精品解析：北京市海淀区北京十一晋元中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

初三数学十月诊断 一、选择题（共8小题，每题2分） 1. 数学世界奇妙无穷，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩A处，提起提纽B，在秤杆上移动金属秤锤C（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤C所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用m（单位：）表示待测物的质量，l（单位：）表示秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离，则水平距离l与待测物质量m之间的关系如图2所示．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离越小 B. 当待测物的质量为时，测得的距离l为 C. 若秤锤C在水平距离l为的位置，则秤杆在此处的刻度应为 D. 若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为 6. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题2分） 9. 函数的自变量x的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，则______（填“＞”或“＜”）． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 12. 如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 13. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是___________． 14. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 16. 下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序) 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 A B C D E F G H I J 变化情况 ↑ 一 ↓ 一 ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ 一 三．解答题（17题4分，18-23题每题5分，24题7分，25-26题6分，27题7分，28题8分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径． 20. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值方程总有两个实数根； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 22. 如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，．求的长． 23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 24. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形，则称图形为图形的“变换图形” （1）已知点，，图形为线段． ①当直线为轴时，图形的“变换图形”为，则以下说法正确的是___________； A．图形与图形关于原点中心对称 B．图形与图形关于轴对称 C．图形与图形关于直线对称 D．图形与图形关于直线对称 ②当直线为时，若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知正方形的顶点坐标分别为，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，直线由直线绕点逆时针旋转得到．若线段的“变换图形”与正方形有公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学十月诊断 一、选择题（共8小题，每题2分） 1. 数学世界奇妙无穷，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得． 【详解】∵x2+6x=4， ∴x2+6x+9=4+9，即（x+3）2=13， 故选C． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 5. 杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩A处，提起提纽B，在秤杆上移动金属秤锤C（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤C所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用m（单位：）表示待测物的质量，l（单位：）表示秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离，则水平距离l与待测物质量m之间的关系如图2所示．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离越小 B. 当待测物的质量为时，测得的距离l为 C. 若秤锤C在水平距离l为的位置，则秤杆在此处的刻度应为 D. 若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为 【答案】D 【解析】 【分析】由杠杆原理知l与m成正比例，先求出解析式，再依次代入检验四个选项，只有D符合计算结果． 【详解】解：由题意得l与m成正比例，设， 把代入得，解得， 故，即， A、待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离越大，说法错误； B、当待测物的质量为时，测得的距离l为，不是，说法错误； C、若秤锤C在水平距离l为的位置，则秤杆在此处的刻度应为，不是，说法错误； D、若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为，说法正确． 6. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 8. 如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，根据图1和图2可设，，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：由图1可知，y是x的一次函数，则可设， 由图2可知，z是y的正比例函数，则可设， ∴， ∵， ∴符合题意的图象只有C中的函数图象， 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题2分） 9. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】该函数为分式，只需保证分母不等于0即可求出自变量的取值范围． 【详解】解：∵分式的分母不能为0， ∴， 解得， ∴函数的自变量x的取值范围是． 10. 在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，则______（填“＞”或“＜”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k=3>0，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k=3>0， ∴y随x的增大而减小， ∵<， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】（﹣3，﹣4） 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可. 【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案是：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 12. 如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形的面积为：． 故答案为：24． 13. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【解析】 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，中点坐标公式，矩形面积的坐标表示，熟练掌握相关知识点和坐标代入法是解题的关键． 先设的坐标为，根据为的中点，表示出的坐标，代入反比例函数的表达式中可得，根据点的坐标可得出矩形的长和宽，进而表示出矩形的面积为，即可得解． 【详解】解：设矩形顶点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为， 对角线与反比例函数的图像相交于点， 将点代入函数得：， 化简得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 16. 下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序) 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 A B C D E F G H I J 变化情况 ↑ 一 ↓ 一 ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ 一 【答案】 ①. C ②. E、H、I或H、E、I． (二者之一即可) 【解析】 【分析】①C地名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C； ② F地名次下降，上一年度F地排第五，G地名次上升，上一年度G地排第九，E地本年度排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可． 【详解】解：①∵A地名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B地名次无变化， ∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名； 同理，C地名次下降，只能是第一名下降而来的； ∴上一年度排名第1的区县是C，上一年度排名前四名依次是； ②F地名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F地排第五， 同理，G地名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G地排第九， ∵E地本年度排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位， ∴E地上一年度可能是排第六或者第七 (i)若E地上一年度是排第六，即E地和F地的排名交换， ∴H地上一年度是排第七，I地上一年度是排第八， ∴上一年度排名从前往后依次是：； (ii)若E地上一年度是排第七， ∵H地本年度排第八，名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八， ∴H地上一年度是排第六，I地上一年度是排第八 ∴上一年度排名从前往后依次是：； ∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是或． 故答案为： C；或 (二者之一即可)． 【点睛】本地考查组合排列问题，根据数据特点分析第一个下降和最后一个上升和分类讨论是解题的关键．本题建议在表格下方增加一行“上一年度排名”，然后边推理边填空可以提高速度． 三．解答题（17题4分，18-23题每题5分，24题7分，25-26题6分，27题7分，28题8分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原方程移项得， 因式分解得， 可得或， 解得,； 【小问2详解】 解：，即 解得． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 19. 如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，设的半径为r，则．由垂径定理可得，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， 设的半径为r， ∵， ∴． ∵是的直径，弦于点E，， ∴，． ∵在中，，且， ∴． 解得． 即的半径为． 20. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）它的顶点坐标为； 图象如图所示： ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象略； 【小问3详解】 解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值方程总有两个实数根； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式即可证明； （2）由因式分解结果可知根为3和，根据条件一个根大于1（ 3 始终满足），另一个根小于0，直接解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程， 因式分解为， 解得：或， ∵，满足一个根大于1， ∴只需另一个根，即． 故的取值范围为． 22. 如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，．求的长． 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）2 【解析】 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点为， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴根据函数图像可得：的x的取值范围为或． 【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 24. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【小问1详解】 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； 【小问3详解】 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 【答案】（1）如图， （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题，解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与P、与P对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象； （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值； ②小明家到幼儿园路程为,幼儿园到单位路程为,分别估算对应的P值，相加即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ； ②观察S的数据,当时，， 所以，最后独自骑行消耗10%电量，这10%电量若用于载重行驶仅能走， 剩余电量应该保证载重行驶， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1），理由如下： 当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； （2）或或 【解析】 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 【答案】（1） 解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2），证明： 解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形，则称图形为图形的“变换图形” （1）已知点，，图形为线段． ①当直线为轴时，图形的“变换图形”为，则以下说法正确的是___________； A．图形与图形关于原点中心对称 B．图形与图形关于轴对称 C．图形与图形关于直线对称 D．图形与图形关于直线对称 ②当直线为时，若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知正方形的顶点坐标分别为，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，直线由直线绕点逆时针旋转得到．若线段的“变换图形”与正方形有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①D；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将线段绕点顺时针旋转得到线段，则，将线段关于轴对称，得到线段，则，即可得线段与线段关于直线对称，此时图形与图形关于直线对称，即可求解． ②若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，即图形与轴负半轴有公共点，即与轴负半轴有交点．根据，得出在以为圆心，为半径的上，在以为圆心， 3 为半径的上．要使得与轴负半轴有交点，即找到临界状态即可，分别确定当落在轴负半轴上时，当落在轴负半轴上时，的值即可解答． （2）将正方形关于直线对称，那么正方形中心对称点为，此时再将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，其中，根据直线与轴夹角为，那么原本水平的，翻折后会与轴形成夹角，那么再绕点旋转，会再次平行于轴．要使得与有交点即可，确定当时，当时，当时，当时，对应的值，结合图象即可解答， 【小问1详解】 解：①线段绕点顺时针旋转得到线段， ∵，， ∴， 将线段关于轴对称，得到线段， 其中， 则线段与线段关于直线对称， ∴此时图形与图形关于直线对称， 故选：D． ②若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点， 即图形与轴负半轴有公共点， ∵图形是由旋转后的关于对称得到的， ∴将与轴负半轴都关于反对称回去， 即与轴负半轴有交点． ∵， 则在以为圆心，为半径的上，在以为圆心， 3 为半径的上． 要使得与轴负半轴有交点，即找到临界状态即可， 当落在轴负半轴上时，， 当落在轴负半轴上时，， ． 【小问2详解】 解：如图，直线由直线绕点逆时针旋转得到， 设点坐标为， 则， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入得，解得：， ∴直线解析式为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的中心为点， 将正方形关于直线对称，设正方形中心对称点为， 如图，过点作轴，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为， 再将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，设点对应的为点， 则， ∴， ∴， ∴点和点关于轴对称， ∴， ∵如图，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，过点作轴，过点作轴， 则， 令，则，解得：，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与轴夹角为， 那么原本水平的，翻折后会与轴形成夹角，那么再绕点旋转，会再次平行于轴． 要使得线段的“变换图形”与正方形有公共点，则与有交点即可，如图， ∵， ∴线段在直线上， 线段在直线上， ∵，， 当时，解得， 当时，解得； 当时，， 当时，， 综上所述，或． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称问题，旋转的性质，正方形的性质，一元一次方程，勾股定理，解直角三角形，坐标与图形，等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $