精品解析：江苏省苏州市昆山市巴城高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题

巴城高级中学2026-2027学年第一学期第1次阶段性测试 数学卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（5×8=40） 1. 已知等比数列中，，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 2. 已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 数列中，，，则（ ）． A. B. 28 C. D. 14 5. 若点在直线上的垂足为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最小项 D. 若，则的最小值为4053 二、多选题（6×3=18） 9. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 10. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 11. 如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（5×3=15） 12. 若等比数列的各项均为正数，且，则____. 13. 直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 14. 在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 四、解答题（13+15+15+17+17=77） 15. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前10项和. 16. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 17. 设数列满足 . （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 18. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 19. 已知数列对任意正整数满足. （1）求的通项公式； （2）记为的前项和. （i）的所有项构成了集合的所有项构成了集合，证明：； （ii）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴城高级中学2026-2027学年第一学期第1次阶段性测试 数学卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（5×8=40） 1. 已知等比数列中，，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】数列为等比数列，，， ， 则. 2. 已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列的基本量运算求出公差，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干已知的递推公式，结合累加法，即可求出的值. 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 4. 数列中，，，则（ ）． A. B. 28 C. D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 得． 5. 若点在直线上的垂足为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合直线垂直列式求解即可. 【详解】由题意得，解得，所以. 故选：B 6. 已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 7. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设正数等比数列的公比为， 由等比数列通项公式： ，已知， ， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当时取等号（取得最小值）， 解方程：，，舍去负根， 再利用等比数列性质，， ，. 8. 已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最小项 D. 若，则的最小值为4053 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误． 【详解】已知等比数列，，， 说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号，则，故A错误； 结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， ，故B错误； 是数列中的最大项，故C错误； ，， 又，则， 所以若，则的最小值为4053，故D正确． 二、多选题（6×3=18） 9. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据前项和的大小关系推导得，再结合等差数列性质逐一判断选项. 【详解】选项A，由题意得，，所以公差，A错误； 选项B，由可知为递减数列，由A得，故时最大，B正确； 选项C，因为为递减数列且，所以， 由得，所以 ，， 因为，所以，即，C正确； 选项D，， 所以使得成立的最小自然数，D错误. 10. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 11. 如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据爬楼梯的规则可计算出，并推出，用上述递推关系计算，最后可用数学归纳法证明选项D 【详解】对于选项A，爬上第个台阶的方法有： 走次个台阶，共个方法； 走次个台阶，走次个台阶，共个方法. 所以； 对于选项C，爬上第个台阶的方法有两类： 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 所以； 对于选项B，； 对于选项D，当时，，，所以成立， 假设当时，成立， 则当时，有， 所以成立，其中 三、填空题（5×3=15） 12. 若等比数列的各项均为正数，且，则____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用等比数列的性质结合对数运算性质，将所求对数和转化为关于的表达式求解. 【详解】首先根据对数的运算性质：同底对数相加等于真数乘积的对数，可得： ，其中， 根据等比数列的性质得：， 因此， 故. 13. 直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 14. 在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3377 【解析】 【详解】由题可知，即，， 可知，可得， 所以， ， ， 所以. 四、解答题（13+15+15+17+17=77） 15. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 16. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. 【小问2详解】 略 17. 设数列满足 . （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）由题可知， 两边同时除以得：，且， 故是以1为首项，2为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的定义，利用构造法可证明数列为等差数列； （2）结合等比数列求和公式，利用分组求和及错位相减法可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）易知， 前项和， 令， 故， 两式相减得 ， 则， 所以. 18. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【小问1详解】 数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 ，故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 19. 已知数列对任意正整数满足. （1）求的通项公式； （2）记为的前项和. （i）的所有项构成了集合的所有项构成了集合，证明：； （ii）当时，证明：. 【答案】（1） （2） （i）， ， 对任意，与必一奇一偶， 故为偶数，即，因此， （ii）当：, , 于是： 计算部分和：， ， 相减得： 代入得：，得证. 【解析】 【分析】（1）由递推关系推出数列为等差数列，求得通项； （2）（i）由前项和公式得，利用与的奇偶性证明； （ii）对不等式通项进行裂项处理并求和，利用放缩完成证明. 【小问1详解】 由，令： ， 再令：， 故是首项为、公差为的等差数列： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $