精品解析：甘肃省平凉市第一中学2026-2027学年高三第一学期第一次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高三第一学期第一次阶段性考试数学试题 命题人：柳曦 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得或， 因为，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 4. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 5. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 6. 若函数为定义域，上的增函数，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由函数为定义域上的增函数，得到，再去判断函数的函数图像. 【详解】因为对数函数底数，所以在定义域上单调递减， 又函数为定义域上的增函数，所以， 所以在上单调递减， 又函数是偶函数，图像关于y轴对称. 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数函数图像及性质，属于简单题. 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则  有两个零点等价于方程  在  上有两个不同的实数解， 二次函数  开口向上，对称轴为 ，要使其在  上有两个零点，需满足，解得， 因此实数  的取值范围为 . 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可. 【详解】若关于的不等式对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 时，则必有且 解得， 故的范围为， 故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合， 考查选项知满足条件. 故选： 10. 已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 为奇函数 C. 是周期为4的函数 D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】为奇函数，得到， 的图象关于直线对称，则， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，则A正确； 对于C，由，得， 又，则，即， 故，所以，则是周期为的函数，则C正确. 对于BD，因为函数的定义域为， 由得：， 所以函数为偶函数，故D正确，B错误. 11. 已知函数的定义域为，，，，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过赋值法依次求得即可判断A；令并结合选项A，即可判断B；令，得，代入计算即可判断C；先将转化为，再证明为偶函数，从而，解之即可判断D. 【详解】对于A，令，有，所以， 令，有，所以，即，故A错误； 对于B，令，则，即， 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，令，则，即， 则，故C正确； 对于D，不等式等价于， 即． ，且 ， 又，所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增． 因为为偶函数， 所以等价于， 解得，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】由题知. 所以 故答案为：10. 13. 设，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 14. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由和、可以得到，构造函数，则有，可得在是单调递增函数，由的解析式求出的解析式，由单调性，列出关于的不等式组求解. 【详解】，， ，，， ，， ， 设，，，， ，在上是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，，， 的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、所对的边分别为、、． （1）若、、成等比数列，求证：； （2）若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】（1）证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. （2）6 【解析】 【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明； （2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点F，连接，， 因为E是的中点，所以且，因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过中点来证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）先通过线面垂直的判定定理证明平面，，然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过向量法求得面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，的延长线交于一点， 平面，平面，所以平面， 又因为，所以，，两两垂直， 所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算整理得，再根据二次函数性质求最值即可； （2）令，将问题转化为对恒成立，进而分和，结合不等式的性质和基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 【小问2详解】 解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 18. 已知双曲线的离心率为2，其上有一点． （1）求E的方程； （2）直线与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在上． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：过定点． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，再将点代入求解； （2）（ⅰ）根据直线与曲线的两支各有一个交点，联立直线与曲线方程，利用判别式及两根之积异号可求解；（ⅱ）将直线AB与AC的斜率之和表示出来，结合韦达定理，化简求解. 【小问1详解】 由题意可知：则， 又有在曲线上，代入方程：，解得 所以E的方程：. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知直线斜率存在，假设直线： 与曲线方程联立，得 直线与曲线有两个交点 ，化简得 B，C两点分别在双曲线的左、右支， ，，解得 所以直线斜率k的取值范围为. （ⅱ）设 （*） 整理得： 将（*）式代入得： 整理得：，即 解得：或 当时，直线：，恒过定点； 当时，直线：，过定点，与题意矛盾 综上：过定点. 19. 已知：若是开区间上的可导函数，且导函数是上的单调函数，则对任意的，且，关于的方程（）存在唯一解，将这个解记为. （1）求； （2）求证：对任意的，且，有； （3）已知，，若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）设， 则，， 所以， 要证，即证， 即证，即证， 令，则，代入得：， 两边同时除以得，整理得：， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增，， 所以，在上单调递增，，不等式成立， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解； （2）将要证的不等式转化为证，利用导数进行证明即可； （3）同（2）将要证的不等式进行转化，再根据导数进行证明. 【小问1详解】 由题可知，则， 令，解得， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，令，则， 当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增， 由（2）知， 设，则待证不等式等价于， 即需证， 令，则， 所以原不等式等价于，， 设， 则，， 所以，令， 则， 若在区间上单调递增，则时有， 即，于是在上单调递增，， 进而单调递增，，不等式成立， 令，则，令， 则，即，令，则， 在上单调递增，又， 故当时，， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高三第一学期第一次阶段性考试数学试题 命题人：柳曦 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 若函数为定义域，上的增函数，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 为奇函数 C. 是周期为4的函数 D. 为偶函数 11. 已知函数的定义域为，，，，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 13. 设，则的最小值为__________． 14. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、所对的边分别为、、． （1）若、、成等比数列，求证：； （2）若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为2，其上有一点． （1）求E的方程； （2）直线与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在上． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：过定点． 19. 已知：若是开区间上的可导函数，且导函数是上的单调函数，则对任意的，且，关于的方程（）存在唯一解，将这个解记为. （1）求； （2）求证：对任意的，且，有； （3）已知，，若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $