精品解析：吉林省长春市文理高中2026-2027学年高一上学期第一学程考试数学试题

长春市文理高中2026-2027学年度（上）高一年级 第一学程考试数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项正确. 1. 全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 4. 图中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组函数中，与不相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 设，若函数，当时，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 7. 已知集合，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. ±1 8. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多个正确选项.全对得6分，部分选对且无错选得3分，错选或不选得0分. 9. 已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若实数，，满足，则 C. 若，则函数的最小值为 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 不等式的解集是R 三、填空题本题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 满足的集合A共有_______个 14. 已知实数，满足关系：，.则的取值范围是__________. 四、解答题本题共5小题，共77分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的解析式为. （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值； （3）解不等式. 16. 已知集合，． （1）时，求及； （2）若时，求实数a的取值范围． 17. 已知，． （1）若p为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 19. 对于四个正数x，y，z，w，如果，那么称是的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，试求的“下位序列”； （2）设a，b，c，d均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正数满足：，都有是的“下位序列”，求的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市文理高中2026-2027学年度（上）高一年级 第一学程考试数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项正确. 1. 全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集的运算公式进行计算即可. 【详解】因为，，，， 所以， 所以. 故选：B 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数， . 4. 图中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与之对应．从图像上看，若作垂直于轴的直线，该直线与函数的图像至多只能有一个交点． 对于A选项，图像为圆，当取圆内的值时，对应两个值，不满足函数的定义； 对于B选项，图像为开口向右的抛物线型曲线，当时，对应两个值，不满足函数的定义； 对于C选项，当时，图像上有两个点，即对应两个值，不满足函数的定义； 对于D选项，对于定义域内的任意，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义． 5. 下列四组函数中，与不相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域进行判断即可. 【详解】对A：因为，且两个函数定义域相同，所以与表示相同的函数； 对B：因为两个函数只是表示自变量的字母不同，函数的定义域，对应关系都一样，所以它们表示相同的函数； 对C：因为，所以它们表示相同的函数； 对D：由或，所以函数的定义域为， 由，所以的定义域为：，所以两个函数定义域不同，所以与表示不同的函数. 故选：D 6. 设，若函数，当时，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数在上的单调递减性，结合定义域与值域的对应关系列方程求解. 【详解】反比例函数的比例系数为，因此在区间上单调递减， 已知，当时，函数最大值在左端点处取得，最小值在右端点处取得，即，， 由，得， 解得，符合的条件， 因此. 7. 已知集合，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. ±1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合相等的定义及集合元素的互异性求出的值，再代入计算幂次即可. 【详解】已知，由集合相等的定义可知两集合的元素完全相同，且集合元素满足互异性，则， 两集合均含元素，接下来分两种情况讨论： ① 若，解得（已舍去），此时，则中，故； ② 若，此时，则中，故； 综上，，因此 8. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2. 故选：C. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多个正确选项.全对得6分，部分选对且无错选得3分，错选或不选得0分. 9. 已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】设一次函数，已知 ，解得：，， 所以. A正确，把代入解析式，得，B正确，把代入解析式，得，C正确，，D错误. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若实数，，满足，则 C. 若，则函数的最小值为 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】解一元二次不等式可判断A;根据不等式的性质可判断B;利用基本不等式结合函数单调性可判断C;根据一元二次不等式恒成立求得参数的取值范围可判断D. 【详解】不等式即，解集为或，A错误； 实数，，满足，则，故，B正确； ，，函数， 但此时，即，故等号取不到， 令，则在上为单调增函数，则， 即函数的最小值为，C错误； ，当时，恒成立， 当时，恒成立，需满足，解得， 综合可得k的取值范围是，D错误， 故选： 11. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 不等式的解集是R 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数的关系，即可逐项判断正误. 【详解】解：若不等式的解集是，则方程的两根为，且，故A正确； 所以，则，故B正确； 所以，故C错误； 不等式为，又，所以不等式为，该不等式解集为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题本题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域需满足不等式，得且， 所以函数的定义域为. 13. 满足的集合A共有_______个 【答案】30 【解析】 【详解】已知， 则，，，且集合A中至少存在一个元素不属于， 由可知， 集合A的所有元素均属于，且， 因此集合A可以表示为， 其中集合是集合的子集，且满足，， 因为集合共有个子集，去掉不符合要求的空集和全集， 故符合要求的集合的个数是， 所以满足条件的集合A共有30个 14. 已知实数，满足关系：，.则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法把用与表示，再由不等式的性质得答案. 【详解】设， 则，解得，， ， 由，， 得，， 所以，即， 的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的解析式为. （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值； （3）解不等式. 【答案】（1） 最大值为4 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）首先画出图象，根据图象求最值； （2）从里层往外层求函数值； （3）分段解不等式. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为. 【小问2详解】 ，，， 所以； 【小问3详解】 当时，，得，所以， 当时，，得，所以， 当时，，得，所以 综上可知，的解集为. 16. 已知集合，． （1）时，求及； （2）若时，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可； （2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解． 【小问1详解】 ∵由，得 由题可知 ∴或 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ 分两种情况考虑： 时，，解得： 时，则，解得： 所以a的取值范围为． 17. 已知，． （1）若p为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）[6，+）. 【解析】 【分析】（1）解不等式即可； (2) ，由于p是q成立的充分不必要条件，故B,求解即可. 【小问1详解】 解：因为为真，解不等式，即，解得， 所以x的取值范围为； 【小问2详解】 记， 由于p是q成立的充分不必要条件， 故B, 又因为，由，解得， ∴， ∴（两等号不同时成立），解得． 所以的范围为[6，+）. 18. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元 【解析】 【分析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可； （2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 所以； 【小问2详解】 当时，. 当时，取得最大值，且最大值为950. 当时， 当且仅当时，等号成立. 因为， 所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元. 19. 对于四个正数x，y，z，w，如果，那么称是的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，试求的“下位序列”； （2）设a，b，c，d均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正数满足：，都有是的“下位序列”，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2），证明如下： a，b，c，d均为正数，且是的“下位序列”，则有， 由，得； 由，得， 所以. （3）最大值为3，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据“下位序列”的概念直接判断； （2）利用作差法，结合“下位序列”的概念比较大小； （3）根据“下位序列”的概念可得，则有，利用二次函数的性质求的最大值和最小值. 【小问1详解】 对于2，3，7，11，由，得的“下位序列”为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为正数，时，有， ，都有是的“下位序列”，则有， 所以，解得 二次函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以的最大值为3，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $