吉林省长春市第二中学2026-2027学年高一上学期第一学程考试数学试题

2026—2027学年度高一年级上学期第一学程考试数学科试题 命题人：高一年级数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则 A． B． C． D． 2．函数的定义域为 A． B． C． D． 3．下列四组函数中，其中表示同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列函数中，最小值是的是 A． B． C． D． 5．若不等式的解集是，则，，的值可能为 A．1，4，3 B．-1，4，-3 C．-1，-4，-3 D．1，-4，3 6．已知实数，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 7．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定．假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的 A．第一种方式购买物品的单价为 B．第二种方式购买物品的单价为 C．第一种方式购买物品所用单价更低 D．第二种方式购买物品所用单价更低 8．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，．那么不等式成立的充分不必要条件是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，则下列结论正确的为 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．对于集合，，我们把集合叫做集合与集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 11．下列说法中正确的为 A．若函数，则 B．若不等式的解集为，则的取值范围为 C．二次函数的零点为和 D．“”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，若，则实数__________． 13．若，，且，则的取值范围__________． 14．已知，均为正数，且，，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知命题：，为真命题，其中． （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 17．（15分）在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． （1）求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： （2）若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： （3）若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 18．（17分）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）若，解关于的不等式． 19．（17分）定义集合，，，的长度均为，其中； （1）求不等式解集的长度； （2）求集合的长度的最小值； （3）若关于的不等式：的解集为，求不等式解集的长度的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学第一学程考试——解析 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．ACD 10．AB 11．AD 12．6 13． 14． 15．【答案】（1） （2） 【详解】 （1）由，得，解得，所以， （2分） 当时，， （3分） 所以 （5分） （2）显然恒成立，则， （6分） 若，需或， （9分） 解得或． （12分） 综上，实数的取值范围是． （13分） 16．【答案】（1） （2） 【详解】 （1）因为，命题：，为真命题， 等价于一元二次方程无实根， （1分） 所以， （3分） 解得． （5分） 故实数的取值集合 （6分） （2）由，得，即． （8分） 因为，所以． （9分） 当时，，解得； （11分） 当时，，解得． （14分） 综上所述，实数的取值集合为． （15分） 17．【答案】（1）（）， （2） （3） 【详解】（1）排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度： （） （2分）（不写范围不扣分，写给分） 排球回到击出点高度时，，即，解得（击出瞬间，舍去）或所以所需时间为 （4分） （2）球在距地面以上，即，整理得 （6分） （8分） 所以停留时间为． （9分） （3）由得即 （10分） 设关于的方程的两根为， 对应方程的判别式为， （11分） 距地面以上停留时间： （13分） 则， （14分） 所以的最大值为 （15分） 18．【答案】（1） （2） （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为． 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立 故对一切实数恒成立， （1分） 当时，得，不满足题意； （2分） 当时，则需满足，解得， （4分） 综上所述，． （5分） （2）由（1）可知，则 则 （8分） 当且仅当即时，等号成立． （9分） 故的最小值为4． （10分） （3）由，可得， （11分） ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为 ⑤当时，，不等式即为，解集为 （16分） 综上可得，（）的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （17分） 19．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）由，得， （1分） 因为，所以， （2分） 即， （3分） 则不等式解集的长度为． （4分） （2）集合的长度， （6分） 因为，所以，则， （8分） 当且仅当，即时，等号成立， （9分） 故的最小值为． （10分） （3）由，得， （11分） 由题知关于的方程的两根为和， 则，， （13分） 则， （14分） 由，得，即， 因为，所以， （16分） 则，当且仅当时，等号成立 所以，则， 所以不等式解集的长度的取值范围为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $