广东省广州市铁一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级10月月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若为复数， ，则（　　） A． B． C． D． 2．已知直线与直线间的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 3．已知函数，若，则的值是（     ）． A． B． C．或 D．或 4．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 5．设函数，（，，，），若对均成立，则下列结论中一定成立的是（     ） A．，总有 B．，总有 C．，总有 D．，总有 6．已知在中，顶点，，若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形，当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（   ） A．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 C．抛一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 10．已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直 B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是 11．已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ） A．若取得最小值，则 B．若，则平面 C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D．直线到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设是关于的方程的解，则________. 13．已知点，点，则点到直线的距离为________. 14．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为， 则的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）某校园文创社团对高二进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 16．（本小题15分）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题15分）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程. 18．（本小题17分）如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19．（本小题17分）如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．    (1)是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G位置，并证明，若不存在，说明理由； (2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)（ⅰ）若直线与平面所成角为，求的最大值； （ⅱ）求三棱锥的外接球半径的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级10月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C D C A B C ACD ABD BCD 1．A【详解】两边同乘消去分母得，展开得，移项合并得即则两边同时除以得.将. 2．D【详解】由题直线，则两直线距离为或6. 3．C【详解】因为， 若，则，可得，则，所以； 若，则，可得，解得（舍去）或； 综上所述：的值是2或0. 4．D【详解】设，则，， ，， ， ，，， ，则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 5．C【详解】因为，所以，所以直线为函数的对称轴，故C成立； 由三角函数的性质可得不为函数的对称中心，故D不恒成立； 若，总有，即恒成立， 所以恒成立，只能是，A不恒成立； 若，总有，即恒成立，所以恒成立，只能是，B不恒成立. 6． A【详解】直线的方程为，即.由中点 D（）及中线的斜率可得中线AD的方程为，所以.所以到直线的距离为，而，所以. 故选：A 7．B【详解】当三棱锥的体积取得最大值时，二面角是直角，如图，取的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，为， 若为与的中心，且，连接， 则有，且点是三棱锥的外接球的球心， 因为棱长都是2，所以，所以在中，，那么外接球的表面积是.故选：B 8．C【详解】可化为①，要使与两坐标轴能围成三角形，则且，由①令得；令得，依题意，，所以或,所以或，设，则或，则或，解得或，即或，即或，所以这样的直线有条.故选：C 9．ACD【详解】对于A，任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确， 对于B，将数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故分位数为，故B错误， 对于C，由题意得， 得到，故C正确， 对于D，数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为， 方差为，故D正确.故选：ACD 10．ABD【详解】由于，所以与互相垂直，故不论为何值时，与都互相垂直；A正确； 直线：，当时，，所以恒过点，：，当时，，所以恒过点，故B正确； 设直线：上任意一点，则点P关于直线的对称点为，将点代入直线，可得：，与在直线：上矛盾，故C错误； 联立方程组：，解得：故M点坐标为，则 ，则的最大值是，D正确.故选：ABD 11．BCD【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，则，，，因为点，分别为和的重心，所以点的坐标为，点的坐标为，所以 设，则 ，所以，所以，，对于Ａ：因为，，所以，当时，即，，取得最小值，故A错误； 对于B：若，则，所以， 因为，，设平面的一个法向量为， 则，取，则，因为，所以平面，即平面，故B正确； 对于C：若平面，则 ，即，，即， 设平面的一个法向量为，因为，， 则，取，则，因为，所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，又因为点为等边三角形的重心，所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，设三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，所以，设平面的一个法向量为，因为，，所以，取，则，因为，且直线平面，所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，故D正确，故选：BCD． 12．【详解】由题意可知，，解得，由韦达定理，， 则，解得，符合题意，则.故答案为： 13．【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 14．【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以 ①.当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，  的几何意义为 正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：.故答案为：. 15．(1)第一组频率为0.23，平均数为41.3；(2)；(3)总平均数，总方差． 【详解】（1）由频率分布直方图性质可得，解得． 故. （2）第四组人数为，第五组人数为，人数比． 因为分层抽样抽取6人，故第四组抽取4人，第五组抽取2人． 从名学生中任意取两人，不同的取法有种，两名学生来自不同的组的取法有种， 故这2名学生来自不同组的概率为. （3），，；，，，故， 又. 16．【详解】（1）在直三棱柱中，平面，且，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 易知平面的一个法向量为， 则，故， 平面，故平面. (2)，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1)或(2)或(3) 【详解】（1）因为，所以，解得或. （2）因为点在直线上，所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为，所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得，此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. （3）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为，所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 18．(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，且，，所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. （2）因为，，为的角平分线，所以，设，则. 而 ，将上式两端平方可得，所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得，所以，，而，则.所以. （3）设，，，由，则得，整理得，所以．则. 因为为锐角三角形，所以有，解得，令，则在上单调递增，且，，所以． 19．(1)(1)存在一点G，当点G为的中点，使得面， 连接，如图所示：   ∵点分别是的中点，，同理：， 又平面，所以，即 同理可证：，又因为∴面. （2）取的中点，连接，，由题意可知，平面，且， 是直线与平面所成的角，即，   在中，， ∴在中，， 又 ， ． （3）（ⅰ）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，   则，，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则 若直线与平面所成角为，则 当且仅当，即，时，等号成立. （ⅱ）因为，， 所以，即， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为， 设，，则的坐标为， 则，即， 所以，设，则，则， 而，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以， 三棱锥的外接球的半径 ， 因为，所以，所以， 三棱锥的外接球半径的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $