina 1+tan'a 1+() 49 (2)由(1)可知，tana= sin cos a ，即sina 而cos2a+sin2a=1,则cos2a十 12cos a =1,即eos。将 又a∈(o,受)，则cosa=4,即sina= 7 7 8分 而B∈(0，)，则a+Be(0,π)， 又os(a+),所以n(a+B)=-os(a+m- 14 10分 sin B=sin [(a+B)-a]=sin (a+B)cos a-cos (a+B)sin a ×9是×=合 14 12分 则晋 13分 16.解：1由图可知：函数f(x)的周期T=2×(晋爱)-子， 又w>0,所以w牙-3。… 2分 又因为f是)=1，即sin(3×是+p)）=1, 则3X8十p-受+2km(k∈Z),即9=是+2km(k∈Z)，…4分 【高三月考卷（二）·数学卷参考答案第3页（共6页）】 由|p<受，可知为=0,9=平，所以fx)=sim(3x+平). 7分 (2)依题意可得：g(x)=fx+晋)十a=sin(3x+3)十a,……9分 4 gx)在区间[-受，]上有三个零点， 即函数y=m(3x十受)与函数y=一a在区间[一受，]上有三个交点，…10分 令1=3x+要∈[-7，受1，即y=sin1与函数y=-a在区间[-平，1上有三个交点， 结合图象可得：sin <-a≤sin(-) 13分 即有号<a<1,实数a的取值范围为[停.1)月】 15分 17.解：(1)因为函数f(x)的值域为R,所以y=x2一mx十2能取到大于0的所有值， 所以△=m2-8≥0，解得m≥2√2或m≤-2√2， 因此实数m的取值范围为(-o∞，一2√2]U[2√瓦，十o∞).………3分 (2)当m=3时，f(x)=1og2(x2-3x+2). 令u(x)=x2-3.x+2>0,得x<1或x>2, 又)=2-3x+2=(-号)-， 当x<1时，u(x)单调递减，当x>2时，u(x)单调递增，………………6分 所以f(x)在(2，+o)上单调递增， 因为题中f(x)在(a,十o∞)上单调递增，所以实数a的取值范围为[2，十∞).…………8分 (3)因为Hx1∈[1,2]，3x2∈[1,2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)mx≤g(x)mx·…9分 因为g-岩}-片-1计己在1.2时单调滋诚 所以g(x）mx=g(1)=3,……… 10分 即x1∈[1,2]，f(x1)≤3，即x∈[1,2]，0<x2-m.x十2≤8成立.…11分 方法一：设t=x2-mx十2，x∈[1,2]，其图象的对称轴为直线x=受 当受<1时，只需 12-m×1+2>0, 解得-1≤m≤2： 12分 22-m×2+2≤8， 12-m×1+2≤8， 当1<罗<2时，只需 22-m×2+2≤8， 解得2<m<2√2； …小…………………… 13分 (受）)°-m×罗+2>0. f12-m×1+2≤8， 当受≥2时，只需2-m×2+2>0, 无解。………… 14分 综上，得-1≤m<2√2，即实数m的取值范围为[-1,2√2).……15分 方法二：1x∈[1,2]，x2-mx+2≤8成立，等价于Vx∈[1,2]m≥成立， 【高三月考卷（二）·数学卷参考答案第4页（共6页）】 所以m≥(） 记)-，5(x∈[1,2])，则a)=-号在[1,2]上单调递增， 所以4(x)m=4(2)=2,5=-1,所以m≥-1， 2 13分 :1,2,x-mr+2>0度立，等价于Vx∈1.21，m<兰成立所以m<(生) x 记e)=生兰(x∈[1,2]》，则e(✉)=x+2≥2（当且仅当x=厄时取等号）， 所以p(x)in=2√2，所以m<2√2， 综上，一1≤m<2√，即实数m的取值范围为[一1,22)，… 15分 18解：1)因为2 sin Asin C_C.C3,则2snA-sinC-b·a·osC sin C BA·BC1 sin C c·a·cosB' 由正弦定理可得2 sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C, 2sin Acos B=cos Bsin C+sin Bcos C, 由两角和的正弦公式，得2 sin Acos B=sin(B十C),…2分 因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,则2 sin Acos B=sinA, 因为在△ABC中，sinA≠0，所以2c0sB=1,即cosB=, 又因为B∈(0，)，所以B=号. ………………………………4分 (2②图为5am=名4csm∠CBA=5,由得血∠CBA=如景-号所以ac=4.…6分 因为△ABC中，6=a2+e2-2acos∠CBA=(a+e)P-2ac-2acX号-(a+c)-3ac 即(46)2=(a十c)2-3X4,得a十c=63.…8分 因为S△BC=S△KD+S△ABD, 即=号BD·a·sin吾+号BD·c·sin晋-号BD·sin(a+c)=号×BDX号X6E, 所以BD= 3 10分 B (3)因为AC=BC,B=号，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=2, 设AF=m,则BF=2-m,PF=m, 所以在△BPF中，由余弦定理cosB=BP+BF-PP-1 2BP·BF 2 设BP=x,0≤x≤2，代入上式得：cosB=亡+(2-m)=m=1 2x·(2-m) 2 整理得m=中44)4)+2-(4-)+吕 ………………14分 4-x 4-x 由于0≤x≤2，故2≤4-x≤4， 【高三月考卷（二）·数学卷参考答案第5页（共6页）】 所以m≥2√4-2)·亮-6=45-6，当且仅当4一=时等号成立，此时x=4一25满足题意， 4-x 4-x 所以AF的最小值为4尽-6.………17分 19.解：1)已知f(x)=1anx-4z=0-4红，x∈(0，受）， cos x 则f(x）=4.…1 cos'x 分 令f(x)=0,即1 c0s-4=0,则1 cos=4, 因为x∈(0，受)，所以=2，即c0asx=合解得x=子. cos x 当0<号时，os>分则o<4,即了()<0， 所以f(x)在(o,号)上单调递减。 当号<受时，0as<7则o3>4,即了()>0， 所以f(x)在（号，受）上单调递增。 所以，f(x)的单调递减区间为(0，号)，单调递增区间为（受，受）】： ……4分 (2)已知f(x)=anx-ax,x∈(0，受)，由f(x)+2sinx>0可得tanx-ax+2sinx>0, 设s(x)=anx-ax+2 sin∈(o,受)，则(x)= 1 cos'x -a+2cos x, 若a>3,则s(0)=3-a<0,故存在∈(0，受)，使得Vx∈(0，x)(x)<0, 故s(x)在(0，x。)上为减函数，故Hx∈(0，xo),总有s(x)<s(0)=0,矛盾； 故a3,………7分 而当a≤3时，tanx-ax+2sinx≥tanx-3x+2sinx, 设u()=ian-3x+2aine(o,号）.则r()=3+2asr=eas+easr+ -3 cos'x >3√cos IXcos xX 1 -3=0, cos'x 故u(x)在(0，受)为增函数，故u(x)>u(0)=0即tanx-3x+2sinx>0, 故tanx-ax十2sinx>0即原不等式成立. 综上，a的取值范围为（一∞，3]. 10分 (3)令F(x)=sinx…tanx-xx∈(0，受)， F'()=2sin xcos xtan x+tan-3x2=2 sin2z+tan2-322...................... 11分 由(2)可知，当a=3时，tanx十2sinx>3x,……………………13分 tanx>(3x-2sin x)2, F'(x)=2 sin2x+tan'x-3x2>2 sin2x+(3x-2sin x)2-3x2=6 sin2x -12xsin x+6x2= 6(sinx-x)2>0. 因为F'(x)>0,所以F(x)在(0，号)上单调递增， 16分 所以F(x)>F(0)=0,即sin2x·tanx>x3.…… 17分 【高三月考卷（二）·数学卷参考答案第6页（共6页）】2027届名校大联盟·高三月考卷（二） 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将弥封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：三角函数及解三角形、平面向量(70%)，滚动前面内容(30%)。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.设集合U={x|x≤6}，A={x2≤x≤6}，B={x0≤x≤4}，则(CA)UB= A.{x|x<4} B.{x|1<x<4} C.{xx≤4} D.{x|1≤x≤4} :2.已知向量a=(4,2),b=(x,1),且a∥b,则a·b= A.10 B.8 C.6 D.4 3.已知函数f(x)=tan(ox+无)(o>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为零，则w= A.2 B.4 C.8 D.12 4.已知△ABC中，a,b,c是角A,B,C所对的边，a2-b2-c2=bc=1,则△ABC的面积为 A号 R号 c D 5.若角a的终边不在坐标轴上，且满足os(sin)<0,则角a为 sin(cos a) A第一象限角或第二象限角 B.第二象限角或第三象限角 C.第三象限角或第四象限角 D.第二象限角或第四象限角 6.把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣 弧BC的长是 0 A C 5元 D.5x 6 【高三月考卷（二）·数学卷第1贞（共4贞）】 湿 7.已知函数f(x)=lnx十a,者过点(0,1)且与曲线y=(x)相的直线的斜率为。，则a= A.1 B.-1 C.2 D.-2 8.已知定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x,y均有∫(xy)=yf(x),且2f(2)= f(1)+6,则f(2027)= A.677 B.1354 C.2027 D.4054 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若向量a,b满足a|=|b=2,a十b|=23,则下列正确的是 A.a·b=-2 B.a与b的夹角为号 C.a-b<a+b D.a-b在b上的投影向量为2b 10,函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，(x)=。3,则下列说法正确的是 A.当x<0时，f(x)=(3-x2)e B.一3是f(x)的极小值点 C.当0<m<总时，函数y=f(x)一m有2个零点 D.不等式xf(x)<0的解集为（一√3，W5) 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点P在△ABC内，且满足∠PAB=∠PBC= ∠PCA=&,称点P为△ABC的布洛卡点，角a为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是 A.sin∠APB=sin∠ABC B,若△ABC为等边三角形，则其布洛卡角a=晋 C.若PA=λPB,则b2=Aac D.若a十c=2,PA=3PB,则cos∠ABC的最小值为号 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知coscs计sinn=号，则cos(2a-29)= 得分 13.已知函数(x)=2cos(2x十9)-1的一个零点是买，则|p的最小值是 得分 14.已知如图所示的爱心由两个半圆和线段AB,AD组成，两个半圆分别以正方形ABCD的边 BC,CD为直径.若正方形ABCD的边长为2W2,点P在BC上，且AP=入A言+uAD,λ，u∈ R,则λ+2μ的最大值为 得分 【高三月考卷（二）·数学卷第2页（共4页）】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分) 得分 n(2r-x)s（经-zjos（- 已知函数f(x)= cos (5x-)cos) (1)求sina(W5cosa+sina)的值； (2)若a∈(0，)pc(o,）,且cos(a+)-费，求B的值. 16.(15分) 得分 已知函数f(x)=sin(ux十p)u>0,p!<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式， (2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移a个单位长度， 得到函数y=g(x)的图象，若g(x)在区间[一受，]上有三个零点， 求实数a的取值范围。 17.(15分) 得分 已知函数f(x)=log2(x2-mx十2). (1)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围。 (2)当m=3时，若f(x)在(a,十∞)上单调递增，求实数a的取值范围. (3设函数g)-艺告若V∈1,2,3e1,2],使得a8✉)成立，求实数m 的取值范围。 18.(17分) 得分 已知△ABC中，a,b,c是角A,B,C所对的边，且2sinA-sinC_CA.C3 sin C BA·BC (1)求角B; (2)若BD是∠CBA的角平分线，△ABC的面积为√，b=46,求BD的长度； (3)若AC=BC=2,在△ABC的边AC,AB上分别取E,F两点，使△AFE沿线段EF折叠 到平面BCE后，顶点A正好落在边BC(设为点P)上，求AF的最小值， 19.(17分) 得分 已知f(x)=tanx-ax,a∈R,x∈(0，) (1)当a=4时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)+2sinx>0,x∈(0，)，求实数a的取值范围； (3)证明：sin2x·tanx>x,xe(0,受） 一"⅓（一）·数学卷第4页（共4页）】 题