2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上学期期中质量检测卷（上海专用，第10-12章）

七年级数学上学期期中质量检测卷 （上海专用，新教材沪教版五四制七上第10-12章：整式加减 整式乘除 因式分解） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下面的计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（     ） A．3 B． C．6 D． 6．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 二、填空题 7．单项式的系数是___________． 8．若单项式与是同类项，则_____． 9．整式按a降幂排列的结果是________________________． 10．因式分解：_____________________． 11．已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 12．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 13．计算：________． 14．已知的展开式中，不含有和，则______． 15．仔细观察下图，按照此规律，第5个图形中有_______个，第个图形中有_______个． 16．计算：________． 17．已知：，求：的值为_____． 18．定义新运算：若有，则（且，）．则： （1）例：，则．已知，则______． （2）若且，，，则下列说法中，正确的有______．（填字母）． A．    B． C．             D． 三、解答题 19．计算： (1) (2) (3) 20．因式分解： (1) (2) 21．计算、化简求值： ，其中． 22．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 23．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 24．定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 25．如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 26．材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 试卷第2页（共5页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学上学期期中质量检测卷 （上海专用，新教材沪教版五四制七上第10-12章：整式加减 整式乘除 因式分解） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数与字母的积叫做单项式．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是单项式，本选项不符合题意； B.，是单项式，本选项符合题意； C.的分母中含字母，不是整式，故不是单项式，本选项不符合题意； D.，不是单项式，本选项不符合题意． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住因式分解的核心特征：左边为多项式，右边为几个整式的积的形式，且变形前后等式恒成立． 【详解】解：A、右边，与左边不相等，故A错误； B、右边仅为多项式的符号变形，不是几个整式的积的形式，故B错误； C、左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，故C错误； D、左边是多项式，右边是与两个整式的积，且变形前后等式恒成立，符合因式分解的定义，故D正确． 3．下面的计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则计算每个选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A， ，∴A计算正确； 对于选项B，∵，，∴B计算错误； 对于选项C，∵，，∴C计算错误； 对于选项D，∵，，∴D计算错误． 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项． 【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征； C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解． 5．已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（     ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将二次项、常数项化为平方形式，结合完全平方式的一次项特征列等式求解. 【详解】解：【法一】∵是完全平方式且，， ∴原式可写为， 对比系数有解得， 故D选项正确． 【法二】∵是完全平方式， ∴令， 对比系数可得解得． 故D选项正确． 6．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 【答案】C 【分析】先把对应多项式进行因式分解，然后按照题意求得当x取11，y取13时对应的所有数字组合，取其中最大的数字即可． 【详解】解：∵， 当x取11，y取13时，，，， ∴三个数为11、2、24． 所有数字组合为：11224、11242、21124、22411、24112、24211，其中最大数字为24211． ∴ 密码为24211． 二、填空题 7．单项式的系数是___________． 【答案】 【详解】解：∵单项式的数字因数是， ∴此单项式的系数是． 8．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可求出 和的值，再代入计算． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ ，， ∴ 故答案为：5． 9．整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 10．因式分解：_____________________． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 11．已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可得底边长等于面积的2倍除以高，再计算整式除法即可． 【详解】解：设这条边的长度为， 由三角形面积公式可得， ． 12．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 13．计算：________． 【答案】 【分析】本题利用同底数幂的乘法和积的乘方运算性质的逆用简化计算，先将小数化为分数，拆分指数后合并同指数幂计算，即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 14．已知的展开式中，不含有和，则______． 【答案】 【分析】首先根据多项式乘以多项式法则将原式展开，结合展开式中不含有和，可得关于，的二元一次方程组并求解，然后代入求值即可． 【详解】 ， 展开式中不含有和， ，解得，     ． 15．仔细观察下图，按照此规律，第5个图形中有_______个，第个图形中有_______个． 【答案】 / 【分析】观察图形特点，从中找出规律，它们的★数分别是5，8，11，14，17，…，总结出其规律，根据规律求解． 【详解】解：通过观察，得到的★数分别是5，8，11，14，17，…， 第一个图形为：， 第二个图形为：， 第三个图形为：， 第四个图形为：， …， 所以第n个图形为：个， 当时，个． 16．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 17．已知：，求：的值为_____． 【答案】 【分析】先求出，再运用立方和公式变形解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．定义新运算：若有，则（且，）．则： （1）例：，则．已知，则______． （2）若且，，，则下列说法中，正确的有______．（填字母）． A．    B． C．             D． 【答案】 3 A、C 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）根据新定义，举反例的方式逐一进行判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）设，则，， ∴， ∴；故A正确； 举反例，令，左边，右边，；故B错误； 设，，则，，右边左边，等式成立，故C正确； 举反例，令，左边，右边，D错误； 故正确的有A，C. 三、解答题 19．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），先计算整式的乘除，再计算整式的加减； 对于（2），先计算整式的乘除，再算加减； 对于（3），根据完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．计算、化简求值： ，其中． 【答案】 【分析】先根据非负数和为零的性质求出，的值，再展开化简整式，最后代入求值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ， ∵，， ∴． 22．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）种菜面积正方形面积长方形蓄水池面积； （2）将米，米代入（1）中化简的式子，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 种菜（阴影）部分的面积 （平方米）； （2）解：当米，米时， 种菜（阴影）部分的面积为 （平方米）． 23．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】(1) (2)依据的是平方差公式， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． （2）解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； （3）解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 24．定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 【答案】(1)B是A的“好多项式” (2)2 (3) 【分析】先计算出两个多项式乘积化简后的结果，再根据定义判断或建立方程求解未知数即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 可得 ， ， 满足 ， 符合“好多项式”的定义，因此是的“好多项式”； （2）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”， ， 因此需要， 解得； （3）解：由题意得 ，， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”，则 ， ①当时，则，，此时，故不符合题意； ②当时，则 ， ∴，解得； 因此的值为． 25．如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】（1）根据面积相等得到等量关系； （2）将，代入第一问中的等量关系，求出的值； （3）根据正方形的性质得到、和，根据三角形面积公式得到，化简后再结合条件求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：观察图形可知，大正方形的边长为， ∴面积为， 这个大正方形由四部分构成，分别是： 两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形， ∴这四部分的面积和为：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 26．材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 【答案】(1)；0 (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式除以整式的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式有因式，再利用长除法确定整式除以整式的商式，得到，再利用十字相乘法因式分解，即可得出答案． 【详解】（1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 故答案为：；0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则 所以，． 故答案为：；； （3）解：对于一元整式， 由、得， 所以把代入整式，得其值为0． 故答案为：； （4）解：由（3）得，整式有因式， 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则， 又因为， 所以 故答案为：． 试卷第2页（共17页） 试卷第1页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $