精品解析：广东实验中学越秀学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026学年第一学期10月月考高二数学试题 班级： 学号： 姓名： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据的坐标为，可得长方体的长、宽、高，从而可得出点的坐标. 【详解】由的坐标为，为坐标原点，所以， ， 的坐标为. 故选：A 【点睛】本题考查了写空间直角坐标系中的点，属于基础题. 3. 如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：A 4. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 在平面内 D. 成60°角 【答案】B 【解析】 【分析】 求得，计算求得，由此证得平面. 【详解】依题意，而，所以，而，所以平面. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用空间向量法判断直线和平面的位置关系，属于基础题. 5. 直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立两直线方程，发现交点横坐标恒为，据此可直接排除交点轴左侧A选项，再验证其余选项中斜率、纵截距的大小关系即可确认. 【详解】将直线的方程分别化为斜截式：，， 联立两直线方程求交点：，移项得，因为，解得， 即无论取何值，两条直线的交点横坐标恒为1，即交点一定在轴右侧， 对于选项A：两直线交点在轴左侧，矛盾，所以A错误； 对于选项B：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为正，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，参数正负完全一致，所以B正确； 对于选项C：两直线交点在轴右侧，斜率小于0，即，纵截距为正，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以C错误； 对于选项D：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为负，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以D错误； 6. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理计算即可求解. 【详解】因为向量，，共面，所以可设，其中， 则，解得. 故选：A 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离. 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系， , 则， 则,，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，且面， 则，即，得，故， 所以，， ，则， P到AB的距离为. 故选：C 8. 在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为，，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 由重心性质可得，设， 又， 则，故，解得. 故，故. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知是正方体，以下正确命题有（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 正方体的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，空间向量的数量积的运算，结合正方体的几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由空间向量的运算法则，可得： ，所以A正确； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，所以， 所以向量与所成的角为，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得， 该正方体的体积为，所以D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 11. 如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把放置于同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D. 【详解】在正三棱柱中，取BC的中点O，连接OA， 则，又底面ABC，则， 又，平面， 所以平面，在平面内作， 以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 设，则，， 设，则， 所以，，则. 对于A，，， 要使，则，解得， 所以当时，存在点P，使得，故A不正确； 对于B，，， 设，则， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故B正确； 对于C，将和沿展开在同一平面内，如图， 连接交于点T，可知，当点P与点T重合时取得最小值， 依题意，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理，得， 则，即的最小值为，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：BD. 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 13. 已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以：或. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为1，点为棱的中点．若点是线段上的点，且，则线段的长为__________；若点是正方体的表面上的动点，且，则线段的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，， 设，所以，， 因为，所以，解得， 所以，所以，所以； 取的中点，的中点，连接、、、、， 因为，，所以，所以、、、四点共面， 又，，， 所以，，即，， 又，平面，所以平面， 因为点是正方体的表面上的动点，且，所以在四边形的边上(除B点外)， 若点在上，设，， 则，所以，当时取最小值； 当点在上，设，， 则，所以，当时取最小值； 当点在上，设，， 则，所以，当时取最小值； 若点在上，设，， 则，所以，当时取最小值； 因为，所以，即线段的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：，. （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 【答案】（1）或0； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. 【小问1详解】 由题意得：，解得：或0， 经检验，均满足要求，所以或0； 【小问2详解】 将点代入中，，解得：， 因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得， 此时直线l为； 当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得， 故此时直线l为； 综上：直线l的方程为或. 16. 如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量的加减法及数乘运算求解； （2）应用空间向量的数量积公式结合数量积运算律计算求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，，，，， 所以， ； 17. 已知，，，. （1）若直线与平行，求的值； （2）若为直角三角形，求的值. 【答案】（1） （2）或12或 【解析】 【分析】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【小问1详解】 依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. 【小问2详解】 若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 18. 已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． （1）证明：； （2）已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面， 故． （2）（ⅰ）； （ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得结果； （2）建系标点，（ⅰ）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （ⅱ）设，，根据垂直关系列式求，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为， 则，，，，，， 故，， 设为平面的法向量，则， 令，则， 可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则； （ⅱ）由题意， 设，， 故，， 设，，则， 而，， 若平面，则， 解得， 故当重合，点的坐标为时， 平面，此时． 19. 在三棱锥中，，，，． （1）是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． （2）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．试计算，并说明这一运算的几何意义． （3）在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 【答案】（1）. （2），是垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）. （3），为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高，三棱锥的体积为. 【解析】 【分析】（1）利用空间中点坐标公式求出的坐标，从而得到向量与的坐标，代入空间向量夹角公式求出余弦值，最后取绝对值转化为异面直线所成角的余弦值； （2）直接套用题目给出的“二阶行列式”和“向量积”的新定义，计算出的坐标，将其除以自身的模长进行单位化得到，其几何意义是垂直于平面的单位法向量； （3）利用向量数量积的几何意义（投影），通过求出点到平面的距离（即三棱锥的高），同时，利用第（2）问提供的向量积性质证明即为以为邻边的平行四边形面积，由此求得底面积，最后代入体积公式求得三棱锥体积. 【小问1详解】 由题意可知，，，， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由题可得，， 所以， ， 所以， 又，，所以，．又， 所以分别垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）． 【小问3详解】 由题意可知，则， 因为，所以是在方向上的射影， 因为，，，，平面，所以为平面的一个法向量， 所以为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高． 设，， 则． 因为，， ， ， 所以． 因为，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期10月月考高二数学试题 班级： 学号： 姓名： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 在平面内 D. 成60°角 5. 直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知是正方体，以下正确命题有（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 正方体的体积为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 11. 如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为______． 13. 已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为__________． 14. 已知正方体的棱长为1，点为棱的中点．若点是线段上的点，且，则线段的长为__________；若点是正方体的表面上的动点，且，则线段的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：，. （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 16. 如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，，，求. 17. 已知，，，. （1）若直线与平行，求的值； （2）若为直角三角形，求的值. 18. 已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． （1）证明：； （2）已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在三棱锥中，，，，． （1）是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． （2）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．试计算，并说明这一运算的几何意义． （3）在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $